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导数的应用综合


(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x + x 2 ( k ≥0)。 (Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。 解 : I ) 当 k ? 2 时 , f ( x) ? l n (1 x ? x ? 2 , f '( x) ? ( ? ) x
f (1)? l n 2 f '(1) ? ,
y ? ln 2 ? 1 ?1? 2x , 由 于 1? x
k 2

3 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2

3 ( x ? 1) ,即 3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0 . 2 x(kx ? k ? 1) (II) f '( x) ? , x ? (?1, ??) . 1? x x 当 k ? 0 时,f '( x) ? ? .所以, 在区间 (?1, 0) 上,f '( x) ? 0 ; 在区间 (0, ??) 1? x

上,f '( x) ? 0 .故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, 0) , 单调递减区间是 (0, ??) .
1? k x(kx ? k ? 1) ? 0 ,所以,在 ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? k 1? x 1? k 1? k , ?? ) 上,f '( x) ? 0 ; ) 上,f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 区间 (?1, 0) 和 ( 在区间 (0, k k 1? k 1? k , ?? ) ,单调递减区间是 (0, ). 得单调递增区间是 (?1, 0) 和 ( k k

当 0 ? k ? 1 时,由 f '( x) ?

当 k ? 1 时, f '( x) ? 当 k ? 1 时, f '( x) ?

x2 ,故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, ??) . 1? x

1? k x(kx ? k ? 1) ? ( ?1, 0) , x2 ? 0 . ? 0 ,得 x1 ? k 1? x 1? k 1? k )和 (0, ??) 上, f '(x )? 0;在区间 ( , 0 )上, 所以没在区间 (? 1, k k 1? k ) 和 (0, ??) , f '(x )? 0 ,故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, 单调递减区间是 k 1? k ( , 0) . k

192.【2010·全国卷 2 理数】设函数 f ? x ? ? 1 ? e? x . (Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ?
x ; x ?1

(Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

【解析】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生 综合运用知识的能力及分类讨论的思想, 考查考生的计算能力及分析 问题、解决问题的能力.

(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?
1 2

1? a ? 1 (a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 时,讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4. 当 a ? 时, 设 若对任意 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ??1, 2? ,
1 4

使
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? 所以 f ' ( x) ? ? a ? 令
1 x

1? a ?1 , x

a ? 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? x ? (0, ??) , x2 x2

h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0, ??) ,

①当 a ? 时, x1 ? x2, h( x)≥0 恒成立,此时 f ' ( x)≤0 ,函数 f ( x) 在
(0,+?) 上单调递减;

1 2

②当 0<a< 时, ? 1>1>0 ,
x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

1 2

1 a

1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ?? ) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a<0 时,由于 ? 1<0 , a
x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.

综上所述:

) (Ⅱ)因为 a= ? (0, ) ,由(Ⅰ)知,x1 =1,x2 =3 ? (0, 2) ,当 x ? (0,1 时,

1 4

1 2

f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ? 0b ? (2, ??) ?

1 ?17 ? b ? ? , ?? ? 当 x ? (1, 2) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 ?8 ?
1 2

函数 f ( x) 单调递增,所以 f ( x) 在(0,2)上的最小值为 f (1) ? ? 。 由于“对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2?,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值不大于 f ( x) 在(0,2)上的最小值 ? ”(*)
1 2

又 g ( x) = ( x ? b)2 ? 4 ? b2 , x1 ??1, 2? ,所以 ①当 b ? 1 时,因为 ? g( x)?min ? g(1) ? 5 ? 2b ? 0 ,此时与(*)矛盾 ②当 b??1, 2? 时,因为 ? g ( x)?min ? 4 ? b2 ? 0 ,同样与(*)矛盾 ③当 b ? (2, ??) 时,因为 ? g( x)?min ? g(2) ? 8 ? 4b ,解不等式 8-4b ? ,可
1 2

得b ?

17 8

综上,b 的取值范围是 ? ?

17 ? , ?? ? 。 ?8 ?

21.已知函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x ax

(1)若函数 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (3)当 a?1 时,求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有
ln n ? 1 1 1 1 ? ? ??? 。 2 3 4 n
f ( x) ? 1? x ? ln x ax

21 . 解 : 1 ) ∵ ( ... ...1



f ?( x ) ?

ax ? 1 ? a ? 0? ax 2

∵ 函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数

∴ ∴ ∴

ax ? 1 ? 0 x ??1, ??? 恒成立, . ...2 对 .. ax 2 1 ax ? 1 ? 0 对 x ??1, ??? 恒成立,即 a ? 对 x ??1, ??? 恒成立 x f ?( x )?
a ?1

... ...4[来源:学*科*网]

1 1 a( x ? ) x ? a ? a , x ? 0, (2)? a ? 0 f '( x ) ? 2 2 ax x

当 ? 0 即 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,
? f ( x ) 的增区间为 (0, ?? ) ... ...5

1 a

当 ? 0 即 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 ? x ? , f '( x ) ? 0 ? x ?

1 a

1 a

1 a

1 1 ? f ( x ) 的增区间为 ( , ?? ) ,减区间为( 0, )...6 ... a a

综上所述: a ? 0 , f ( x ) 的增区间为 ( , ?? ) ,减区间为( 0, ) ,
a ? 0 , f ( x ) 的增区间为 (0, ?? )

1 a

1 a

... ...7

(3)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1? x x ?1 ? ln x , f ?( x) ? 2 , x x

故 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数。 当
f(
n ?1


? f(


1 )


0

x?

n n ?1





x ?1





?x)

... ...8



? n ? f? ?? ? n ?1?
n 1 ? n ?1 n

1?

n n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 , n n ?1 n n ?1 n ?1

即 ln ∴ ∴

... ...10
1 4 1 , l?n ??? 3 3 4 , n , l?n n? n 1 1

2 1 3 ln ? , l n? 1 2 2

2 3 4 n 1 1 1 1 ln ? ln ? ln ? ??? ? ln ? ? ? ? ??? ? 1 2 3 n ?1 2 3 4 n

.. ..

. .11 ∴
ln n ? 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 4 n
1 2 1 3 1 4 1 n

即对大于 1 的任意正整数 n ,都有 ln n ? ? ? ? ??? ?
a x

190.【2010·湖南文数】已知函数 f ( x) ? ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a, 其中 a<0, 且 a≠-1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;

(Ⅱ)设函数

g ( x) ? {e? f ( x ),x?1

( ?2 x3 ?3 ax3 ?6 ax?4 a2 ?6 a ) e x , x?1

(e 是自然

数的底数) 。是否存在 a,使 g ( x) 在[a,-a]上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

191. 【 2010 · 浙 江 理 数 】 已 知 a 是 给 定 的 实 常 数 , 设 函 数
f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e2 , b ? R ,

x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点.

(Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1, x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点, 问是否存在实数 b , 可找到 x4 ? R , 使得 x1, x2 , x3 , x4 的某种排列 xi , xi , xi , xi (其中 ?i1, i2 , i3 , i4? = ?1,2,3,4? )依次成
1 2 3 4

等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由. 【解析】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及 等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题 能力和创新意识。 (Ⅰ)解:f’(x)=ex(x-a) ? x 2 ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a ? , ? ? 令
g ( x) ? x 2 ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a, 则? =(3-a+b) 2 ? 4(2b ? ab ? a ) ? ( a ? b ? 1) 2 ? 8 ? 0,

于是,假设 x1, x2是g ( x) ? 0的两个实根,且x1 ? x2 . (1) 当 x1=a 或 x2=a 时, x=a 不是 f(x)的极值点, 则 此时不合题意。 (2) 当 x1 ? a 且 x2 ? a 时,由于 x=a 是 f(x)的极大值点,故 x1<a<x2. 即 g ( x) ? 0 ,即 a ? (3 ? a ? b)a ? 2b ? ab ? a ? 0 ,
2

所以 b<-a,所以 b 的取值范围是(-∞,-a).

此时 x4 ? 2x2 ? a ? a ? b ? 3 ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6 或 x4 ? 2x2 ? a ? a ? b ? 3 ? (a ? b ? 1)2 ? 8 ? a ? a ? 2 6 (2)当 x2 ? a ? a ? x1 时,则 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) 或 (a ? x1 ) ? 2( x2 ? a)

于是 a ? b ? 1 ?

?9 ? 13 2

此时 x4 ?

a ? x 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? 2 4 2
7 ?3 1 2

综上所述, 存在 b 满足题意, b=-a-3 时, 4 ? a ? 2 6 ; b ? ?a ? 当 当 x 时, x4 ? a ?
1 ? 13 7 ? 13 1 ? 13 ;当 b ? ?a ? 时, x4 ? a ? . 2 2 2

193.【2010·辽宁文数】已知函数 f ( x) ? (a ?1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1, x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?
a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x) =0,解得 x= ?
f ?( x ) >0;

a ?1 .当 x∈(0, 2a

?

a ?1 )时, 2a

x∈( ? 在( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x) <0, 故 f(x)在(0, 2a a ?1 ,+ ? )单调减少. 2a

?

a ?1 )单调增加, 2a

(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2, 即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.令 g(x)=f(x)+4x,则
g ?( x) ? a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

于是 g ?( x) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0.从而 g(x)在(0,+ ? )单调减 x x

少 , 故 g(x1) ≤g(x2) , 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2 , 故 对 任 意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 . 195.【2010·江西理数】设函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? ax(a ? 0) . (1)当 a=1 时,求 f ? x ? 的单调区间。 (2)若 f ? x ? 在 ? 0, 上的最大值为 ,求 a 的值。 1? 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等 知识. 解: 对函数求导得:f ?( x) ? ?
1 x 1 ?a, 定义域为 (0, , 2) 2? x
1 2

(1)单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成. 当 a=1 时,令 f ?( x) ? 0得 ?
1 x 1 ? x2 ? 2 +1=0 ? ?0 2? x (2 ? x) x

当 x ? (0, 2), f ?( x) ? 0, 为增区间;当 x ? ( 2, f ?( x) ? 0, 为减函数. 2), (2)区间 ? 0, 上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端 1?

点的比较得到,确定待定量 a 的值.当 x? ? 0, 有最大值,则必不为减 1? 函数,且 f ?( x) ? ?
1 2

1 x

1 ? a >0,为单调递增区间.最大值在右端点取 2? x

到, f max ? f (1) ? a ? . 196.【2010·安徽文数】设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1, 0 ? x ? 2? ,求 函数 f ? x ? 的单调区间与极值. 【解析】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的 方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力. 对函数 对导函数用辅助角公式变形, 利用导数等 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1求导, 于 0 得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断 区间的单调性,求极值.
解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2? ,知f, ( x) ? 1 ? 2sin( x ? ). 4 ? 2 3? 令f, ( x) ? 0,从面sin( x ? ) ? ,得x ? ?,或x ? , 4 2 2 当x变化时,f, ( x),f(x)变化情况如下表:

?

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(

3? 3? 3? 单调递增区间是(? , ),极小值为f( )= ,极大值为f(? )=? ? 2 2 2 2

3? , ), 2? 2

【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调 性或极值,利用导数为 0 得可能的极值点,通过列表得每个区间导数 的正负判断函数的单调性,进而得出极值点. 197.【2010·重庆文数】已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中常数 a,b∈

R), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数. (Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

198.【2010·浙江文数】已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 (a-b) (a, b ? R, a <b). (I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ( x) )处的切线方程. (II)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点, x3 是 f ( x) 的一个零点,且 x3 ? x1 ,
x3 ? x2 .

证明:存在实数 x4 ,使得 x1, x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列, 并求 x4

199.【2010·重庆理数】已知函数 f ? x ? ?

x ?1 ? ln ? x ? 1? , 其中实数 a ? 1 . x?a

(I)若 a=-2,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0?? 处的切线方程; (II)若 f ? x ? 在 x=1 处取得极值,试讨论 f ? x ? 的单调性.

200.



2010

·



















Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), x1 ?{0,1}, i ? 1,2,…, n}(n ? 2) , 对 于 A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);

A



B

之 间 的 距 离 为

d ( A, B) ? ? | a1 ? b1 |
i ?1

(Ⅰ)当 n=5 时,设 A ? (0,1,0,0,1), B ? (1,1,1,0,0) ,求 A ? B , d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅲ) 证明: A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d (B, C) 三个数中至少有一个是偶 ? 数. (Ⅰ)解: A ? B ? ( 0 ?1 , 1?1 , 0 ?1 , 0 ? 0 , 1? 0 ) =(1,0,1,0,1)
d ( A, B) ? 0 ?1 ? 1 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 =3

(Ⅱ)证明:设 A ? (a1, a2 , ???, an ), B ? (b1, b2 , ???, bn ), C ? (c1, c2 , ???, cn ) ? Sn 因为 a1 , b1 ?{0,1} ,所以 a1 ? b1 ?{0,1}(i ? 1,2, ???, n) 从而 A ? B ? ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , ??? an ? bn ) ? Sn 由题意知 ai , bi , ci ?{0,1}(i ? 1, 2, ???, n) 当 ci ? 0 时, ai ? ci ? bi ? ci ? ai ? bi 当 ci ? 1 时, ai ? ci ? bi ? ci ? (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) ? ai ? bi 所以 d ( A ? C, B ? C ) ? ? ai ? bi ? d ( A, B)
i ?1 n

(Ⅲ)证明:设 A ? (a1, a2 , ???, an ), B ? (b1, b2 , ???, bn ), C ? (c1, c2 , ???, cn ) ? Sn ,
d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .记 0 ? (0,0, ???0) ? Sn 由(Ⅱ)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (0, B ? A) ? k d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (0, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h

所以 bi ? ai (i ? 1,2, ???, n) 中 1 的个数为 k, ci ? ai (i ? 1,2, ???, n) 中 1 的个数为 l . 设 t 是使 bi ? ai ? ci ? ai ?1 成立的 i 的个数.则 h ? l ? k ? 2t , 由此可知,
k , l , h 三个数不可能都是奇数,即 d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有

一个是偶数. 201.【2010·北京理数】已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x + x 2 ( k ≥0). (Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间. 解 : I ) 当 k ? 2 时 , f ( x) ? l n (1 x ? x ? 2 , f '( x) ? ( ? ) x
f (1)? l n 2 f '(1) ? ,
y ? ln 2 ? 1 ?1? 2x , 由 于 1? x x 2

3 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2

3 ( x ? 1) ,即 3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0 . 2 x(kx ? k ? 1) (II) f '( x) ? , x ? (?1, ??) . 1? x x 当 k ? 0 时,f '( x) ? ? .所以, 在区间 (?1, 0) 上,f '( x) ? 0 ; 在区间 (0, ??) 1? x

上,f '( x) ? 0 .故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, 0) , 单调递减区间是 (0, ??) .
1? k x(kx ? k ? 1) ? 0 ,所以,在 ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? k 1? x 1? k 1? k , ?? ) 上,f '( x) ? 0 ; ) 上,f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 区间 (?1, 0) 和 ( 在区间 (0, k k 1? k 1? k , ?? ) ,单调递减区间是 (0, ). 得单调递增区间是 (?1, 0) 和 ( k k

当 0 ? k ? 1 时,由 f '( x) ?

当 k ? 1 时, f '( x) ? 当 k ? 1 时, f '( x) ?

x2 ,故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, ??) . 1? x

1? k x(kx ? k ? 1) ? ( ?1, 0) , x2 ? 0 . ? 0 ,得 x1 ? k 1? x 1? k 1? k )和 (0, ??) 上, f '(x )? 0;在区间 ( , 0 )上, 所以没在区间 (? 1, k k 1? k ) 和 (0, ??) , f '(x )? 0 ,故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, 单调递减区间是 k 1? k ( , 0) . k

202.【2010·四川理数】设 f ( x ) ? 的反函数. (Ⅰ)设关于 x 的方程求 loga 数解,求 t 的取值范围;

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1) ,g(x)是 f(x) 1? ax

t ? g( x ) 在区间[2,6]上有实 ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

(Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,证明:? g( k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ; 2n( n ? 1 )

n 1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较?? f ( k ) ? n 与 4 的大小,并说明理由. ? 2 k ?1

【解析】本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等 基础知识,考察化归、分类整合等数学思想方法,以及推理论证、分 析与解决问题的能力. 解:(1)由题意,得 ax= 1)∪(1,+∞), 由 log a
t x ?1 ? log a 得,t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6],则 ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2

x ?1 y ?1 >0,故 g(x)= log a ,x∈(-∞,- x ?1 y ?1

t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下: x t' t 5 2 (2,5) + ↗ 5 0 极大值 32 (5,6) ↘ 25 6

所以 t 最小值=5,t 最大值=32,所以 t 的取值范围为[5,32]. (2)

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ?? ? ln n ? 1
k ?2

n

1

2

3

n ?1

=ln( ? ? ? ???

1 2 3 3 4 5

n ?1 ) n ?1

=-ln

n(n ? 1) 2
1 2 1 1? z2 =-2lnz+z- , z>0,则 u'(z)=- ? 1 ? 2 z z z z

令 u(z)=-lnz2-
1 z

=(1- )2≥0,所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数.又因为

n(n ? 1) >1 2

>0,所以 u(

n(n ? 1) 1? n(n ? 1) 2 2 )>u(1) =0,即 ln >0,即 ? 2 n(n ? 1) n(n ? 1) 2

2 ? n ? n2 ? g (k ) ? 2n(n ? 1) . k ?2
n

(3)设 a=

1 1? a 2 ? 1 ? ≤3 ,则 p≥1,1<f(1)= 1? p 1? a p

当 n=1 时,|f(1)-1|= ≤2<4;当 n≥2 时,设 k≥2,k∈N*时,则 f(k) =
2 (1 ? p)k ? 1 2 =1+ 1 ,所以 1< ? 1? 2 2 k k Ck p ? Ck p ? ? ? Ckk p k (1 ? p) ? 1 (1 ? p) ? 1 2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

2 p

f(k)≤1 +

, 从 而

n - 1 <

?
k ?2

n

n 4 4 4 =n+1<n+1,所以 n< ? f (k ) <f(1)+n+ f (k ) ≤n-1+ ? 2 n ?1 n ?1 k ?1 n

1≤n+4,综上所述,总有| ? f (k ) -n|<4.
k ?1

203. 【2010· 天津文数】 已知函数 f (x) ax3 ? x 2 ? 1( x ? R) , = 其中 a>0. (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ? , ? 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ? ?
1 1

3 2

【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调 性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方

法.满分 12 分. 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)= x 3 ? x 2 ? 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3x 2 ? 3x , f’(2)=6.所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6 (x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)f’(x)= 3ax2 ? 3x ? 3x(ax ?1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= . 以下分两种情况讨论: 若 0 ? a ? 2,则 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: X f’(x) f(x)
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
1 a 1 2 1 a
3 2

0 0 极大值

? 1? ? 0, ? ? 2?

+
?

?

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) ? 0, ? 8 ? 0, 1 1 ? 即? 当 x ? ?? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? ? 2 2? ? ? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?

解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . 若 a>2,则 0 ? ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: X f’(x) f(x)
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
1 a 1 2

0 0 极大值

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 1? ? ,? ?a 2?

+
?

?

0 极小值

+
?

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, 1 1? ? ? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?

解不等式组得

2 2 .因此 2<a<5. ? a ?5或a ? ? 2 2

综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5. 204.【2010·天津理数】已知函数 f ( x) ? xc? x ( x ? R) , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对 称,证明当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2 . 【解析】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与 极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力, 满分 14 分 (Ⅰ)解:f’ ( x) ? (1 ? x)e? x ,令 f’(x)=0,解得 x=1,当 x 变化时, f’(x),f(x)的变化情况如下表: X f’(x) f(x) ( ??,1 ) +
?

1 0 极大值

(1, ?? ) ?

所以 f(x)在( ??,1 )内是增函数,在( 1, ?? )内是减函数.函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= . ( Ⅱ ) 证 明 : 由 题 意 可 知 g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2-x) e x ? 2 , 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F ( x) ? xe? x ? ( x ? 2)ex?2 ,于是 F '( x) ? ( x ?1)(e2 x?2 ?1)e? x . 当 x>1 时,2x-2>0,从而 e2x-2 ?1 ? 0, 又e? x ? 0, 所以F ’(x)>0,从而函数 F ( x ) 在 [1,+ ∞ ) 是 增 函 数 . 又
1 e

F(1)= e-1 ? e-1 ? 0,所以x>1时,有F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).

(



)









( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0,由(?)及f(x1 ) ? f(x2 ), 则x1 ? x2 ? 1.与x1 ? x2矛盾。

若 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0,由(?)及f(x1 ) ? f(x2 ), 得x1 ? x2 .与x1 ? x2矛盾。 因此 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)? 0, 不妨设 x1 ? 1,2 ? 由(Ⅱ)可知, f(x2 ) > g(x2 ) ,则 x 1.
g(x2 ) = f(2-x2 ) ,所以 f(x2 ) > f(2-x2 ) ,从而 f(x1 ) > f(2-x2 ) .因为 x2 ? 1,所以 2 ? x2 ? 1,又由(Ⅰ)可知函数 f(x)在区间(-∞,1)内事增函数,

所以 x1 > 2 ? x2 ,即 x1 ? x2 >2. 205. 【2010·福建文数】已知函数 f(x)= x3 ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+
m 是[ 2, ?? ]上的增函数, x ?1 1 3

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲 线 y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存 在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

206.【2010·福建文数】某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘 正在航行的轮船上, 在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30°且与 该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀 速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则小艇航行速度的大小应为 多少?

(Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇, 试确定小艇 航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在? ,使得小艇以? 海里/小时的航行速度行驶,总能有两 种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定 ? 的取值范围;若不 存在,请说明理由.

207.【2010·全国卷 1 理数】已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ?1) f ( x) ? 0 .

208.【2010`湖北文数】已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2) ,其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年 以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆除面积为 b(单位: m2)的旧住房. (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加 了 30%,则每年拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6)

209.【2010·山东理数】已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ? 时,讨论 f ( x) 的单调性;
1 2

1? a ? 1 (a ? R) . x

(Ⅱ) g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4. 当 a ? 时, 设 若对任意 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ??1,2? , 使
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

1 4

(Ⅱ)当 a ? 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函 数,所以对任意 x1 ? (0, 2) , 有 f(x1 ) ? f(1)=- ,又已知存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) ,
1 2 1 2

1 4

x2 ??1,2? ,

即 存 在 x ??1, 2? , 使 g ( x)?

2

1 ? x ? 2 b ? 4 ? ? 即 2b x x , 2

2

x ?

9 , 即 2

9 1 1 1 7 , , ] 2b ? x ? 2 ? [ 2 4 x 11 11 11 所以 2b ? ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ?? ) 。 2 4 4

【命题意图】 本题将导数、 二次函数、 不等式知识有机的结合在一起, 考查了利用导数研究函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次 函数的最值问题, 考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的 能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性; (2)利用导数 求出 f ( x) 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出 g ( x) 在闭区 间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数. 210. 2010· 【 湖南理数】 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的 x ? R , 恒有 f ' ( x) ? f ( x) . (Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c) 2 ; (Ⅱ)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 ) 恒 成立,求 M 的最小值. 解:

211. 【2010· 湖北理数】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年 的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系: C(x)=
k (0 ? x ? 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元. 3x ? 5

设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式.

(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

212.【2010·福建理数】 (Ⅰ)已知函数 f (x)=x3 -x , 其图象记为曲线C . (i)求函数 f (x) 的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P1 (x1,f(x1 )) 处的 切线交于另一点 曲线 C 与其在点 P2 (x 2 ,f(x 2 )) 处的切线交于另一点 P3 (x3 ,f(x3 )) , P2 (x 2 ,f(x 2 )) , 线段
P1P2 ,P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1 ,S2 ,则 S1 为定值; S2

(Ⅱ)对于一般的三次函数 g(x)=ax3 +bx2 +cx+d(a ? 0),请给出类似于 (i) (ii)的正确命题,并予以证明. 【解析】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象

概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数 形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想. 解: (Ⅰ) (i)由 f (x)=x3 -x 得 f ' (x)=3x 2 -1 = 3(x当 x ? (-?,3 3 )(x+ ), 3 3

3 3 3 3 ) 时, f ' (x)<0 ; )和 ( , ?) ? 时, f ' (x)>0 ;当 x ? (, 3 3 3 3 3 3 ,单调递减区间为 )和 ( , ?) ? 3 3

因此, f (x) 的单调递增区间为 (-?,3 3 , ). 3 3

(-

213.【2010·湖北理数】

214.【2010·安徽理数】设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ?R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 2ax ? 1。

215.【2010·江苏卷】设 f (x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函 数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数 h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都 有 h(x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称函数 f (x) 具有性质 P(a) . (1)设函数 f (x) ? ln x ?
b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数. x ?1

(i)求证:函数 f (x) 具有性质 P(b) ; (ii)求函数 f (x) 的单调区间. (2)已知函数 g (x) 具有性质 P(2) .给定 x1, x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,
? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,

若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围. 【解析】 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知 识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与 解决问题的综合能力. 解: (1)(i) f '( x) ? 1 ?
x b?2 1 ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 ( x ? 1) x( x ? 1)2

∵ x ? 1 时, h( x) ?

1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2

∴函数 f (x) 具有性质 P(b) ; (ii)(方法一)设 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? 同。 当1 ?
b2 ? 0, ?2 ? b ? 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上 4

b 2 b2 ) ?1? 2 4

, ? ( x) 与 f ' ( x) 的符号相

递增; 当 b ? ?2 时, 对于 x ? 1 , f ' ( x) ? 0 , 有 所以此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ? ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 , 对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递 增; (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x2 ? bx ? 1 ? x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 所以 f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ? ? 1 ,方程 ? ( x) ? 0 的两根 为:
b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, ? ? (0,1) ,而 , 2 2 2 2 b ? b2 ? 4
b 2 b 2

当 x ? (1,

b ? b2 ? 4 ) 时 , ? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 , 故 此 时 f (x) 在 区 间 2

b ? b2 ? 4 ( 1, ) 2

上递减; 同理得:f (x) 在区间 [

b ? b2 ? 4 , ??) 上递增。 2

综上所述,当 b ? 2 时, f (x) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时, f (x) 在 (1, b ? 递增。 (2)方法一:由题意,得: g '( x) ? h( x)( x2 ? 2x ?1) ? h( x)( x ?1)2 又 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0, 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增。
b2 ? 4 上递减; f ) 2
2 (x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上

2

又 ? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ) 。 当
m? 1 ,m ?1 2


? ?x ? ? )
2



? ??
)


x 1 ,


m (2 x 1

? ? x1 ? ( ?

? ? m 1

1

( ? m ? 1 ,2x

综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1). 方法二:由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x2 ? 2x ?1) ,其中函数
h( x ) ? 0 对 于 任 意 的 x ? (1,??) 都 成 立 。 所 以 , 当 x ? 1 时 ,

g ' ( x ? h ( x ) x2 ) ?(

?,从而 g ( x) 在区间 (1,??) 上单调递增. 1) 0

①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,
? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1, x2 ) ,

所以由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,符合题设。 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,于是由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的单调性知

g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设

不符。 ③ 当 m ? 1 时 , 同 理 可 得 ? ? x1, ? ? x2 , 进 而 得 | g (? ) ? g ( ? ) | ≥ | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。 216. 【2010·上海市卢湾区 4 月模拟考试】 如图, 反比例函数 y ? ( x ? 0 )的图像过点 A(1, 4) 和 B(4,1) ,点 P(x, y ) 为该函数图 像上一动点,过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足为 C 、
D .记四边形 OCPD ( O 为坐标原点)与三角形 OAB 的公
D

f ( x)

y
A

P

B
x

共部分面积为 S . (1)求 S 关于 x 的表达式; (2)求 S 的最大值及此时 x 的值. 解: (1)由题设,得
S ?4? x2 2 ? 8 x2

O

C

f ( x) ?

4 15 S ? x2 x?0) x ≤ 1 时, x( 8 ,当 1 ? x ? 4 时, ,当 S? 30 x 2 ,故

,当 x ≥ 4 时,

?15 2 x ≤ 1, ?8 x , ? x2 2 ? S ? ?4 ? ? 2 , 1 ? x ? 4, 8 x ? ? 30 x ≥ 4. ? x2 , ?

(2)易知当 时,
S?

S?

15 2 x 8

x ≤ 1 时,为单调递增函数,

S≤

15 8 ,当 x ≥ 4

x2 2 30 15 S ?4? ? S≤ 8 x2 x 2 为单调递减函数, 8 ,当 1 ? x ? 4 时,

在区间

15 ? S ≤3 (1, 2) 上单调递增,在区间 (2, 4) 上单调递减, (证明略) ,得 8 ,

故 S 的最大值为 3 ,此时 x ? 2 . 217. 【2010·北京宣武一模】已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a , b ?R)
3

⑴若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; ⑵若 y ?
f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f ( x) 在区

间 [?2, 4] 上的最大值; ⑶当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. 解:⑴
f ?( x) ? x2 ? 2ax ? a2 ? 1

,∵ x ?1 是

f ( x)

的极值点,∴

f ?(1) ? 0

,即

a 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 或

2. 上.∴
?? 1
f (1) ? 2

⑵∵

(1, f (1))



x? y ?3? 0

,∵

(1, 2)



y ? f ( x)

上,

∴ 2 ? 1 ? a ? a2 ? 1 ? b ,又 f ?(1)
3 a ? 1, b ?

,∴ 1 ? 2a ? a2 ? 1 ? ?1 ,∴ a2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得

8 ,∴ f ( x) ? 1 x2 ? x2 ? 8 , f ?( x) ? x2 ? 2x ,由 f ?( x ) ? 0 可知 x ? 0 和 x ? 2 是 3 3 3 8 4 f ( x) 的极值点. f (0) ? , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 , f ( x) 在区间 [?2, 4] 上 ∵ ∴ 3 3

的最大值为 8. ⑶因为函数 f ( x) 在区间 (? 1,1)不单调,所以函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零 点.而 f ?( x) ? 0 的两根为 a ? 1 , a ? 1 ,区间长为 2 ,∴在区间 (?1,1) 上不可 能 有 2 个 零 点 . 所 以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即 a2 ( a? 2 ) (a? 2 ) . ∵ a 2 ? 0 , ? 0 ∴ (a ? 2)(a ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? 2 .又∵ a ? 0 ,∴ a ? (?2, 0) ? (0, 2) . 218. 【 2010· 石 家 庄 市 教 学 质 量 检 测 ( 二 ) 】
f ( x) ?

已知函数

1 3 1 x ? (m ? 3) x 2 ? (m ? 6) x ,x∈R. (其中为 m 常数) (I)当 m=4 3 2

时,求函数的单调区间; (II)若函数 y=f(x)在区间(1,+∞)上 有两个极值点,求实数 m 的取值范围. 解:函数的定义域为 R 1 7 (Ⅰ)当 m=4 时,f(x)= x3- x2+10x, f ?( x) =x2-7x+10,令 3 2
f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2 .令 f ?( x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 ,

可 知

函数 f(x)的单调递增区间为 (??,2) 和(5,+∞) ,单调递减区间为 (2,5). (Ⅱ) f ?(x) =x2-(m+3)x+m+6,要使函数 y=f (x)在(1,+ ∞)有两个极值点,
? ?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0; ? 则 ?1 ? (m ? 3) ? m ? 6 ? 0; ,解得 m>3. ?m ? 3 ? ? 1. ? 2

219. 【2010·黄岗中学八月月考】已知 f ( x) ? x 2 ? bx ? 2, x ? R. (1)若函数 F ( x) ? f [ f ( x)]与f ( x)在x ?R 时有相同的值域,求 b 的取值范 围; (2)若方程 f ( x)? | x2 ? 1|? 2 在(0,2)上有两个不同的根 x1、x2,求 b 的取值范围,并证明 1
x1 ? 1 ? 4. x2

解:(1)当 x ? R 时,函数 f ( x) ? x2 ? bx ? 2 的图象是开口向上,且对称轴 为 x ? ? b 的抛物
2

线,f ( x) 的值域为 ? 8 ? b
? 4

?

2

2 ? ? ? 所以 F ( x) ? f [ f ( x)] 的值域也为 ? 8 ? b , ?? ? 的 , ?? ? , ? ? 4 ?

充要条件 是
8 ? b2 b ≤ ? , 即b 2 ? 2b ? 8 ≥ 0, ? b ≤ ?2, 或b ≥ 4 4 2

,即 b 的取值范围为

(??, ?2] ? [4, ??).

(2) f ( x)? | x2 ? 1|? 2,即x2 ? bx? | x2 ? 1|? 0 ,由分析知 b ? 0 , 不妨 设 0 ? x1 ? x2 ? 2, 令H ( x) ? x2 ? bx? | x2 ? 1|? ?
?bx ? 1,| x |≤1,
2 ?2 x ? bx ? 1,| x |? 1,

因为 H ( x )在 ( 0, 1]

上是单调函数,所以 H ( x) ? 0 在 (0,1] 上至多有一个解.若 x1 , x2 ? (1,2) ,即

x1 、 x2 就 是 2 x 2 ? b x? 1 ? 0的 解 , x1 x2 ? ? 1 ? 0 , 与 题 设 矛 盾 . 因 此 ,
2
x1 ? (0,1], x2 ? (1, 2). 由 H ( x1 ) ? 0得b ? ?
1 x1

, 所以 b ≤ ?1 ; H ( x2 ) ? 0得b ? 由

1 ? 2 x2 , 所 x2

以 ? 7 ? b ? ?1. 故当 ? 7 ? b ? ?1 时,方程 f ( x)? | x2 ? 1|? 2在(0,2) 上有两个解.由
2

2

b??

1 1 和b ? ? 2 x2 消去 x1 x2

b,得 1

x1

?

1 ? 2 x2 . x2

由 x2 ? (1, 2), 得 1

x1

?

1 ? 4. x2

220. 【2010·上海市奉贤区 4 月质量调研】已知函数 (1)求出函数 f ( x) 的对称中心; (2)证明:函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为减函数;

f ( x) ?

2? x x ?1 ,

(3)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3 成立,若存在求出 x0 ;若不存 在,请说明理由. 解: (1)
? f ( x) ? 2 ? x ?x ?1? 3 3 ? ? ?1 ? x ?1 x ?1 x ? 1 ,? 函数 f ( x) 的对称中心为

x0

(-1,-1) (2)任取 x1 , x2 ? (?1, ??) ,且 x1 ? x2 , ∵
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? x1 2 ? x2 3x2 ? 3x1 ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)



∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为减函数;
x ( 3 ) 不 存 在 . 假 设 存 在 负 数 x0 , 使 得 f ( x0 )? 3 成 立 , 则
0

? x0 ? 0 ,? 0 ? x03 ? 1 ,
2 ? x0 ?1 x0 ? 1

即 0 ? f ( x0 ) ? 1
??

,?

0?



? ?1 ? x0 ? 2 ? ?1 ? x0 ? 2 ? ? ?? ? ? ?2 x0 ? 1 1 ? x ?1 ? 0 ? x0 ? ?1或x0 ? 2 ? ? 0

1 ? x0 ? 2 x0 2 , x0 ? 0 矛盾, 与 所以不存在负数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? 3 成立.

另:

f ( x) ? ?1 ?

3 x ? 1 ,由 x0 ? 0 得: f ( x0 ) ? ?1 或 f ( x0 ) ? 2 但 0 ? 3 x0 ? 1,所

以不存在. 221. 【2010·黄岗中学八月月考】已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函 数,且 f (1) ? 1 ,若任意的 a、b ?[?1,1] ,当 a ? b ? 0 时,总有
f (a) ? f (b) ? 0. a?b

(1)判断函数 f ( x) 在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2)解不等式: f ( x ? 1) ? f (
1 ); x ?1

(3)若 f ( x) ≤ m2 ? 2 pm ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 恒成立,其中 p ? [?1,1] ( p 是 常数) ,求实数 m 的取值范围. 解:(1) f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,证明如下: 任 取
x1、x2 ?? ?1,1?

, 且

x1 ? x2

, 则

x1 ? x2 ? 0

, 于 是 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? ? 0, x1 ? x2 x1 ? (? x2 )

而 x1 ? x2 ? 0 ,故 f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ,故 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数.

(2)由 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数知:
? ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 ??2 ≤ x ≤ 0 ? ? 1 ? ≤ 1 ? ? x ≥ 2, 或x ≤ 0 ? ?2 ≤ x ? ? 2 , ??1 ≤ x ?1 ? ? ? x ? ? 2, 或1 ? x ? 2 ? 1 ?x ? 1 ? x ?1 ?

故不等式的解集为 ? x ?2 ≤ x ? ?

2

?.

(3)由(1)知 f ( x) 最大值为 f (1) ? 1 ,所以要使 f ( x) ≤ m2 ? 2 pm ? 1 对所有 的 x ? [?1,1] 恒成立,只需 1≤ m2 ? 2 pm ? 1 成立,即 m(m ? 2 p) ≥ 0 成立. ①当 p ? [?1, 0) 时, m 的取值范围为 (??, 2 p] ? [0, ??) ; ②当 p ? (0,1] 时, m 的取值范围为 (??, 0] ? [2 p, ??) ; ③当 p ? 0 时, m 的取值范围为 R.

222. 【2010·北京丰台一模】已知函数 f ( x) ? ln x ? a .⑴当 a ? 0 时,求
x

函数 f ( x) 的单调区间;⑵若函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上的最小值是 3 , 求 a 的值.
2

解:函数 f ( x) ? ln x ? a 的定义域为 ? 0 , ? ? ? , f '( x) ? 1 ?
x x

a x?a ? 2 x2 x

⑴∵ a ? 0 ,∴ f ? ? x ? ? 0 故函数在其定义域 ? 0 , ? ? ? 上是单调递增的. ⑵在 ?1 , e? 上,分如下情况讨论: ①当 a ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,其 最小值为 f (1) ? a ? 1 ,这 与函数在 ?1 , e? 上的最小值是 3 相矛盾;
2

②当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 单调递增,其最小值为 f (1) ? 1 ,同样与最 小值是 3 相矛盾;
2

③当 1 ? a ? e 时,函数 f ( x) 在 ?1 , a ? 上有 f ? ? x ? ? 0 ,单调递减,在 ? a , e? 上有 f '?( x) ? 0 , 单 调 递 增 , 所 以 函 数 f ( x) 满 足 最 小 值 为 f (a) ? ln a ? 1 , 由
ln a ? 1 ? 3 ,得 a ? e . 2

④当 a ? e 时,函数 f ? x ? 在 ?1 , e ? 上有 f ? ? x ? ? 0 ,单调递减,其最小值为
f (e) ? 2 ,还与最小值是

3 2

相矛盾; 相矛盾;综上所述, a 的值为
e.

⑤当

a?e

时 , 显 然 函 数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上 单 调 递 减 , 其 最 小 值 为

f (e) ? 1 ?

3 a ? 2 ,仍与最小值是 2 e

223. 【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】某地需要修建一条大型 输油管道通过 240 公里宽的沙漠地带, 该段输油管道两端的输油站已 建好, 余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道 和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程 费用为 400 万元,铺设距离为 x 公里的相邻两增压站之间的输油管道 费用为 x2 ? x 万元.设余下工程的总费用为 y 万元. (Ⅰ)试将 y 表示成关于 x 的函数; (Ⅱ)需要修建多少个增压站才能使 y 最小,其最小值为多少万元? 解:(I)设需要修建 k 个增压站,则 (k ? 1) x ? 240 ,即 k ? 所以
y ? 400k ? (k ? 1)( x 2 ? x) ? 400 ? ( 240 240 2 96000 ? 1) ? ( x ? x) ? ? 240 x ? 160 x x x
240 ?1 . x

. 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤240.
96000 ? 240 x ? 160(0 ? x ? 240) . x 96000 96000 (II) y ? ? 240 x ? 160 ? 2 ? 240 x ? 160 ? 2 ? 4800 ? 160 ? 9440 . x x 96000 ? 240x 即 x ? 20 时取等号.此时, 当且仅当 x 240 240 k? ?1 ? ? 1 ? 11 . x 20

故 y 与 x 的函数关系是 y ?

故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小,其最小值为 9440 万元. 224. 【2010·上海市浦东新区 4 月预测】 2010 年上海世博会组委会 为保证游客参观的顺利进行, 对每天在各时间段进入园区和离开园区 的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见,以 10 分钟为一个计算单 位,上午 9 点 10 分作为第一个计算人数的时间,即 n ? 1 ;9 点 20 分 作为第二个计算人数的时间,即 n ? 2 ;依此类推 ??,把一天内从上 午 9 点到晚上 24 点分成了 90 个计算单位. 对第 n 个时刻进入园区的 人数 f (n) 和时间 n ( n ? N )满足以下关系(如图 1) :
3600 ? n ? 24 ? ? 3600? 3 12 f ( n) ? ? ?? 300n ? 21600 ? 0 ? (1 ? n ? 24) (25 ? n ? 36) (37 ? n ? 72) (73 ? n ? 90) , n ? N ?
3600 3600 1 1 1 O 1 90 n 24 24 3636 (图 1)
72 f(n) f (n)
?

10800 10800

对第 n 个时刻离开园区的人数 g (n) 和时间
n ( n ? N ? )满足以下关系(如图 2) :
0 (1 ? n ? 24) ? ? g (n) ? ?500 n ? 12000 (25 ? n ? 72) , n ? N ? ? 5000 (73 ? n ? 90) ?

72 90 n

g (n)

24000

(1)试计算在当天下午 3 点整(即 15 点整) 时,世博园区内共有多少游客?
12000

6000 5000 O 24 36 图2 72 90 n

(2)请求出当天世博园区内游客总人数最多 的时刻. 解:(1)当 0 ? n ? 24 且 n ? N 时, f (n) ? 3600 ,
?

当 25 ? n ? 36 且 n ? N 时, f (n) ? 3600 ? 3
?

n ? 24 12



所以 S36 ? ? f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (24)? ? ? ? ? f (25) ? f (26) ? ? ? f (36)?
? 12 3 12 312 ? 1 ? ? 12 3 ? 1 ? ? 3600 × 24 ? 3600 × ?

?

? ??

? ? ? ? 86400 ? 82299.59 ? 168700 ;

另一方面,已经离开的游客总人数是:
12 ? 11 ? 500 T12 ? g (25) ? g (26) ? ? ? g (36) ? 12 × 500 ? 39000 ;??2 分 2 ?

所以 S ? S36 ? T12 ? 168700 ? 39000 ? 129700 (人) 故当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有129700 位游客. (2)当 f (n) ? g (n) ? 0 时园内游客人数递增;当 f (n) ? g (n) ? 0 时园内游 客人数递减. (i)当 1 ? n ? 24 时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间; (ii)当 25 ? n ? 36 时,令 500 n ? 12000 ? 3600 ,得出 n ? 31 , 即当 25 ? n ? 31 时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;
3600? 3 当 32 ? n ? 36 时,
n ? 24 12

? 500n ? 12000, 进入园区人数多于离开人数,

总人数越来越多; (iii)当 37 ? n ? 72 时, 令 ?300n ? 21600 ? 500n ? 12000 时, n ? 42 ,

即在下午 4 点整时,园区人数达到最多.此后离开人数越来越多,故 园区内人数最多的时间是下午 4 点整.

225. 【2010·北京石景山一模】已知函数 f ( x) ? px ? p ? 2ln x .
x

⑴若 p ? 2 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; ⑵若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; ⑶设函数 g ( x) ? 2e ,若在 ?1,e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,
x

求实数 p 的取值范围. 解 :⑴ 当
p?2


2 2 ? x2 x







f(

? x)

2 ? 2x x

?

,2

xl

n

f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 . f ?( x) ? 2 ?

, 曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率
f ( x)



f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

.从而曲线

在点

(1f ,

( 1处 ))

的切线方程为

y ? 0 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 2 .



f ?( x) ? p ?

p 2 px2 ? 2 x ? p ? ? x2 x x2

. 令 h( x) ?

2 , p x ? 2 x? p 要 使 f ( x)

在定义域

( 0 ,? ? )内是增函数,只需 h( x )≥ 0 在 (0 , ? ?)

h( x) ? px2 ? 2 x ? p 1 x ? ? (0 , ? ? ) , p
h( x≥ ) 0? f ≥x , (
[1, ? ?) .

内恒成立.由题意 p ? 0 , 的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为 ∴
h( x ) min ? p ? 1 p

, 只 需

p?

1 ≥0 p

, 即

p ≥1

时 ,

) ∴

f ( x) 0

在 (0 , ? ?) 内为增函数,正实数 p 的取值范围是

x g g ⑶∵ g ( x) ? 2e 在 ?1,e? 上是减函数, x ? e 时, ( x)min ? 2 ; ? 1 时, ( x)max ? 2e , ∴

x

即 g ( x) ? ?2, 2e? , ①当 p ? 0 时, ( x) ? px2 ? 2x ? p , 其图象为开口向下的抛物线, 对称轴 x ? 1 h
h( x) ? ?2 x , 因为 x? ?1,e? , 所以 h( x) ? 0 , f ?( x) ? ?

p

在 y 轴的左侧,且 h(0) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x? ?1,e? 内是减函数.当 p ? 0 时,
2x 此时, f ( x) 在 x? ?1,e? ? 0, x2

内是减函数.故当 p ≤ 0 时, f ( x) 在 ?1,e? 上单调递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 , 不合题意; 1 ② 当 0 ? p ?1 时 , 由 , 所 以 x ? ?1, e? ? x ? ≥ 0
x
1? 1 ? f ( x) ? p ? x ? ? ? 2 ln x ≤ x ? ? 2 ln x .又由⑵知当 p ? 1 时, f ( x) 在 ?1,e? 上是增 x? x ? 函数,∴ x ? 1 ? 2ln x ≤ e ? 1 ? 2ln e ? e ? 1 ? 2 ? 2 ,不合题意; x e e

③当 p ≥ 1 时, 由⑵知 f ( x) 在 ?1,e? 上是增函数,f (1) ? 0 ? 2 , g ( x) 在 ?1,e? 上 又

是减函数,故只需 f ( x)max ? g ( x)min ,x ??1, e? ,而 f (x) max
1? ? g ( x)min ? 2 ,即 p ?e ? ? ? 2ln e ?2 e? ? ? 4e ? ,? ?? . ? 2 e ?1 ? ?

1? ? ?f ( ) ? e ? ? ? 2l e e p ? n e? ?



,解得 p ?

4e ,所以实数 p 的取值范围是 e ?1
2

226. 【2010·重庆南开中学四月月考】设 a ? 0, f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ?[1, ??) 时,求 f ( x) 的最小值.
? x 2 ? 2 ln x ? 2, x ? e 解:(1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 2 ln x ? 2, 0 ? x ? e ?

当 x ? e 时, f ' ( x) ? 2 x ? ? 当 0 ? x ? e 时, f ' ( x) ? 2 x ?
x ?e ? x ?e ?

2 x

2 x2 ? 2 ? 0 恒成立, x 2 2 x2 ? 2 ? , 令 f ' ( x) ? 0 得 1 ? x ? e x x

又 lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (e) ? e2 , 故 f ( x) 在 x ? e 处连续, 所以函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. (2)当 x ? e 时, f ' ( x) ? 2 x ? ? 0, 故 f ( x) 在 (e, ??) 单增
a 2x2 ? a 2 x2 ? a a ' , 令 f ( x) ? 当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? 2 x ? ? ?0? x ? x x x 2
'

a x

则 f ( x) 在 ( 故,当 当1 ? 当

a a ) 单减.又 f ( x) 在 x ? e 处连续. , ??) 单增, f ( x) 在 (0, 2 2

a ? e ? a ? 2e2 时, fmin ( x) ? f (e) ? e2 2

a a 3a a a ? e ? 2 ? a ? 2e2 时, f min ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 2 2 2 2

a ? 1 ? 0 ? a ? 2 时, fmin ( x) ? f (1) ? 1 ? a 2
1 3 1 2 2 3

227. 【2010·浙江省台州市】已知函数 f ?x ? ? x 3 ? x 2 ? ?t ? 1?2 x .

(I)当 t ? 1 时,若函数 y ? f ? x ? a ? ? b 是奇函数,求实数 a, b 的值; (II)当 t ? 1 时,函数 y ? f ? x? 在区间(-2, t )上是否存在极值点? 若存在,请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点;若不存在, 请说明理由. 解:(I)当 t ? 1 时,记 h( x) ?
f ( x ? a) ? b = ( x ? a) 3 ?

1 3

1 ( x ? a) 2 ? b , 2
3 2

则 h/ ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ,? h( x) 为奇函数,? h(0) ? 1 a3 ? 1 a2 ? b ? 0 (1) 且
h / ( x) 为偶函数

即 2a ? 1 ? 0 (2)
2 1 . 12

由(1)(2)解得: a ? 1 , b ? 、 (II) f / ( x) ? x2 ? x ? 2 (t ? 1)2
3



8 1 ? 1 ? (t ? 1)2 3 f / ( x) ? 0 ,解得: x1 ? 2

,

8 1 ? 1 ? (t ? 1) 2 3 x2 ? 2

( i )当 1 ? t ? 4 时,则有 ?2 ? x1 ? x2 ? t
? f / ( x) 在 (?2, x1 ) 和 ( x2 , t ) 为正,在 ( x1 , x2 ) 为负 ? f ( x) 在 (?2, x1 ) 和 ( x2 , t ) 上递增,在 ( x1 , x2 ) 上递减
8 1 ? 1 ? (t ? 1) 2 3 x1 ? 2 8 1 ? 1 ? (t ? 1) 2 3 x2 ? 2

此时,

为极大值点,

为极小值点;

( ii )当 t ? 4 时,

8 1 ? 1 ? (t ? 1)2 3 有 x1 ? ? ?2 ? x2 ? t 2

? f / ( x) 在 (?2, x2 ) 为负, ( x2 , t ) 为正 ? f ( x) 在 (?2, x2 ) 上递减,
8 1 ? 1 ? (t ? 1) 2 3 x2 ? 2

在 ( x2 , t ) 上递增 为极小值点,无极大值点.

此时,


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