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高中数学3-2-3直线方程的一般式课件新人教A版必修


第三章
3.2.3 直线方程的一般式

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

(4)截距式:当直线在x轴、y轴上的截距存在(分别为a、b) x y 且不为零时,直线方程为____________. a+b=1 x y + =1 2.过点(0,2)和(-3,0)的直线的截距式方程是__________. -3 2 x y 3.过点(-1,5),且与直线 2 + 6 =1垂直的直线方程是 ________.
[答案] x-3y+16=0

[解析]

x y 直线 + =1的斜截式为y=-3x+6故斜率是- 2 6

1 3,所以所求直线的斜率是3, 1 所以所求直线方程是y-5=3(x+1), 即x-3y+16=0.

新课引入 直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距 式),都是关于x,y的二元一次方程,那么直线的方程是否都 是二元一次方程?反之,二元一次方程的图形是否都是直线 呢?本节,我们共同研究这个问题——直线的一般式方程.

自主预习 阅读教材P97~99,回答下列问题. 1.直线的一般式方程
Ax+By+C=0 (其中 (1)定义:关于x,y的二元一次方程______________

A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用 一般式表示.

(3)系数的几何意义: A C ①当B≠0时,则- =k(斜率),- =b(y轴上的截距); B B C ②当B=0,A≠0时,则- A =a(x轴上的截距),此时不存 在斜率. (4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组 解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的 全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的 集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平 面直角坐标系中的直线是一一对应的.

[破疑点]AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;AB<0时,k>0, 倾斜角α为锐角;A=0时,k=0,倾斜角α=0° ;B=0时,k不 存在,倾斜角α=90° .

若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为 ( ) A.A≠0 C.A· B≠0
[答案] D
[解析] A,B不能同时为0,则A2+B2≠0.

B.B≠0 D.A2+B2≠0

直线2x+y+4=0的斜率k=________.
[答案] -2

[解析]

A A=2,B=1,则k=-B=-2.

2.直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤: ①移项:By=-Ax-C; A C ②当B≠0时,得斜截式:y=-Bx- B. 一般式化截距式的步骤: ①把常数项移到方程右边,得Ax+By=-C; Ax By ②当C≠0时,方程两边同除以-C,得 + =1; -C -C x y ③再化为截距式: C+ C=1. -A -B

x y 直线 + =1化成一般式方程为( 3 4 4 A.y=-3x+4

)

4 B.y=-3(x-3)

C.4x+3y-12=0 D.4x+3y+12=0
[答案] C
[解析] x y + =1→4x+3y=12 3 4

→4x+3y-12=0

3.直线方程五种形式的比较
名称 一般 点 斜 式 斜截式 y=kx+b 情况 方程 y-y0=k(x- x0) 常数的几何意义 (x0,y0)是直线 上的一个定点, k是斜率 k是斜率,b是直 线在y轴上的截 距 适用条件 直线不垂直于 x轴

直线不垂直于 x轴

一般 两 点 式 截距 式 情况

y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1 x y + =1 a b

(x1,y1),(x2,y2) 是直线上的两个 定点

直线不垂直于 x轴和y轴

a,b分别是直线 直线不垂直于 在x轴,y轴上的 x轴和y轴,且 两个非零截距 不过原点

一般 式

Ax+By+C=0 A,B不同时为0 x=a(y轴:x=0)

A,B,C为系 数 垂直于x轴 且过点(a,0) 垂直于y轴且过 点(0,b)

任何情况

特殊 直线

斜率不存在

y=b(x轴:y=0)

斜率k=0

直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足什么条件 时,这条直线有如下性质? (1)与x轴垂直; (2)与y轴垂直; (3)与x轴和y轴都相交; (4)过原点; (5)与x轴重合; (6)与y轴重合.

[解析]

(1)当B=0且A≠0时,这条直线与x轴垂直.

(2)当A=0且B≠0时,这条直线与y轴垂直. (3)要使直线与x轴,y轴都相交,则它与两轴都不垂直, 由(1)(2)知,当A≠0且B≠0,即当AB≠0时,这条直线与x轴和 y轴都相交. (4)将x=0,y=0代入直线方程Ax+By+C=0,得C=0, 故当C=0时,这条直线过原点.

(5)当A=0,B≠0,C=0时,直线方程化为y=0,直线与x轴 重合. (6)当A≠0,B=0,C=0时,直线方程化为x=0,直线与y轴 重合.

选择适当的形式写出直线的方程
学法指导 (1)一般地,已知一点通常选择点斜式,但

应注意讨论斜率k不存在的情况;已知斜率选择斜截式;已 知直线在两坐标轴上的截距选择截距式;已知直线上的两点 选择两点式,有的直线方程可以同时选用几种形式,但选择 的形式不同,运算繁简程度也不同.

(2)不论选用哪种形式的方程,都要注意各自的限制条 件.对于点斜式和斜截式要求直线的斜率存在.因此,如果 选用点斜式或斜截式,应考虑斜率不存在的情况;对于两点 式,不能表示平行或重合于坐标轴的直线.

[例1] 般式方程.

根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一

(1)斜率是 3,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴,y轴上的截距分别是-3,-1. [分析] 写成一般式 分析条件→选择方程形式→代入条件→整理并

[解析]

(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=

3(x-5),化为一般式方程为 3x-y+3-5 3=0. (2)由斜截式方程可知, 所求直线方程为y=4x-2, 化为一般式方程为4x-y-2=0.

(3)由两点式方程可知, y-5 x-?-1? 所求直线方程为 = . -1-5 2-?-1? 化为一般式方程为2x+y-3=0. x y (4)由截距式方程可得,所求直线方程为 + =1, -3 -1 化为一般式方程为x+3y+3=0.

规律总结:已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用 点斜式;已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式; 已知直线上两点坐标时,选用两点式;已知直线在x轴,y轴上 的截距时,选用截距式.

直线l:2x-3y+6=0的斜率及在y轴上的截距分别为 ________.
2 [答案] 2 3

[解析]

2 已知直线方程可化为y= x+2. 3

2 所以直线l的斜率k=3,在y轴上的截距是2.

已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线的一般式 方程和截距式方程,并画图.

[解析]

直线过A(-5,6)、B(-4,8)两点,

y-6 x+5 由两点式得, = , 8-6 -4+5 整理得2x-y+16=0, x y ∴2x-y=-16,两边同除以-16得, +16=1. -8 故所求直线的一般式方程为2x-y+16=0,截距式方程为 x y + =1. -8 16

规律总结:熟练进行直线各种形式方程的互化,是解决 直线方程问题的基本功.请自己再用点斜式求l的方程,并化 为斜截式.

探索延拓创新

一般式的综合应用
学法指导 关于直线平行(垂直)的参数的求解:

解决含参数的两条直线的一般式方程的平行或垂直关系 时,若分类讨论,情况较多、较复杂,可尝试如下判定方 法: 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.

(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0. (2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 以上两种判定方法避开了讨论斜率是否存在的情况,可 以减少失误.

[例2]

已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+

2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)平行;(2)垂直. [分析] 程图. 让我们仔细审题,探寻方法,可采用审题导引流

[解析]

法一:当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x-3y=

0,l1与l2相交且不垂直. m-2 2m 1 6 当m≠0时,l1:y=-mx-m,l2:y=- 3 x- 3 . m-2 1 6 2m (1)l1∥l2?- =- 且- ≠- ,解得m=-1.∴当 m 3 m 3 m=-1时,l1∥l2.

m-2 1 1 (2)l1⊥l2?(- )(- )=-1,解得m= . m 3 2 1 ∴当m=2时,l1⊥l2. 法二:(1)l1∥l2?1×3-m· (m-2)=0且1· (2m)-6· (m- 2)≠0,解得m=-1.∴当m=-1时,l1∥l2. 1 (2)l1⊥l2?1· (m-2)+m· 3=0,解得m= . 2 1 ∴当m=2时,l1⊥l2.

规律总结:两种方法各有优点:斜率法易于记忆,系数 法易于操作,比较而言,当方程中含有字母时,化为一般式 进行判定,可避免分类讨论.

(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2 =0平行,求m的值; (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直 线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

[解析] 2=0.

(1)法一:由l1:2x+(m+1)y+4=0.l2:mx+3y-

①当m=0时,显然l1与l2不平行. ②当m≠0时,l1∥l2, 2 m+1 4 需m= 3 ≠ . -2 解得m=2或m=-3. ∴m的值为2或-3.

法二:令2×3=m(m+1),解得m=-3或m=2. 当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0, 显然l1与l2不重合, ∴l1∥l2, 同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0, l2:2x+3y-2=0, l1与l2不重合,l1∥l2, ∴m的值为2或-3.

(2)法一:由题意,直线l1⊥l2, ①若1-a=0,即a=1时, 直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直. 3 ②若2a+3=0,即a=-2时, 直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.

③若1-a≠0,且2a+3≠0, 则直线l1,l2的斜 率k1,k2都存在,

a+2 a-1 k1=- ,k2=- , 1-a 2a+3 当l1⊥l2时,k1· k2=-1, a+2 a-1 即(- )· (- )=-1, 1-a 2a+3 所以a=-1. 综上可知,当a=1或a=-1时, 直线l1⊥l2.

法二:由直线l1⊥l2, 所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 解得a=± 1. 将a=± 1代入方程,均满足题意. 故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.

名师辨误做答

易错点 忽视一般式方程中A与B的条件 [例3] 直线l1:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与 )

直线l2:x-y+1=0的斜率相同,则m等于( A.2或3 B.2 C.3 D.-3

[错解]

2m2-5m+2 直线l1的斜率为 ,直线l2的斜率为1, m2-4

2m2-5m+2 则 =1,即2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0, 2 m -4 解得m=2或3.故选A. [错因分析] 错解忽视了当m=2时,2m2-5m+2=0且- (m2-4)=0.

[思路分析] 直线的一般式方程Ax+By+C=0中,A与B 满足的条件是A与B不能同时为0,即A2+B2≠0.当A=B=0 时,方程变为C=0,不表示任何图形.

[正解]

2m2-5m+2 直线l1的斜率为 ,直线l2的斜率为1, m2-4

2m2-5m+2 则 =1,即2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0, 2 m -4 解得m=2或3,当m=2时,2m2-5m+2=0,-(m2-4)=0, 则m=2不合题意,仅有m=3.

[答案] C

基础巩固训练

1.直线3x-2y-4=0的截距式方程为( 4x y A. - =1 3 2 3x y C. 4 - =1 -2 x y B. - =1 1 1 3 2 y y D.4+ =1 -2 3

)

[答案]

D

x y 2.直线 +2=1,化成一般式方程为( -3 3 A.y=-2x+4 C.2x-3y+6=0 2 B.y=-3(x-3) D.2x-3y=6

)

[答案] C

3.直线5x- 3y+10=0在x轴上的截距等于( A.5 10 C. 3 3
[答案] D

)

B.- 3 D.-2

[解析]

令y=0,即5x+10=0,解得x=-2.

4.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方 程是( ) B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0

A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0
[答案] A

[解析]

2 直线2x-3y+4=0的斜率为3,

3 则l的斜率为- , 2 3 则l的方程是y-2=-2(x+1), 即3x+2y-1=0.

5.过点A(1,-2),斜率为 ________.
[答案] x-2y-5=0
[解析]

1 2

的直线的一般式方程为

1 直线方程为y+2= (x-1), 2

即x-2y-5=0.

6.直线2x-4y-8=0的斜率k=________,在y轴上的截 距b=________.
1 2

[答案]

-2

[解析]

1 直线方程化为斜截式,得y=2x-2,

1 所以k=2,b=-2.

7.已知直线l经过点A(2,3)和点B(-1,2),求直线l的一般 式方程和截距式方程,并画出图形.

[解析]

直线l过A(2,3),B(-1,2)两点,由两点式,得

y-3 x-2 = ,整理,得x-3y+7=0. 2-3 -1-2 x y 所以x-3y=-7,两边同除以-7,得 + =1.故直线l -7 7 3 x y 的一般式方程为x-3y+7=0,截距式方程为 + 7 =1.图形 -7 3 如图所示.

8.直线l1:2x+4y-1=0,直线l2过点(1,-2),试分别 求满足下列条件的直线l2的方程: (1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.

[解析]

直线l1的方程化为斜截式为

1 1 y=-2x+4, 1 ∴直线l1的斜率k1=-2. 设直线l2的斜率为k2,则 1 (1)当l1∥l2时,k2=k1=-2, 1 则直线l2的方程为y+2=-2(x-1), 即x+2y+3=0.

-1 (2)当l1⊥l2时,k1k2=-1,∴k2= =2, k1 则直线l2的方程为y+2=2(x-1), 即2x-y-4=0.


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