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【全程复习方略】-高中数学 2.4.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用课件 新人教A版选修2-1_图文


第2课时 抛物线方程及性质的应用 类型 一 直线与抛物线的位置关系 【典型例题】 1.过点(0,-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.1或2 ) 2.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a 的值. 【解题探究】1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键条 件是什么? 2.曲线y2=ax在什么情况下表示抛物线? 探究提示: 1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,其关键要看定点与抛 物线的位置关系. 2.曲线y2=ax中,当a=0时表示x轴,当a≠0时,表示焦点在x轴上 的抛物线. 【解析】1.选D.因为点(0,-1)在抛物线内部,故过该点的直线 斜率不存在时,与抛物线有一个公共点,是相交的;斜率存在时, 有两个公共点,因此公共点的个数是1个或2个. ? y ? ? a ? 1? x ? 1, ? 2.联立方程组 ? 2 ? ? y ? ax. x ? 1, (1)当a=0时,此方程组恰有一组解 ? ? ? y ? 0. (2)当a≠0时,消去x得 a ? 1 y2-y-1=0. a ①若 a ? 1 ? 0, 即a=-1时, a 方程变为一元一次方程-y-1=0, x ? ?1, 方程组恰有一组解 ? ? ? y ? ?1. 4 ? a ? 1? ②若 a ? 1 ≠0,即a≠-1,令Δ=0,得1+ =0, a a 4 可解得a=- , 5 这时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述,当a=0,-1,有一个公共点. 4 时,直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰 5 【互动探究】题2中,若直线与曲线有两个不同的公共点,求a 的取值范围. 【解析】由题意可知显然a≠0. ? y ? ? a ? 1? x ? 1, 得 a ? 1 y2-y-1=0. 由? ? 2 a ? ? y ? ax, 因为直线与曲线有两个不同的公共点. a ? 1 >0且a+1≠0. a 4 即 5a ? 4 >0且a≠-1,解得a>0或a<- 且a≠-1. 5 a 故a的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,- 4 )∪(0,+∞). 5 所以Δ=1+4× 【拓展提升】判断直线与抛物线位置关系的两种方法 (1)几何法. 利用图象,数形结合,判断直线与抛物线的位置关系,但有误差 影响判断的结果. (2)代数法. 设直线l的方程为y=kx+m,抛物线的方程为y2=2px(p>0),将直线 方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形 式:Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0). A ? 0, 相交:①有两个交点: ? ? ??>0. ②有一个交点:A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交); ?A ? 0, 相切:有一个公共点,即 ? ?? ? 0. ?A ? 0, 相离:没有公共点,即 ? ??<0. 类型 二 与弦长有关的问题 【典型例题】 1.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B 两点,则线段AB的长为 . 2.(2013·合肥高二检测)设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的 直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为2,求|AB|的大小. (2)求证: OA OB 是一个定值. 【解题探究】1.题1中的直线已知了哪些条件? 2.求过焦点的弦长时,有几种方法? 探究提示: 1.首先已知斜率为1,其次经过抛物线的焦点. 1 2.|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|或|AB|= 1 ? 2 y1 ? y 2 k 或|AB|=x1+x2+p等. 【解析】1.方法一:∵抛物线焦点为(1,0), ∴直线l的方程为y=x-1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), y ? x ? 1, 2-6x+1=0. 由? 得 x ? 2 ? y ? 4x, ∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 方法二:由AB所在直线斜率为1,则其所在直线的倾斜角 θ=45°, 2p 4 故|AB|= ? ? 8. 2 sin ? 2 2 ( ) 答案:8 2 2.(1)依题意得F(1,0),∴直线l的方程为y=2(x-1). 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), ? y ? 2 ? x ? 1? , ? 由 ? 消去y整理得x2-3x+1=0, 2 ? ? y ? 4x, ∴x1+x2=3,x1x2=1. 方法一:∴|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2| = 1? k2 =5. ? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 ? 5 2 32 ? 4 ?1 方法二:∴|AB|=|AF|+|BF| =x1+x2+p=3+2=5. (2)设直线l的方程为x=ky+1, 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), x ? ky ? 1, ? 由? 消去x整理得y2-4ky-4=0, 2 y ? ? 4x, ∴y1+y2=4k,y1y2=-4. ∵ OA OB =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3, ∴ OA OB 是一个定值. 【拓展提升】直线与抛物线相交的弦长问题 直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k. (1)一般的弦长公式:|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|. (2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时, 弦长|AB|=x1+x2+p. 【变式训练】已知焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截 得弦长是 15 ,求此抛物线的标准方程. 【解题指南】本题没有明确焦点是在y轴的正半轴还是负半轴, 应该两种情况分类求解,为避免讨论,巧设抛物线方程为 x2=ay(a≠0). 【解析】设抛物线

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