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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其线性运算 苏教版选修2-1


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及
其线性运算 苏教版选修 2-1
课时目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向 量的加减运算及其运算律,能借助图形理解空间向量及其运算的意义.
1.空间向量中的基本概念 (1)空间向量:在空间,我们把既有________又有________的量,叫做空间向量. (2)相等向量:________相同且________相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________或________,那 么这些向量叫做共线向量或平行向量. 2.空间向量的线性运算及运算律 类似于平面向量,我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算: →OB=→OA+→AB=________, →CA=→OA-→OC=________, →OP=λ a (λ ∈R).
空间向量加法的运算律 (1)交换律:______________. (2)结合律:(a+b)+c=____________. (3)λ (a+b)=λ a+λ b (λ ∈R). 3.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b (a≠0),b 与 a 共线的充要条件是存在实 数 λ ,使__________. 规定:零向量与任意向量共线.
一、填空题 1.判断下列各命题的真假: ①向量A→B的长度与向量→BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为________. 2.已知向量A→B,A→C,B→C满足|A→B|=|→AC|+|B→C|,则下列叙述正确的是________.(写出所 有正确的序号) ①A→B=A→C+B→C; ②A→B=-→AC-→BC; ③A→C与B→C同向;

④A→C与C→B同向. 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中,向量表达式D→D1-→AB+→BC化简后的结果是________. 4. 在 平 行六 面体 ABCD-A1B1C1D 中, 用 向量→AB ,→AD ,A→A1来 表 示 向量 AC1 的 表 达式为 ________________________________________________________________________. 5.四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则→AB+12(B→D+B→C)化简的结果是________. 6.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H,P,Q 分别是 A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1 的中点,下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号) ①+→GH+→PQ=0;②-G→H-P→Q=0; ③+→GH-→PQ=0;④-G→H+P→Q=0. 7.如图所示,a,b 是两个空间向量,则A→C与A′→C′是________向量,→AB与B′→A′是________ 向量.
8.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中,化简向量表达式→AB+→CD+→BC+→DA的结果为________. 二、解答题 9.如图所示,已知空间四边形 ABCD,连结 AC,BD,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中点, 请化简(1)A→B+B→C+C→D,(2)→AB+→GD+→EC,并标出化简结果的向量.
10.设 A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的重心. 求证:A→G=13(→AB+→AC+→AD).

能力提升 11.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交 于点 F.若A→C=a,→BD=b,则A→F=______________________. 12.证明:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.
1.在掌握向量加减法的同时,应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差,如共线、共 起点、共终点等. 2.共线向量定理包含两个命题,特别是对于两个向量 a、b,若存在惟一实数 λ ,使 b =λ a (a≠0)? a∥b,可作为以后证明线线平行的依据,但必须保证两线不重合. 再者向量共线不具有传递性,如 a∥b,b∥c,不一定有 a∥c,因为当 b=0 时,虽然 a ∥b,b∥c,但 a 不一定与 c 平行. 3.运用空间向量的运算法则化简向量表达式时,要结合空间图形,观察分析各向量在图 形中的表示,然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决,并要化简到最简为止.
第 3 章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其线性运算

知识梳理 1.(1)大小 方向 (2)方向 长度 (3)互相平行 重合 2.a+b a-b (1)a+b=b+a (2)a+(b+c) 3.b=λ a 作业设计 1.3 解析 ①真命题;②假命题,若 a 与 b 中有一个为零向量时,其方向是不确定的;③真 命题;④假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题,向量 可用有向线段来表示,但并不是有向线段. 2.④ 解析 由|A→B|=|→AC|+|B→C|=|→AC|+|C→B|,知 C 点在线段 AB 上,否则与三角形两边之和 大于第三边矛盾,所以→AC与→CB同向. 3.B→D1
解析 如图所示, ∵D→D1=A→A1,D→D1-→AB=A→A1-→AB=B→A1, B→A1+B→C=B→D1, ∴D→D1-→AB+→BC=B→D1. 4.A→C1=→AB+→AD+A→A1
解析 因为A→B+A→D=A→C,A→C+A→A1=A→C1, 所以A→C1=A→B+A→D+A→A1. 5.A→M

解析 如图所示, 因为12(B→D+B→C)=→BM, 所以→AB+12(B→D+B→C) =A→B+B→M=A→M. 6.① 解析 观察平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 可知,向量→EF,→GH,→PQ平移后可以首尾相连,于是E→F +G→H+P→Q=0. 7.相等 相反 8.0 解析 在任何图形中,首尾相接的若干个向量和为零向量. 9.
解 (1)→AB+→BC+→CD=→AC+→CD=→AD. (2)∵E,F,G 分别为 BC,CD,DB 的中点. ∴B→E=E→C,E→F=G→D. ∴A→B+G→D+E→C=A→B+B→E+E→F=A→F. 故所求向量A→D,A→F,如图所示. 10.

证明 连结 BG,延长后交 CD 于 E,由 G 为△BCD 的重心, 知B→G=23→BE. ∵E 为 CD 的中点, ∴B→E=12→BC+12→BD. →AG=→AB+→BG=→AB+23B→E=A→B+13(→BC+→BD) =A→B+13[(A→C-A→B)+(→AD-→AB)] =13(→AB+→AC+→AD). 11.23a+13b
解析 A→F=A→C+C→F =a+23C→D =a+13(b-a) =23a+13b. 12.证明 如图所示,平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,设点 O 是 AC′的中点,
则A→O=12A→C′ =12(→AB+→AD+A→A′). 设 P、M、N 分别是 BD′、CA′、DB′的中点. 则A→P=A→B+B→P=A→B+12B→D′ =A→B+12(→BA+→BC+B→B′) =A→B+12(-A→B+A→D+AA→′) =12(→AB+→AD+A→A′). 同理可证:A→M=12(→AB+→AD+A→A′)

→AN=12(A→B+A→D+AA→′). 由此可知 O,P,M,N 四点重合. 故平行六面体的对角线相交于一点,且在交点处互相平分.


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