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2.4含绝对值不等式的解法(含答案)


含绝对值的不等式的解法

一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值 的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)公式法:即利用 x ? a 与 x ? a 的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义: x 是指数轴上点 x 到原点的距离; x 1 ? x 2 是指数轴上 x 1 , x 2 两点间的 距离.。 2、 x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。 当 a ? 0 时,不等式 x ? 的解集是 ?x x ? a , 或 x ? ? a ? 不等式 x ? a 的解集是 ?x ? a ? x ? a ? ; 当 a ? 0 时,不等式 x ? a 的解集是 ?x x ? R ? 不等式 x ? a 的解集是 ? ; 3. ax ? b ? c 与 ax ? b ? c 型的不等式的解法。 把 ax ? b 看作一个整体时,可化为 x ? a 与 x ? a 型的不等式来求解。 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ax ? b ? c , 或 ax ? b ? ? c ? 不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ? c ? ax ? b ? c ? ; 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x x ? R ? 不等式 a ? bx ? c 的解集是 ? ;

[例 1] 解不等式 x ? 2 ? 3 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“ x ? 2 ” 看着一个整体。答案为 ?x ? 1 ? x ? 5 ? 。 不等式|x2-3x|>4 的解集是________. 分析 可转化为(1)x2-3x>4 或(2)x2-3x<-4 两个一元二次不等式.
由 (1 ) 可 解 得 x < - 1 或 x > 4 , (2 ) ? .

[例 2]

答 填{x|x<-1 或 x>4}. [例 3]解不等式 2<|2x-5|≤7. 解法 1:原不等式等价于 ?
?2 x ? 5 | 2或 2 x ? 5 ? ?2 ? ? 7 ? 2 x ? 5 |? 7
? | 2 x ? 5 |? 2 ? | 2 x ? 5 |? 7

∴?

即?

7 3 ? ?x ? 或x ? 2 2 ?? 1 ? x ? 6 ?

1

∴原不等式的解集为{x|-1≤x<

3 2



7 2

<x≤6}

解法 2:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x-5≤7 (Ⅱ)2<5-2x≤7 不等式(Ⅰ)的解集为{x|
7 2

<x≤6},不等式(Ⅱ)的解集是{x|-1≤x<
3 2

3 2



∴原不等式的解集是{x|-1≤x< [例 4] 解关于 x 的不等式 x
2



7 2

<x≤6}.

? 3 x ? 8 ? 10
2

解:原不等式等价于 ? 10 ? x
2

? 3 x ? 8 ? 10 ,

? x ? 3 x ? 8 ? ? 10 ? x ? ? 1或 x ? ? 2 ? ? 即? 2 ?? 6 ? x ? 3 ? x ? 3 x ? 8 ? 10
∴ 原不等式的解集为 ( ? 6 , ? 2 ) ? ( ? 1, 3 ) 练习: (1) 4 x ? 3 ? 2 x ? 1 ; (2) 4 ? | 2 x ? 3 |? 7 ; (3) 3 ? 5 ? 2 x ? 9 ; (5) x
2

(4) 1 ? | x ? 1 |? 3 (6)

? 10 ? 3 x

x ?1 ? 4 ? 2。

1 1 7 ? ? ? ? ? x ? 5? 解答:(1) ? x x ? 或 x ? 2 ? (2) ? x ? 2 ? x ? ? 或 3 2 2 ? ? ? ?
(3) ? ? 2 ,1 ? ? ? 4 , 7 ? (4) ( ? 4, ? 2 ) ? (0, 2 ) (5) ? x | 2 ? x ? 5 ? (6) ?x ? 5 ? x ? ? 1或 3 ? x ? 7 ?

? a ( a ? 0 ), ? (二)定义法:即利用 a ? ? 0 ( a ? 0 ), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0 ). ?

[例] 解不等式

x x?2

?

x x?2

.

分析:由绝对值的意义知, a ? a ? a≥0, a ? ? a ? a≤0。 解:原不等式等价于
x x? 2

<0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。 ; 的解集是

练习: (1)|x+2|>x+2 的解集是 (2)不等式

{x|x<-2}
。 ?x x ? 2 或 x ? 0 ?

x 2? x

?

x 2? x

2

(三)平方法:解 f ( x ) ? g ( x ) 型不等式。 [例]、解不等式 x ? 1 ? 2 x ? 3 . 解:原不等式 ? ( x ? 1) ? ( 2 x ? 3) ? ( 2 x ? 3) ? ( x ? 1) ? 0
2 2 2 2

? (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ?

4 3

? x ? 2。

练习:解关于 x 的不等式

(1) 2 x ? 1

? 5? x ;

(2) 2 x ? 1 ? x ? 2 ; (3) | x ? 2 |? | x ? 1 |
;(2) ( ?

答案:(1)

1

1? ? , 3 ) ;(3) ? x x ? ? 。 2? 3 ?

(四)分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 [例 1] 解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 . 分析:由 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 和 x ? 2 。 ? 2 和1 把实数集合分成三个区间,即

x ? ? 2 , ? 2 ? x ? 1 , x ? 1 ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。
解:当 x<-2 时,得 ?
? x ? ?2 ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5 ? ? 2 ? x ? 1, ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5



解得: ? 3 ? x ? ? 2

当-2≤x≤1 时,得 ?



解得: ? 2 ? x ? 1

当 x ? 1 时,得 ?

? x ? 1, ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5 .

解得:1 ? x ? 2

综上,原不等式的解集为 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 。 [例 2] 解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 .

? x ? ?3 解:当 x ? ? 3 时,得 ? ,无解 ? ? ( 2 x ? 1) ? x ? ? ( x ? 3 ) ? 1

1 ? 3 1 ?? 3 ? x ? ? x? 当? 3 ? x ? ,得 ? ,解得: ? 2 2 4 2 ? ? ( 2 x ? 1) ? x ? x ? 3 ? 1 ?

1

1 ? 1 ?x ? 当 x ? 时,得 ? ,解得: x ? 2 2 2 ?2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 ?

1

综上所述,原不等式的解集为 ( ?

3 4



1 2

)

3

练习:1.解不等式: x ? 1 ? 2 ? x ? 2 2.解不等式: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 3. 解不等式: | 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 4

1 5? ? (答案: ? x x ? a 或 x ? ? 2 2? ?
(答案: ( ?? , ? 3 ] ? [ 2 , ?? ) )



1 ? ? (答案: ? x x ? ? 或 x ? 1 ? 2 ? ?

(五)几何法:即转化为几何知识求解。 [例] 对任何实数 x ,若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3 )

分析:设 y ? x ? 1 ? x ? 2 ,则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 k ? y m in ,于是题转化为求 y 的最小值。
x -1 0 2

解: x ? 1 、 x ? 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x ? 1 - x ? 2 的几何意义为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B)。

练习:

? 1 ? 对任意实数 x , | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是
? 2 ? 对任意实数 x , | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ? 3 ? 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是


; ; ;

a?3 ; ⑵ a ? 4 ; ⑶ a ?7 ;

4


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