伤城文章网 > 数学 > 高一数学《反函数性质的应用》教案人教版

高一数学《反函数性质的应用》教案人教版


反函数性质的应用
只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数,反函数是由原函数派生出来的,它的 定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函 数的问题相互转化,使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 ⒈利用反函数的定义求函数的值域 例 1:求函数 y=

x ?1 的值域。 2x ?1
得 y(2x+1)=x-1

分析:这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域,下面利用反函数法来求解。 解:由 y=

x ?1 2x ?1

∴(2y-1)x=-y-1 ∴x=

? y ?1 2 y ?1
1 。 2

∵x 是自变量,是存在的, ∴2y-1 ? 0,∴ y ? 故函数 y=

x ?1 1 的值域为:{y│y ? }。 2 2x ?1 ax ? b 点评:形如 y= 的函数都可以用反函数法求它的值域。 cx ? d
⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例 2:已知 f(x)=4 -2 分析:要求 f
?1 x x ?1

,求 f

?1

(0)。

(0),只需求 f(x)=0 时自变量 x 的值。
x x ?1

解:令 f(x)=0,得 4 -2
x x

=0,∴2 (2 -2)=0,

x

x

∴2 =2 或 2 =0(舍) , ∴x=1。 故f
?1

(0)=1。

点评:反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值,反之也成立。 ⒊原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称的应用 例 3:求函数 y=

2x (x ? (-1,+ ? ))的图像与其反函数图像的交点。 x ?1

分析:可以先求反函数,再联立方程组求解;也可以利用原函数与反函数的图像关于 直线 y=x 对称求解,这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数,它 们的交点就在直线 y=x 上。

2x ? ?x ? 0 ?x ? 1 ?y ? 解:由 ? 或? x ?1 得 ? y ? 0 ?y ?1 ? ? ?y ? x
∴原函数和反函数图像的交点为(0,0)和(1,1) 。 点评:利用利用原函数与反函数的图像关于直线 y=x 对称的性质,可以简化运算,提 高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数,它们的交点才在直线 y=x 上。 ⒋原函数与反函数的单调性相同的应用 例 4:已知 f(x)=2 +1 的反函数为 f
x x ?1

(x),求 f

?1

(x)<0 的解集。
?1

分析:因为 f(x)=2 +1 在 R 上为增函数,所以 f 数与反函数定义域、值域互换,所以 f 解:由 f(x)=2 +1>1 得 f 又∵f
?1 x x ?1 ?1

(x)在 R 上也为增函数。又因为原函

(x)中的 x 的范围就是 f(x)的范围。

(x)中的 x>1。

(x)<0 且 f(x)=2 +1 在 R 上为增函数,

∴f ? ?f

?1

( x) ? ? <f(0),

∴x<f(0)=2。 故f
?1

(x)<0 的解集为:{x│1<x<2}。

点评:利用原函数与反函数的单调性相同的性质,可以避免求反函数这一复杂的运算, 从而减少了失误。 ⒌原函数与反函数的还原性即 f 例 5:函数 f(x)=
?1
?1 ? f ( x)? ? x 及 f ? ? f ? x ?? ? =x 的应用

ax ? b 3x ? 1 ?1 (a、b、c 是常数)的反函数是 f ( x) = ,求 a、b、c 的值。 x?c x?2

?1 分析:本题可以利用 f ? ? f ( x) ? ? =x,将反函数的条件转化为原函数的关系来应用,利

用恒等找到关于 a、b、c 的方程组,即可求解。 解:∵ f
?1

( x) =

3x ? 1 x?2

3x ? 1 ?b (3a ? b) x ? a ? 2b ? 3x ? 1? ?1 x ? 2 ? ? ∴ f ? f ( x) ? = f ? = = =x ? (c ? 3) x ? 1 ? 2c ? x ? 2 ? 3x ? 1 ? c x?2 a
∴(3a+b)x-a+2b=(c+3) x +(2c-1)x
2

?c ? 3 ? 0 ? ∴ ?3a ? b ? 2c ? 1 ? ? a ? 2b ? 0 ? ? a ? ?2 ? ∴ ?b ? ? 1 ? c ? ?3 ?
点评: 上述解法利用了原函数与反函数的还原性,避免了求反函数 f ?1 ( x) ,若求反函 数 f ?1 ( x) ,步骤非常烦琐,容易出现计算失误。


搜索更多“高一数学《反函数性质的应用》教案人教版”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com