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2012年高二数学教案:第2章(第7课时)平面向量的数量积(1)(人教A版必修4)




题:

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

教学目的: 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4 掌握向量垂直的条件 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识 点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的 5 个重要性质;平面向量数量积 的运算律 教学过程:
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一、复习引入: 1.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

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? a ? (? x, ? y)

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若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 2. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 二、讲解新课: 1.力做的功:W = | F |?| s |cos?,?是 F 与 s 的夹角 2.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫 a 与

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? b 的夹角

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说明: (1)当θ =0时, a 与 b 同向; (2)当θ =π 时, a 与 b 反向; (3)当θ =

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? ? ? ? ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2
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(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围 0?≤?≤180?

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? ? 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是θ ,则数量
| a || b |cos?叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即有 a ? b = | a || b |cos?, (0≤θ ≤π ) 并规定 0 与任何向量的数量积为 0
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?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定

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(2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ? b ;今后要学到两个向量的外积 a × b ,而 a ? b
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是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省 略,也不能用“×”代替
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(3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a ? 0 ,且 a ? b =0,不能 推出 b = 0 因为其中 cos?有可能为 0
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(4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c 但是 a ? b = b ? c

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? ? a = c ?
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如右图: a ? b = | a || b |cos? = | b ||OA|, b ? c = | b || c |cos? = | b ||OA| ? a ?b = b ?c

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但a ? c

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(5)在实数中,有(a?a)c = a(a?c),但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共 线 3. “投影”的概念:作图
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定义:| b |cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影

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投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为 直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 | b |;当? = 180?时投影为 ?| b |

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4.数量积的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b | c os?的乘积 5.探究:设 a 、 b 为两个非零向量 1? a ? b ? a ? b = 0 2?当 a 与 b 同向时, a ? b = | a || b |;当 a 与 b 反向时, a ? b = ?| a || b | 特别的 a ? a = | a |2 或 | a |? 3? | a ? b | ≤ | a || b | 6.平面向量数量积的运算律 1.交换律: a ? b = b ? a

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证:设 a , b 夹角为?,则 a ? b = | a || b |cos?, b ? a = | b || a |cos? ∴a ? b = b ? a

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2.数乘结合律:( ? a )? b = ? ( a ? b ) = a ?( ? b ) 证: 若 ? > 0,( ? a )? b = ? | a || b |cos?, ? ( a ? b ) = ? | a || b |cos? , a ?( ? b ) = ? | a || b |cos?, 若 ? < 0,( ? a )? b =| ? a || b |cos(???) = ? ? | a || b |(?cos?) = ? | a || b |cos?,

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? ? ? ? ? ( a ? b ) = ? | a || b |cos?,
? ? ? ? ? ? a ?( ? b ) =| a || ? b |cos(???) = ? ? | a || b |(?cos?)
= ? | a || b |cos?

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3.分配律:( a + b )? c = a ? c + b ? c

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在平面内取一点 O,作 OA = a , AB = b , OC = c , ∵ a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a 、 b 在 c 方向上的投影和, 即 | a + b | cos? = | a | cos?1 + | b | cos?2

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∴| c | | a + b | cos? =| c | | a | cos?1 + | c | | b | cos?2 ∴ c ?( a + b ) = c ? a + c ? b

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即:( a + b )? c = a ? c + b ? c

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说明: (1)一般地,( a · b ) c ≠ a ( b · c ) (2) a · c = b · c , c ≠ 0

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? ? a =b ?


(3)有如下常用性质: a =| a | , ( a + b ) c + d )= a · c + a · d + b · c + b · d ( ( a + b ) = a +2 a · b + b 三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角θ =120°,求 a·b. 解:a· = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×(-1/2)= -10 b 例 2 已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角是 60°时, 分别求 a · b

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解:①当 a ∥ b 时,若 a 与 b 同向,则它们的夹角θ =0°, ∴ a · b =| a |·| b |cos0°=3×6×1=18; 若 a 与 b 反向,则它们的夹角θ =180°, ∴ a · b =| a || b |cos180°=3×6×(-1)=-18; ②当 a ⊥ b 时,它们的夹角θ =90°,∴ a · b =0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有

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? ? ? ? 1 a · b =| a || b |cos60°=3×6× =9 2
例 3 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
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解:如图: ? ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD ∴| AC |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD
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而 BD = AB ? AD ∴| BD |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD
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∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2 AD = | AB | ? | BC | ? | DC | ? | AD |
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四、课堂练习: 五、小结 通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并 能运用它们解决相关的问题

六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记


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