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吉林省白城市第一中学2018_2019学年高二数学12月月考试题理


吉林省白城市第一中学 2018-2019 学年高二数学 12 月月考试题 理
考试说明:(1)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间为 120 分钟; (2)第Ⅰ卷,第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,将正确答案的选项填涂在答题卡上.)

1. 有一段演绎推理是这样的:“指数函数都是增函数;已知

是指数函数



是增函数”的结论显然是错误的,这是因为 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误

A. 大前提错误

2. 若

,则 是 的 ( ) B. 必要不充分条件 C. 充要条件 ) D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件

3. 下列结论,不正确的是(

A. 若 p 是假命题, q 是真命题,则命题 p ? q 为真命题. B. 若 p ? q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题. C. 命题“若 sinx ? siny ,则 x ? y ”的逆命题为假命题.
2 2 D. 命题“ ?x, y ? R , x ? y ? 0 ”的否定是“ ?x0 , y0 ? R , x0 ? y0 ? 0 ”.

2

2

4. 曲线 f ? x ? ? e ? 3x ? 1在点 ? 0, 2 ? 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
x

A. 2

B.

3 2

C.

5 4

D. 1

5. 已知函数

,则其导函数

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

6. 图中阴影部分的面积总和可以用定积分表示为( )
1

A.

B.

C. 7. 已知 F 是双曲线 C :

D.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点,点 F 到 C 的一条渐近线的 a 2 b2


距离为 2 a ,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 2
2

B.

3

C.

5

D. 2

y2 ? x 2 ? 1相交 M , N 两点, 8. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 其准线与双曲线 3
若 ?MNF 为直角三角形,其中 F 为直角顶点,则 p ? ( A. 2 3 B. )

3

C. 3 3

D. 6

9. 经过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点作倾斜角为 45 ? 的直线 l , 交椭圆于 A , B 两点, 设O 2

为坐标原点,则 OA ? OB 等于( A. ?3 B. ?

??? ? ??? ?
1 3

) D. ?

C. ?

1 或 ?3 3

1 3

10. 在正四棱锥 S ? ABCD 中, O 为顶点 S 在底面的射影, P 为侧棱 SD 的中点,且

SO ? OD ,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是(
A. 75 ? B. 60 ? C. 45 ? D. 30 ?

)

2

D 是 AA1 的中点,则点 A 到平面 11. 在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,若 AB ? AA 1 ? 4 ,点

DBC1 的距离是(
A. 1 B.

) C.

2

3

D. 2 , ) D. 是 的导函数,且满足 ,则不等式

12. 已知函数

的定义域为 的解集为(

A.

B.

C.

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案写在答题卡的相应位置 上.

13. 已知命题

,命题 q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不充分 .

条件,则实数 a 的取值范围是 14. 椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 在其上一点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 02 ? 02 ? 1 .类 2 a b a b

x2 y 2 比上述结论,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 在其上一点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 a b
______.

3

15.

?3

?

3

9 ? x 2 dx =____.
x ,在下列命题中,其中正确命题的序号是_________. ex

16. 已知函数 f ? x ? ?

(1)曲线 y ? f ? x ? 必存在一条与 x 轴平行的切线; (2)函数 y ? f ? x ? 有且仅有一个极大值,没有极小值; (3)若方程 f ? x ? ? a ? 0 有两个不同的实根,则 a 的取值范围是 ( ? ?, ) ; (4)对任意的 x ? R ,不等式 f ? x ? ?

1 e

1 恒成立; 2

(5)若 a ? ? 0,

? ?

1? ,则 ?x1 , x2 ? R? ,可以使不等式 f ? x ? ? a 的解集恰为 ? x1 , x2 ? ; ? 2e ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解 答过程书写在答题纸的相应位置.) 17. (本题满分 10 分) 求

?

2

?2

( x 2 sin x ? e x )dx 的值

18. (本题满分 12 分)

4

已知 m>0, p : x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 , q : 2 ? m ? x ? 2 ? m . (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=5,“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 x 的取值范围. 19. (本题满分 12 分) 已知 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围 20. (本题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直, AB ? 2 , AF ? 1 . (1)求二面角 B ? DE ? C 的大小; (2)求点 F 到平面 BDE 的距离.
x

21. (本题满分 12 分) 若曲线 C1: + =1(a>b>0) , (y≤0)的离心率 e= 且过点 P(2 ,﹣1) ,曲线 C2:

5

x =4y,自曲线 C1 上一点 A 作 C2 的两条切线切点分别为 B,C. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程;

2

(Ⅱ)求 S△ABC 的最大值.

22. (本题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? lnx ? ax ?

1? a ? 1(a ? 0) x

(1)设 a ? 1 ,试讨论 f ? x ? 单调性; ( 2 ) 设 g ? x ? ? x ? 2bx ? 4 , 当 a ?
2

1 时 , 任 意 x1 ? ? 0 , 2 ? , 存 在 x2 ??1, 2 ? ,使 4

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 b 的取值范围.

6

高二数学理参考答案 一、选择题:1—5 AACDC 6--10 CCABD 11—12 二、填空题:13. [0, ] 14.

BB

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

15。

9 ? 2

16(1) (2) (4) (5) 三、解答题: 17. (本小题满分 10 分 18.(本小题满分 12 分)

e2 ?

1 e2

解:(1)记命题 p 的解集为 A=[-2,4], 命题 q 的解集为 B=[2-m,2+m], ∵ ? q 是 ? p 的充分不必要条件∴p 是 q 的充分不必要条件,∴ ∴{ ,

2 ? m ? ?2 2?m ? 4

,解得: m ? 4 .???6 分

(2)∵“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题, ∴命题 p 与 q 一真一假, ①若 p 真 q 假,则 {

?2 ? x ? 4 x ?3或x 7 x ?2或x 4 ?3 ? x ? 7

,无解,

②若 p 假 q 真,则 {

,解得: x ? ?3,? 2? ? ? 4,7 .

?

?

综上得: x ? ?3, ? 2? ? ? 4,7 .???12 分

?

?

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵f(x)=e -ax-1(x∈R),∴f′(x)=e -a.令 f′(x)≥0, 得 e ≥a.当 a≤0 时,f′(x)>0 在 R 上恒成立;当 a>0 时,有 x≥lna. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当 a>0 时, f(x)的单调增区间为(lna,+∞).??6 分 (2)由(1)知 f′(x)=e -a.∵f(x)在 R 上单调递增,
x x x x

7

∴f′(x)=e -a≥0 恒成立,即 a≤e 在 R 上恒成立. ∵x∈R 时,e >0,∴a≤0, 即 a 的取值范围是(-∞,0].??12 分
x

x

x

20(本小题满分 12 分) 解:? 正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直, 分别以 AB,AD,AF 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B( 2 ,0,0) ,C( 2 , 2 ,0) ,D(0, 2 ,0) , E( 2 , 2 ,1) ,F(0,0,1) . (1)设平面 CDE 的法向量为 h1 =(0,1,0), 平面 BDE 的法向量 h2 = ? x, y, z ? ,

??

?? ?

?? ? ??? ? ?? ? h2 ? BD ? 0, ? ??? ? 由 { ?? 解得 h2 ? 1,1, ? 2 . h2 ? BE ? 0. ?? ?? ? ?? ?? ? h1 ? h2 1 ∴ cos h1 , h2 ? ?? ??? ? , h1 | h2 | 2

?

?

∴二面角 B—DE—C 等于 60°.??6 分

(2) FE ?

??? ?

?

?? ? 2, 2, 0 , h2 ? 1,1, ? 2 ,

?

?

?

??? ? ?? ? ??? ? ?? ? EF ? h2 2 2 2 cos EF , h2 ? ??? ? , ? ??? ? 2 EF | h2 | 2 ? 2

??? ? ?? ? ??? ? h EF ? 2 .设点到平面 BDF 的距离为 h,则 cos EF , h2 ? ??? ?. EF
∴h ?

2 ? 2= 2 .所以点 F 到平面 BDE 的距离为 2 .??12 分 2

21(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意,

,解得 a =16,b =4,

2

2

8

∴曲线 C1 的方程为

(y≤0) ;??5 分

(Ⅱ)设 lBC:y=kx+b,联立 则 x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,
2

,得 x ﹣4kx﹣4b=0.

2

AB: △=

,代入 x =4y,得 ,∴ ,



则 AB:



同理 AC:
2 2

,得 A(

)=(2k,﹣b) ,



,即 k +b =4(0≤b≤2) ,

点 A 到 BC 的距离 d=





|BC|=



∴S△ABC=

= 当 b= ,k=

= 时取等号.??12 分



22(本小题满分 12 分) (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,

f ?? x? ?

1 1? a ?a? 2 x x

?

?ax 2 ? x ? a ? 1 ?ax 2 ? x ? a ? 1 ? ? x ? 1? ? ax ? ? a ? 1? ? ? ? x2 x2 x2
1? a ( a ? 1, x2 ? 0 )舍去 a
9

令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x1 ? 1 , x2 ?

令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 1 , 令 f ? ? x ? ? 0 ,则 0 ? x ? 1 所以当 x ? ?1, ?? ? 时,函数 f ? x ? 单调递增;当 x ? ? 0,1? 时,函数 f ? x ? 单调递减??5 分 (2)当 a ?

1 时, 4 1? a ?3 a

由(1)可知 f ? ? x ? ? 0 的两根分别为 x1 ? 1 , x2 ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,则 0 ? x ? 1 或 x ? 3 , 令 f ? ? x ? ? 0 ,则 1 ? x ? 3

可知函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, 2 ? 上单调递增, 所以对任意的 x1 ? ? 0, 2? ,有

f ? x1 ? ? f ?1? ? ln1 ?

1 1 1 ?1? ?1 ? ? , 4 4 2

由条件知存在 x2 ? 1,2 ,使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? , 所以 g ? x2 ? ? ?

? ?

1 2 1 2

即存在 x2 ? 1,2 ,使得 g ? x2 ? ? ? 分离参数即得到 2b ? x ? 由于 t ? x ?

? ?

9 在 x ??1,2? 时有解, 2x

9 17 ( x ??1,2? )为减函数,故其最小值为 , 2x 4 17 从而 2b ? 4 b? 17 ?17 ? ,所以实数 b 的取值范围是 ? , ?? ? ??12 分 8 ?8 ?

10


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