课
题：
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
教学目的： 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4 掌握向量垂直的条件 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识 点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5 个重要性质；平面向量数量积 的运算律 教学过程：
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一、复习引入： 1．平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) ， b ? ( x2 , y2 ) ，则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ， a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ，
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? a ? (? x, ? y)
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若 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) ，则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 2． a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 二、讲解新课： 1．力做的功：W = | F |?| s |cos?，?是 F 与 s 的夹角 2．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，则∠ＡＯＢ＝θ （０≤θ ≤π ）叫 a 与
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? b 的夹角
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说明： （1）当θ ＝０时， a 与 b 同向； （2）当θ ＝π 时， a 与 b 反向； （3）当θ ＝
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? ? ? ? ? 时， a 与 b 垂直，记 a ⊥ b ； 2
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（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围 0?≤?≤180?
C
? ? 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角是θ ，则数量
| a || b |cos?叫 a 与 b 的数量积，记作 a ? b ，即有 a ? b = | a || b |cos?， （０≤θ ≤π ） 并规定 0 与任何向量的数量积为 0
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?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos?的符号所决定
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（2）两个向量的数量积称为内积，写成 a ? b ；今后要学到两个向量的外积 a × b ，而 a ? b
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是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省 略，也不能用“×”代替
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（3）在实数中，若 a?0，且 a?b=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a ? 0 ，且 a ? b =0，不能 推出 b = 0 因为其中 cos?有可能为 0
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（4）已知实数 a、b、c(b?0)，则 ab=bc ? a=c 但是 a ? b = b ? c
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? ? a = c ?
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如右图： a ? b = | a || b |cos? = | b ||OA|， b ? c = | b || c |cos? = | b ||OA| ? a ?b = b ?c
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但a ? c
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(5)在实数中，有(a?a)c = a(a?c)，但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ) 显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共 线 3． “投影”的概念：作图
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定义：| b |cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影
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投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为 直角时投影为 0；当? = 0?时投影为 | b |；当? = 180?时投影为 ?| b |
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4．数量积的几何意义：数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b | c os?的乘积 5．探究：设 a 、 b 为两个非零向量 1? a ? b ? a ? b = 0 2?当 a 与 b 同向时， a ? b = | a || b |；当 a 与 b 反向时， a ? b = ?| a || b | 特别的 a ? a = | a |2 或 | a |? 3? | a ? b | ≤ | a || b | 6.平面向量数量积的运算律 1．交换律： a ? b = b ? a
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? ? a ?a
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证：设 a ， b 夹角为?，则 a ? b = | a || b |cos?， b ? a = | b || a |cos? ∴a ? b = b ? a
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2．数乘结合律：( ? a )? b = ? ( a ? b ) = a ?( ? b ) 证： 若 ? > 0，( ? a )? b = ? | a || b |cos?， ? ( a ? b ) = ? | a || b |cos? ， a ?( ? b ) = ? | a || b |cos?， 若 ? < 0，( ? a )? b =| ? a || b |cos(???) = ? ? | a || b |(?cos?) = ? | a || b |cos?，
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? ? ? ? ? ? a ?( ? b ) =| a || ? b |cos(???) = ? ? | a || b |(?cos?)
= ? | a || b |cos?
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3．分配律：( a + b )? c = a ? c + b ? c
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在平面内取一点 O，作 OA = a , AB = b ， OC = c ， ∵ a + b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于 a 、 b 在 c 方向上的投影和， 即 | a + b | cos? = | a | cos?1 + | b | cos?2
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∴| c | | a + b | cos? =| c | | a | cos?1 + | c | | b | cos?2 ∴ c ?( a + b ) = c ? a + c ? b
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即：( a + b )? c = a ? c + b ? c
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说明： （1）一般地，( a · b ) c ≠ a （ b · c ） （2） a · c ＝ b · c ， c ≠ 0
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? ? a ＝b ?
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（3）有如下常用性质： a ＝｜ a ｜ ， （ a ＋ b ） c ＋ d ）＝ a · c ＋ a · d ＋ b · c ＋ b · d （ ( a ＋ b ) ＝ a ＋２ a · b ＋ b 三、讲解范例： 例 1 已知|a|=5，|b|=4，a 与 b 的夹角θ =120°，求 a·b. 解：a· = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= -10 b 例 2 已知｜ a ｜＝３，｜ b ｜＝６，当① a ∥ b ，② a ⊥ b ，③ a 与 b 的夹角是 60°时， 分别求 a · b
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解：①当 a ∥ b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ a · b ＝｜ a ｜·｜ b ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角θ ＝180°， ∴ a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当 a ⊥ b 时，它们的夹角θ ＝90°，∴ a · b ＝０； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有
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? ? ? ? 1 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
例 3 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
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解：如图： ? ABCD 中， AB ? DC ， AD ? BC ， AC = AB ? AD ∴| AC |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD
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而 BD = AB ? AD ∴| BD |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD
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∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2 AD = | AB | ? | BC | ? | DC | ? | AD |
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四、课堂练习： 五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并 能运用它们解决相关的问题
六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记