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第二轮:1.4 (教师用)集合与简易逻辑-含绝对值的不等式的解法 含答案


集合与简易逻辑-含绝对值的不等式的解法 1.4 集合与简易逻辑-含绝对值的不等式的解法
●知识梳理 (一)主要知识: 1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离 2.当 c > 0 时, | ax + b |> c ? ax + b > c 或 ax + b < ?c ,

| ax + b |< c ? ?c < ax + b < c ;

当 c < 0 时, | ax + b |> c ? x ∈ R , | ax + b |< c ? x ∈ φ . (二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组) 进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |< a ( a > 0) ? ? a < x < a , | x |> a ( a > 0) ? x > a 或 x < ? a . (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. ●典例剖析 (2) | x ? 2 |< | x + 1| ; (3) | 2 x + 1| + | x ? 2 |> 4 . 【例 1】 (1) 4 < | 2 x ? 3 |≤ 7 ; 解: (1)原不等式可化为 4 < 2 x ? 3 ≤ 7 或 ?7 ≤ 2 x ? 3 < ?4 ,∴原不等式解集为 [ ?2, ? ) U ( ,5] . (2)原不等式可化为 ( x ? 2) 2 < ( x + 1) 2 ,即 x > (3)当 x ≤ ? 当?

1 2

7 2

1 1 ,∴原不等式解集为 [ , +∞ ) . 2 2

1 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 + 2 ? x > 4 ,∴ x < ?1 ,此时 x < ?1 ; 2

1 < x < 2 时,原不等式可化为 2 x + 1 + 2 ? x > 4 ,∴ x > 1 ,此时 1 < x < 2 ; 2 5 当 x ≥ 2 时,原不等式可化为 2 x + 1 + x ? 2 > 4 ,∴ x > ,此时 x ≥ 2 . 3
综上可得:原不等式的解集为 ( ?∞, ?1) U (1, +∞) . 【例 2】 (1)对任意实数 x , | x + 1| + | x ? 2 |> a 恒成立,则 a 的取值范围是 (?∞,3) ; (2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x + 3 |< a 恒成立,则 a 的取值范围是 (4, +∞ ) . 解 : 1 ) 可 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 或 y =| x + 1| + | x ? 2 | 的 图 象 或 者 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 (

| x + 1| + | x ? 2 |=| x + 1| + | 2 ? x |≥| x + 1 + 2 ? x |= 3 得 | x + 1| + | x ? 2 |≥ 3 ,∴ a < 3 ;
(2)与(1)同理可得 | x ? 1| ? | x + 3 |≤ 4 ,∴ a > 4
1

【例 3】设 a > 0, b > 0 ,解关于 x 的不等式: | ax ? 2 |≥ bx . 解:原不等式可化为 ax ? 2 ≥ bx 或 ax ? 2 ≤ ?bx ,即 ( a ? b) x ≥ 2 ①或 ( a + b) x ≤ 2 ? x ≤

2 ②, a+b

2 2 2 ,∴此时,原不等式解为: x ≥ 或x≤ ; a?b a?b a+b 2 ; 当 a = b > 0 时,由①得 x ∈ φ ,∴此时,原不等式解为: x ≤ a+b 2 2 当 0 < a < b 时,由①得 x ≤ ,∴此时,原不等式解为: x ≤ . a?b a+b 2 2 ]U[ , +∞) , 综上可得,当 a > b > 0 时,原不等式解集为 (?∞, a+b a ?b 2 当 0 < a ≤ b 时,原不等式解集为 ( ?∞, ]. a+b
当 a > b > 0 时,由①得 x ≥ 【例 4】已知 A = {x || 2 x ? 3 |< a} , B = {x || x |≤ 10} ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围. ≠ 解:当 a ≤ 0 时, A = φ ,此时满足题意; 当 a > 0 时, | 2 x ? 3 |< a ?

3? a 3+ a <x< ,∵ A ? B , ≠ 2 2

?3 ? a ? 2 ≥ ?10 ? ? a ≤ 17 , ∴? 3+ a ? ≤ 10 ? 2 ?
综上可得, a 的取值范围为 ( ?∞,17] .

●点击双基

1.|

x x 3 |> 的解集是 (?1, 0) ;| 2 x ? 3 |> 3 x 的解集是 (?∞, ) ; 1+ x 1+ x 5 |a+b| ≥ 1 成立的充要条件是| a |>| b | ; |a|?|b|

2.不等式

3.若关于 x 的不等式| x ? 4 | + | x + 3 |< a 的解集不是空集,则 a ∈ (7, +∞) ; 4.不等式 | 2 x ? log 2 x |< 2 x + | log 2 x | 成立,则 x ∈ (1, +∞)

2


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