伤城文章网 > 数学 > [原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]

[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]


第7讲

正弦定理和余弦定理

1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形 度量问题.

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与
测量和几何计算有关的实际问题.

1.正弦定理

c a = b sinC =2R,其中 R 是三角形外接圆的半 =________ sinA sinB
径.正弦定理可以变形为以下几种形式,以解决不同的三角形 问题. sinA∶sinB∶sinC ; (1)a∶b∶c=__________________ 2RsinC ; (2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=________ b a c 2 R (3)sinA= ,sinB=________,sinC= . 2R 2R

2.余弦定理

b2+c2-2bccosA a2=______________________ ; b2=a2+c2-2accosB;

c2=a2+b2-2abcosC.
b2+c2-a2 a2+c2-b2 余弦定理可以变形为:cosA= ,cosB= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cosC= 2ab .

3.三角形的面积
1 1 1 abc 1 S△ABC= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB= 4R = 2 (a+b+ c)· r(R,r分别是三角形的外接圆、内切圆半径).

4.正弦定理和余弦定理的应用

(1)在解三角形时,余弦定理可解决两类问题:①已知两边
及夹角或已知两边及一边对角,求其他边或角;②已知三边, 求三个角. (2)正弦定理可解决两类问题:①已知两角及任一边,求其 他边或角;②已知两边及一边对角,求其他边或角,其结果可

能是一解、两解、无解,应注意区分.

在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下表:

A 为锐角

A 为钝角
或直角

图形
关系 式 解的 个数

a=bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

a≤b

一解

两解

一解

一解

无解

1 1.(2013年北京)在△ABC中,若a=3,b=5,sinA= , 3 则sinB=( B ) 1 A. 5 5 B. 9 5 C. 3 D.1

2.(2013年上海)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别 7 为a,b,c.若a=5,c=8,B=60° ,则b=________.

解析:b= a +c -2accosB= 49=7.

2

2

1 25+64-2×5×8×2=

3.(2014年湖北)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 π 2π π 或 3 3 a,b,c.已知A=6,a=1,b= 3,则B=________.

3 3 解析:由正弦定理知, = ,sinB= .又0<B<π, π sinB 2 sin 6 π 2π 所以B=3或 3 .

1

4.(2013 年上海)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 2π 3 别是 a,b,c.若 a2+ab+b2-c2=0,则 C=________.

解析:a2+ab+b2-c2=0,a2+b2-c2=-ab,cosC= a2+b2-c2 -ab 1 2π 2ab = 2ab =-2,即C= 3 .

考点 1 正弦定理
例1:(2014年江西)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边 2sin2B-sin2A 分别为a,b,c,若3a=2b,则 =( sin2A 1 A.-9 C.1 1 B.3 7 D. 2 )

3 解析:3a=2b,b= a,由正弦定理,得 2 9 2 2 2 × a - a 2 2 2 2 2sin B-sin A 2b -a 4 7 = = = . sin2A a2 a2 2

答案:D

【规律方法】正弦定理可解决两类问题:①已知两角及任
一边,求其他边或角;②已知两边及一边对角,求其他边或角.

【互动探究】
1.(2013年新课标Ⅱ)已知△ABC的内角A,B,C的对边分 π π 别为a,b,c,b=2,B= ,C= ,则△ABC的面积为( B ) 6 4 A.2 C.2 3+2 3-2 B. 3+1 D. 3-1
1 1 2,S△ABC= bcsinA= 2 2

b c 2 c 解析: = ? = ?c=2 sinB sinC 1 2 2 2 ×2×2 2×sin105° =2

6+ 2 2× 4 = 3+1.

2.(2013年山东)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a, b,c,若B=2A,a=1,b= 3,则c=( B ) A.2 C. 2 3 B.2 D.1

b a 3 1 3 解析: = ? = ? =1, sinB sinA sin2A sinA 2cosA 3 π π π cosA= ,A= ,B= ,C= ,则c= 12+? 3?2=2. 2 6 3 2

考点 2 余弦定理
例2:(1)(2014年北京)在△ABC中,a=1,b=2,cosC= 1 4,则c=________;sinA=________.

解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=1+4-1= 4+4-1 7 4,c=2;因为cosA= = 8 ,所以sinA= 2×2×2
?7? 1-?8?2= ? ?

1-cos2A =

15 15 = . 64 8
15 8

答案:2

(2)(2012年北京)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=
1 - ,则b=________. 4

a2+c2-b2 解析:在△ABC中,由余弦定理,得cosB= = 2ac 4+?c+b??c-b? 4+7?c-b? 1 = =- ,化简,得8c-7b+4=0, 4c 4c 4 与b+c=7联立,解得b=4.
答案:4 【规律方法】在解三角形时,余弦定理可解决两类问题: ①已知两边及夹角或两边及一边对角,求其他边或角;②已知 三边,求三个角.

【互动探究】
3.(2014年福建)在△ABC中,A=60° ,AC=2,BC=

1 3,则AB=________.
解析:由余弦定理,得( 3 )2=AB2+22-2AB×2×cos60° . 解得AB=1.

考点 3 正弦定理与余弦定理的综合应用
例3:(2014年浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,已知4sin (1)求角C的大小; (2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.
2A-B

2

+4sinAsinB=2+ 2.

思维点拨:(1)由二倍角的余弦公式把4sin

2A-B

2 +4sinAsinB=

2+ 2 降次,再用两角和的余弦公式求cos(A+B),由三角形内 角和定理可求得cosC,从而求得角C. (2)根据三角形的面积公式求出边a,再由余弦定理求边c.

解:(1)由已知,得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+ 2. 化简,得-2cosAcosB+2sinAsinB= 2. 2 3π ∴cos(A+B)=- 2 ,∴A+B= 4 . π 又A+B+C=π,∴C=4. 1 1 2 (2)∵S△ABC= absinC= a×4× =6,∴a=3 2 2 2 由余弦定理,得 c =a +b -2abcosC=18+16-2×3 ∴c= 10.
2 2 2

2.

2 2×4× =10. 2

【规律方法】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高 考题中的一种重要题型,解决这类题,首先要保证边和角的统 一,用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤 为: ①先利用正弦定理或余弦定理,将边的关系转化为只含有 角的关系;

②再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公
式将三角函数化简及求值.

【互动探究】 4.(2014 年重庆)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,且 a+b+c=8. 5 (1)若 a=2,b=2,求 cosC 的值; (2)若 sinAcos 2 +sinBcos 2 =2sinC,且△ABC 的面积 9 S=2sinC,求 a 和 b 的值.
2B 2A

7 解:(1)由题意,可知:c=8-(a+b)=2. 由余弦定理,得 a2+b2-c2 2 cosC= 2ab =
2B 2

?5? ?7? 2 +?2? -?2?2 ? ? ? ?

5 2×2×2
2A

1 =-5.

(2)由sinAcos +sinBcos =2sinC,得 2 2 1+cosB 1+cosA sinA· +sinB· =2sinC. 2 2 化简,得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.

因为sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, 所以sinA+sinB=3sinC. 由正弦定理,可知:a+b=3c.又a+b+c=8, 所以a+b=6. 1 9 因为S=2absinC=2sinC,所以ab=9. 所以a2-6a+9=0.解得a=3.所以b=3.

●思想与方法●

⊙转化与化归思想在解三角形中的应用
例题:(2013 年陕西)设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分

别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为
( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

a2+b2-c2 a2+c2-b2 解析:方法一:bcosC+ccosB=b× 2ab +c× 2ac 2a2 π = 2a =a=asinA,∴sinA=1,即A=2. ∴△ABC为直角三角形.故选A. 方法二:由bcosC+ccosB=asinA,得 sinBcosC+sinCcosB=sinA· sinA. ∴sin??B+C??=sinA=sinA· sinA, π ∴sinA=1,即A=2. ∴△ABC为直角三角形.故选A.
答案:A
? ?

【规律方法】已知条件 bcosC+ccosB=asinA 中既有边,

又有角,解决此问题的一般思路有两种:①利用余弦定理将所
有的角转换成边后求解?如方法一?;②利用正弦定理将所有的

边转换成角后求解?如方法二?.


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