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2017解三角形高考真题


2017 高考真题解三角形汇编
1.(2017 北京高考题)(本小题 13 分) 在△ABC 中, ? A =60° ,c= (Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)若 a=7,求△ABC 的面积. (15) (共 13 分)

3 a. 7

3 解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 ?A ? 60? , c ? a , 7
所以由正弦定理得 sin C ?
c sin A 3 3 3 3 ? ? ? . a 7 2 14

3 (Ⅱ)因为 a ? 7 ,所以 c ? ? 7 ? 3 . 7
由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 72 ? b2 ? 32 ? 2b ? 3 ? 解得 b ? 8 或 b ? ?5 (舍).
1 1 3 ? 6 3. 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 8 ? 3 ? 2 2 2 2.(2017 全国卷 1 理科)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面

1 , 2

a2 积为 3sin A
(1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.

1 a 1 a2 17.解: (1)由题设得 ac sin B ? ,即 c sin B ? . 2 3sin A 2 3sin A
1 sin A sin C sin B ? . 2 3sin A 2 故 sin B sin C ? . 3
由正弦定理得 (2)由题设及(1)得 cos B cos C ? sin B sin C ? ? , ,即 cos( B ? C ) ? ? 所以 B ? C ?

1 2

1 . 2

2π π ,故 A ? . 3 3

由题设得

1 a2 bc sin A ? ,即 bc ? 8 . 2 3sin A
2 2

2 由余弦定理得 b ? c ? bc ? 9 ,即 (b ? c) ? 3bc ? 9 ,得 b ? c ? 33 .

1

故 △ABC 的周长为 3 ? 33 . 3 .( 2017 全国卷 1 文科) △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c 。已知

sinB ? sinA (sin C ? cos C ? ) , 0a=2,c= 2 ,则 C=B
A.

π 12

B.

π 6

C.

π 4

D.

π 3
,已知

4. ( 2016 全 国 卷 2 理 科 ) ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c

s i nA (?C ? )

B 8 2s i n . 2

(1)求 cos B (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 面积为 2,求 b . (1)由题设及 A ? B ? C ? ? 得 sin B ? 8sin
2

?
2

,故

sin B ? ( 4 1-cosB)
上式两边平方,整理得 17cos B-32cosB+15=0 解得 cosB=1(舍去),cosB= (2)由 cosB=
2

15 17

15 8 1 4 得 sin B ? ,故 S?ABC ? ac sin B ? ac 17 17 2 17 17 又 S ?ABC =2,则ac ? 2
由余弦定理学 科&网及 a ? c ? 6 得

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
2 ? (a +c) ? 2ac(1 ? cosB) 17 15 ? 36 ? 2 ? ? (1 ? ) 2 17 ?4

所以 b=2. 5. (2017 全国卷 2 文科 16) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB=acosC+ccosA, 则 B=

? 3
6.(2017 全国卷 3 理科)△ABC 的内角 A,B,C 的(百度搜索“童老师高中数学”,快速 提分课程)对边分别为 a,b,c,已知 sinA+ 3 cosA=0,a=2 7 ,b=2. (1)求 c;

2

(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD ? AC,求△ABD 的面积. 17.解: (1)由已知得 tanA= ? 3,所以A= 在 △ABC 中,由余弦定理得
2? 3

2? ,即c 2 +2c-24=0 3 解得c ? ?(舍去), 6 c=4 28 ? 4 ? c 2 ? 4c cos
(2)有题设可得 ?CAD =

?
2

,所以?BAD ? ?BAC ? ?CAD ?

?
6

1 ? AB ?AD ? sin 2 6 ?1 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 1 AC ?AD 2
又△ABC 的面积为

1 ? 4 ? 2 sin ?BAC ? 2 3,所以?ABD的面积为 3. 2

7.(2017 全国卷 3 文科)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 C=60° ,b= 6 , c=3,则 A=_________。75° 8.(2017 山东高考题理科) 在 ??? C 中, 角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若 ??? C 为锐角三角形,且满足 sin ? ?1 ? 2cosC? ? 2sin ? cosC ? cos ?sin C ,则下列等式成立的 是( )A (B) b ? 2a (C) ? ? 2? (D) ? ? 2 ?

(A) a ? 2b

9.(2017 山东高考题文科)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=3, AB ? AC ? ?6 ,S△ ABC=3,求 A 和 a.

??? ? ??? ?

10.(2017 天津高考题理科)在 △ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? b ,

a ? 5, c ? 6 , sin B ?

3 . 5

(Ⅰ)求 b 和 sin A 的值;

3

(Ⅱ)求 sin(2 A ? ) 的值. 15.(Ⅰ)解:在 △ABC 中,因为 a ? b ,故由 sin B ? 理,有 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 13 ,所以 b ? 13 .

π 4

3 4 ,可得 cos B ? .由已知及余弦定 5 5

由正弦定理

a b a sin B 3 13 ? ,得 sin A ? . ? sin A sin B b 13

所以, b 的值为 13 , sin A 的值为

3 13 . 13

11.(2017 天津高考题文科)在 △ABC 中,内角 A, B, C 所对的边(百度搜索“童老师高中 数学”,快速提分课程)分别为 a, b, c .已知 a sin A ? 4b sin B , ac ? 5(a2 ? b2 ? c2 ) . (I)求 cos A 的值; (II)求 sin(2 B ? A) 的值. (15) (Ⅰ)解:由 a sin A ? 4b sin B ,及

a b ? ,得 a ? 2b . sin A sin B

b2 ? c2 ? a 2 ? 由 ac ? 5(a2 ? b2 ? c2 ) ,及余弦定理,得 cos A ? 2bc
(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,可得 sin A ?

?

5 ac 5 5 ?? . ac 5

2 5 a sin A 5 ,代入 a sin A ? 4b sin B ,得 sin B ? . ? 5 4b 5
4 2 5 .于是 sin 2 B ? 2sin B cos B ? , 5 5

由(Ⅰ)知,A 为钝角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

cos 2 B ? 1 ? 2sin 2 B ?

3 ,故 5

4 5 3 2 5 2 5 . sin(2 B ? A) ? sin 2 B cos A ? cos 2 B sin A ? ? (? ) ? ? ?? 5 5 5 5 5

12.(2017 浙江高考题)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2. 点 D 为 AB 延长线上一点, BD=2,连结 CD,则△BDC 的面积是___________,cos∠BDC=__________.

15 10 , 2 4

4

13. 在 锐 角 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 si nA ?

2 2 ,a?3, 3

S?ABC ? 2 2 ,则 b ?

2或3

5


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