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题56 抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是


题 56

抛物线 y ? x 2 上到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离最小的点的坐标是 ________ . (第九届高二培训题第 27 题)

解法 1

设抛物线 y ? x 2 上的点的坐标是 x, x 2 ,则它到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离是

?

?

d?

x ? x2 ? 2 2
解法 2

( x ? 1 )2 ? 7 2 4 ,当 x ? ? 1 时 d 最小,此时 y ? 1 .故所求点的坐标是 ? 1 , 1 . ? 2 4 2 4 2

?

?

如图,将直线 x ? y ? 2 ? 0 平移至与抛物线 y ? x 2 相
2

切,则此时的切点即为所求 y x y=x2 -2 O -2 应与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行. x

点 . 设切线方程为 y ? ? x ? k ,代入 y ? x 2 ,得 x ? x ? k ? 0 . 由

? ? o , 即 1 ? 4k ? 0 , 得

?x ? ? 1 ? y ? x2 ? ? 2 1 得? .故所求点的坐标是 ? 1 , 1 . k ? ? .解 ? 1 4 2 4 1 y ? ?x ? ? y? ? ? 4 ? 4

?

?

解法 3 设所求点的坐标为 P ?x0 , y0 ? , 则过点 P 的抛物线的切线 而其切线方程为 评析

y ? y0 2 ? 1 . 故所求点的坐标为 ? 1 , 1 . ? x0 x ,故 2 x0 ? ?1 , x0 ? ? 1 .? y0 ? x0 2 4 2 4 2

?

?

解法 1 由点线距离公式将抛物线上的任意一点 x, x

?

2

? 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d 表示成 x 的二次函数,再通过配

方求最值,体现了函数思想在解析几何中的运用.
2 解法 2 运用数形结合思想发现与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的抛物线 y ? x 的切线 的切点就是所求点,设切线方程为

y ? ? x ? k 后运用方程思想求出 k ,进而求出切点坐标.
解法 3 则设切点为 P ?x0 , y0 ? ,直接写出过二次曲线 f ?x, y ? ? 0 上一点 P x 0 , y0 的切线方程,由切线与已知直线平行.两 斜率相等,求出切点坐标. 解法 2、3 不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标,同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的 坐标,故为通法. 解法 3 涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程,下面用导数证明一般情形的结论: 定理 过抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上一点 P ?x0 , y0 ? 的切线方程是

?

?

y ? y0 x ? x0 ? ax0 x ? b ? c. 2 2
证明 设过点 P ?x0 , y0 ? 的抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的切线的方程为 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ①.
x ? x0

y / ? 2ax ? b , k ? y /

? 2ax 0 ? b ,代入①得 y ? y0 ? ?2ax0 ? b??x ? x0 ?,

y ? y0 ? 2ax0 ? b ?? x ? x0 ? 2 y0 y ? y0 x ? x0 2 ? ? , ? ax0 x ? b ? y0 ? ax0 ? bx0 ②.? 点 ?x0 , y0 ? 在抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上, 2 2 2 2 2 y ? y0 x ? x0 2 2 ? y0 ? ax0 ? bx0 ? c , y0 ? ax0 ? bx0 ? c ,代入②,得切线方程为 ? ax0 x ? b ? c. 2 2 x ? x y0 ? y 2 2 拓展 观察切线方程的特征,就是同时将曲线方程中的 x , y 分别换成 x0 x , y0 y ,把 x, y 分别换成 0 便得 , 2 2
切线方程.事实上,对于一般二次曲线,有下面的定理. 定 理 过 二 次 曲 线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 上 一 点 Ρ
2 2

?x0 , y0 ?

的 该 曲 线 的 切 线 方 程 是

Ax0 x ? B

x0 y ? xy0 x ?x y ?y ? Cy0 y ? D 0 ?E 0 ?F ?0. 2 2 2

运用该定理必须注意点Ρ ?x0 , y0 ? 在曲线上. 例

2 2 求过点 ?2,3? 的曲线 2 x ? 3 xy ? 4 y ? 4 x ? 8 y ? 30 ? 0 的切线的方程.



2 2 经 验 证 , 点 ?2,3? 在 曲 线 2 x ? 3 xy ? 4 y ? 4 x ? 8 y ? 30 ? 0 上 , 根 据 上 面 的 定 理 , 所 求 切 线 方 程 为

2 ? 2x ? 3 ?

2 y ? 3x 3? y ? 4 ? 3y ? 4 ? 2 ? x ? 8? ? 30 ? 0 ,即 13x ? 22y ? 92 ? 0 . 2 2 2
. (第十五届高二培训题第 71 题)

题 57 在抛物线 y 2 ? 4 x 上恒有两点关于直线 y ? kx ? 3 对称,则 k 的取值范围是

解法 1

设两点 B ?x1 , y1 ? 、C ?x2 , y 2 ? 关于直线 y ? kx ? 3 对称,直线 BC 的方程为

x ? ?ky ? m ,将其代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4ky ? 4m ? 0 .若设 BC 的中点为 M ?x0 , y0 ? ,则 y 0 ?
因为 M 在直线 y ? kx ? 3 上,所以

y1 ? y 2 ? ?2k . 2

? 2k ? k 2k 2 ? m ? 3 . m ? ?

?

?

2k ? 3 2k 3 ? 2k ? 3 2 ? 2k 2 ? ? , 因为 BC 与抛物线相交于两个不同点, 所以 ? ? 16k ? 16m ? 0 . k k k 3 ? 2k ? 3 ? 0 ,即 k

再将 m 的式子代入,经化简得

?k ? 1??k 2 ? k ? 3? ? 0 ,因为 k 2 ? k ? 3 ? 0 ,所以 ? 1 ? k ? 0 .
k 8k 3 ? 8k ? 12 8k 3 ? 8k ? 12 ? y ? y2 ? 2 y1 y 2 ? ?4m ? 解法 2 由解法 1, 得 y1 ? y 2 ? ?4k , .因为 ? 1 所以 4k ? , ? ? y1 y 2 , k k ? 2 ?
解得 ? 1 ? k ? 0 . 解法 3
2
2

设 B ?x1 , y1 ? 、 C ?x2 , y 2 ? 是抛物线 y 2 ? 4 x 上关于直线 y ? kx ? 3 对称的两点,且 BC 中点为 M ?x0 , y0 ? . 因为
2 2 2

所以 y2 ? y1 ? 4?x2 ? x1 ? , 即 y1 ? 4x1 , y2 ? 4x2 ,

y 2 ? y1 1 所以 ? ? 2 y 0 ? 4, y 0 ? ?2k .又 y0 ? kx0 ? 3 , ? ? y1 ? y 2 ? ? 4 , k x2 ? x1

所以 x 0 ? ? 解法 4

2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 2 2 ,因为 M ?x0 , y0 ? 在抛物线 y 2 ? 4 x 的内部,所以 y0 ? 4x0 ,即 ?? 2k ? ? 4? ? ? ,解得 ? 1 ? k ? 0 . k k ? ?
设 B 、 C 是抛物线 y 2 ? 4 x 上关于直线 y ? kx ? 3 对称的两点, M 是 BC 中点 . 设 M ?x0 , y0 ? , B ? x, y ? ,
2 2

C ?2 x0 ? x,2 y0 ? y ? ,则 y 2 ? 4 x ①,?2 y0 ? y ? ? 4?2x0 ? x? ②.①-②,得 2x ? y0 y ? y0 ? 2x0 ? 0 ③.因为点 M ? x0 , y0 ? 在直 线 y ? kx ? 3 上,? y0 ? kx0 ? 3 ④.④代入③得直线 BC 的方程为 2x ? ?kx0 ? 3?y ? ?kx0 ? 3? ? 2x0 ? 0 ,故直线 BC 的方向向
2
0 量为 p ? ? ? x 0 , kx ? 3 ? ? ,同理得直线 y ? kx ? 3 的方向向量 v ? ?x0 , kx0 ? .因为直线 BC 与直线 y ? kx ? 3 垂直,所以 p ? v ? 0 , 0 ? ?

?

2x

?

即? ? x0 ,

? ?

2 x0 ? ? ? ?x0 , kx0 ? ? 0 ,化简得 kx0 ? 3 ? ?

x0 ?kx0 ? 2k ? 3? 2k ? 3 2 , y 0 ? kx 0 ? 3 ? ?2k . 因为 ? 0 ,得 kx0 ? 2k ? 3 ? 0 或 x0 ? 0 (舍去) .显然 k ? 0 ,解得 x0 ? ? k kx0 ? 3
2

M ?x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 4 x 的内部,所以 y0 ? 4x0 ,即 ?? 2k ? ? 4? ?
2

2

2

3 (k ? 1)(k 2 ? k ? 3) ? 2k ? 3 ? k ? 2 k ? 3 ? 0, ? 0, 又 , ? k k k ? ?

k 2 ? k ? 3 ? 0 ,所以 ? 1 ? k ? 0 .
评析 定(动)圆锥曲线上存在关于动(定)直线对称的两点,求直线(圆锥曲线)方程中参数的取值范围.这是解析几何

中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式,通过解不等式求出参数的范围. 解法 1 运用二次方程根的判别式,解法 2 运用均值不等式,解法 3、4 运用抛物线弦的中点在抛物线内部,分别成功地构造 了关于 k 的不等式,这其中,韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于 k 的不等式起 了积极作用. 练习 ( ) A、 ? ,?? ? 答案:B 若 抛 物 线 y ? ax2 ? 1 上 总 存 在 关 于 直 线 x ? y ? 0 对 称 的 两 个 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

?1 ?4

? ?

B、 ? ,?? ?

?3 ?4

? ?

C、 ? 0, ?

? ?

1? 4?

D、 ? ?

? 1 3? , ? ? 4 4?


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