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2015-2016高中数学 1.1.3导数的几何意义课件 新人教A版选修2-2


1.1.3 义

导数的几何意

研题型 学方 法

题型一 求定点处的切线方程

1 3 4 例 1 已知曲线 C:y= x + . 3 3 (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 分析:(1)先求切点坐标,再求 y′|x=2,最后利用导数的几何 意义写出切线方程. (2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解.

解析:(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程得 y=4.∴切点 P(2,4).

y=4x-4, ? ? (2)由? 1 3 4 可得(x-2)(x2+2x-8)=0. y= x + , ? 3 ? 3 解得 x1=2,x2=-4. 从而求得公共点为 P(2,4)或 M(-4,-20), 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外,还有另一公共点(-4, -20).

规律方法:利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两 步: ①求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在 点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率; ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程 为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 特别地,如果曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平 行于 y 轴,这时导数不存在.根据切线定义,可得切线方程 为 x=x0.

?变式训练 2 1 . 曲 线 f(x) = x 在 点 ( - 2 , - 1) 处 的 切 线 方 程 是 ________________.

题型二 真假命题的判断

例 2 在曲线 y=x2 上哪一点处的切线,满足下列条件: (1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)与 x 轴成 135°的倾斜角.

规律方法:求切点坐标一般步骤:①设出切点坐标; ②利用导数或斜率公式求出斜率;③利用斜率关系列方 程, 求出切点的横坐标; ④把横坐标代入曲线或切线方程, 求出切点纵坐标. ?变式训练 2.曲线 y=x3-3x 上某点处的切线平行于 x 轴,求该 点坐标.

题型三 导数几何意义的综合 应用

例 3 已知 f(x)=x2,g(x)=x3. (1)求 f′(x),g′(x),并判断 f′(x)和 g′(x)的奇偶性; (2)若对于所有的实数 x,f′(x)-2<ag′(x)恒成立,试求实 数 a 的取值范围.

(2)由 f′(x)-2<ag′(x),得 3ax2-2x+2>0 对任意实数 x 恒成立. ①当 a=0 时,转化为-2x+2>0 恒成立,即 x<1,不 合题意; ②当 a≠0 时,由 3ax2-2x+2>0 对所有实数 x 都成立
? ?a>0 1 ? 得, 解得 a> . 2 6 ? ?Δ=(-2) -4×2×3a<0,

1 综上,a> . 6

规律方法:导数几何意义的综合应用的解题方法: (1)导数的几何意义是曲线的切线的斜率, 已知切点可以 求斜率,反过来,已知斜率也可以求切点. (2)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进 行求导,注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜 率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题.

?变式训练 3.设 a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,
? π? ? ? f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为?0, ?, 则点 P 到曲线 4 ? ?

y=f(x)对称轴距离的取值范围为(B)
? 1? A.?0,a? ? ? ? b ? C.?0,|2a|? ? ? ? 1? B.?0,2a? ? ? ? b-1? ? ? D.?0, |2a| ? ? ?

解析:依题设知点 P 的横坐标 x0 必须且只需要满足 π 0≤f′(x0)≤tan =1, 4 因为 f′(x)=2ax+b,所以 0≤2ax0+b≤1, b 因为抛物线 y=f(x)的对称轴为直线 l:x=- , 2a
? b? 所以点 P 到直线 l 的距离为 d=?x0+2a?, ? ?

1 1 因为 a>0,所以 d= |2ax0+b|≤ , 2a 2a
? 1? 又 d≥0,即得 d 的取值范围为?0,2a?. ? ?

析疑难 提能 力

混淆曲线“在某点”或“过某点”的切线致误.

【典例】 求函数 y=x3-3x2+x 的图象上过原点的切线 方程.
2 解析:设切点坐标为(x0,y0),则 y0=x3 - 3 x 0 0+x0,

∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
2 =(x0+Δx)3-3(x0+Δx)2+(x0+Δx)-(x3 - 3 x 0 0+x0) 2 3 2 =3x2 Δ x + 3 x ( Δ x ) - 6 x Δ x + ( Δ x ) - 3( Δ x ) +Δx, 0 0 0

Δy 2 ∴ =3x2 + 3 x Δ x - 6 x + 1 + ( Δ x ) -3Δx, 0 0 0 Δx

这个错解是因为认为原点就是切点,混淆了“过原点 的切线”与“在原点处的切线”的区别, 导致解题失误. 求 曲线的切线时,注意区分“求曲线 y=f(x)上过点 M 的切 线”与“求曲线 y=f(x)上在点 M 处的切线”, 前者只要求 切线过 M 点,M 点未必是切点,因此求解时应先设出切点 坐标;而后者则很明确,切点就是 M 点.


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