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2018年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定课件2 苏教版选修2-1


问题情境
在“立体几何初步”一章中,我们研 究了空间两条直线、直线与平面、平 面与平面的位置关系.

为了用向量来研究空间的线面位置关系,我们用 向量来表示直线和平面的“方向”。
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l

e
eB

直线l上的非零向量 e 以及与 e
共线的非零向量叫做直线l的方
向向量。

A

二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以,可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 n ⊥? , 如果 n ⊥ ? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量.
l

n

?

A

思考: 我们能不能用直线的方向
向量和平面法向量来刻画空间线 面位置关系?

空间线面关系的判定

学生活动

在明确方向向量和法向量含义的基础上,借助图形“翻译”完成 下表:
设空间两条直线 l1,l2 的方向向量分别为 e1 ,e2 ,两个平面 α1,α2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则有下表:

l1 与 l2 l1 与 α1
α1 与 α2

平行

垂直

l1 l2
e1 e2
? l1 // l2 ?e 1//e 2? e 1?e2

l1

e1 e2

l2

l1 ? l2 ? e 1? e 2? e 1?e 2? 0

e1

l1

n1

?

l1 //?1 ?e 1? n 1? e 1?n 1? 0

l

e1

n1

?

? l1 ??1 ?e 1//n 1? e 1?n 1

n1
?1
n2
?2
? ?1 //?2 ?n 1//n 2? n 1?n 2

?2
n2
n1
?1
?1 ??2 ?n 1? n 2? n 1 ?n 1? 0

建构数学
设空间两条直线 l 1 , l 2 的方向向量为 e1 , e 2 两个平面 ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2
平行 垂直

l1与 l2

l1与 ? 1

?


1

?

2

e1 e2 e1 ? n1
n1 n2

e1 ? e2
e1 n1
n1 ? n2

新知巩固

1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ?(2,?1,?2),b ?(6,?3,?6)

平行

(2)a ?(1,2,?2),b ?(?2,3,2)

垂直

(3)a ?(0,0,1),b ?(0,0,?3)

平行

新知巩固

2.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ?(?2,2,5),v ?(6,?4,4)

垂直

(2)u ?(1,2,?2),v ?(?2,?4,4) 平行

(3)u ?(2,?3,5),v ?(?3,1,?4) 相交

新知巩固

3、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量

为(-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= 4

;若 ? ? ?

则 k= -5 。

4、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平

面? 的法向量为(1,1/2,2),则m= -8

.

5、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量
为(1,1/2,2),且l ? ? ,则m= 4 .

数学应用

例1、如图,O B 是平面 ? 的一条斜线,O 为
斜足,AB??,A 为垂足,CD??,且 CD?OA
求证:CD?OB
B

O
?

D CA

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜 线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 (三垂线定理)

变式练习:
写出三垂线定理的逆定理,并用向量的 方法加以证明。
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这 个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那 么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直 线,如果它和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

B

已知:如图,O B 是平面

的? 一条斜线,O 为斜

O

D 足,AB?? ,A 为垂足,

?

CA

CD?? ,且 CD?OB

求证:CD?OA

例2、证明:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂

直,那么这条直线垂直于这个平面。(直线与平面垂

直的判定定理)

l

已知:如图,m ? ?,n? ?

m n ? B ,l? m ,l? n

B

n 求证: l ? ?

?

m

l

gl
?

n

n

B

mg

m

分析:要证明直线与 平面垂直,只要证明 该直线垂直于平面内 任意一条直线。

l ?m,l ?n m 与 n 相交

l?m ?0,l?m ?0
m与n 不共线

又 m, n, g 共面
存在有序实数组 ? x , y ? 使得,g?xm?yn

? ? l?g ? l?x m ? y n ? x l?m ? y l?m ? o

例3、如图,在直三棱柱 A B C - A1 B1C 1 中,

? A C B ? 9 0 ? ,? B A C ? 3 0 ? ,B C ? 1 ,A 1 A ? 6 ,

M 是棱 C C 1 的中点,

求证:A1B?AM

B1

A1

C1
6

M
B
1 90?
C

30? A

B1

A1

分析:要A证 1B?明AM,

C1
6

只要证A1明 B?AM?0.

M

而 A 1B?A 1A ?A,A B? M A? C CB,M 1 9 0 ?

30? A

故只要 A1A 证 ?A) 明 B ( ? A( C ?C) M ?0C

即A 1求 A?A, A C 1A?C, M A?B A, A C?C B的 M值。

B1

A 1 证明:在直三棱柱 A B C - A1 B1C 1中,

因为 A1A? AC ,所以 A1A?AC?0

C1

6 因为CM?平 面 ABC,而 AB?平 面 ABC

M

所以CM?AB,所以 C M ?A B?0

B

3 0 ? A 在 Rt?ABC中,因为 B C?1 ,? B A C?30?

1 90?

所以 AC? 3,AB?2

C 所以 A B ?A C ? A B ?A C ?c o s3 0 ?? 2 ?3 ?3 ? 3

因为 C M A 1 A ,A1 A ? 6 ,

2

且 M 是棱 C 1 C 中点,所以 C M ? 6 ,
2 所以 A 1 A ?C M ? A 1 A ?C M ?c o s 1 8 0 ? ? ? 3

? ?? ? 所以:A 1 B ?A M ? A 1 A ? A B A C ? C M
?A 1A ?A? C A 1A ?C? M A?A B? C A?C BM ?0

所以:A1B?AM 即, A1B?AM

B1

A1

C1
6

M
B
1 90?
C

30? A

启示: 1、要确定方向:证明垂直关系,可通过向量的数 量积等于0来实现。 2、要善于转化,即挖掘已知的向量的关系,将未 知向已知转化。
思考:还有其它的证明方法吗?

B1

A 1 利用相似三角形与线面垂直

C1
6

MO

B

30? A

1 90?

C

分析:连结 A 1 C 交A M 于点 O
因为 A 1B?A 1C?C B
所以,要证 A1B?AM?0
? ? 就是证 A 1C?C B?A M ?0
即证 A 1 C ?A M ? C B ?C M ? 0

1、利用 ?ACM和 ?A1AC相似可以证明 A1C?AM ,
从而 A1C?AM?0
2、利用CB?平 面 A1ACC1 知道 CB?AM,即 C B?A M ?0

你能试着建立适当的空间直角 坐标系,用坐标表示向量,再证明 它们互相垂直吗?

B1

A1

C1
6

M

B

30? A

1 90?

C

z

C1

A1
M
6

C 90?

1

30?

A

x

B1
By

z

证明:分别以 CA,CB,CC1

C1

x B 1

所在直线为 轴,y 轴,z 轴,建

?

???

0

,0
M

,

6 2

? ???

A 1 ? 3,1, 6?

立空间直角坐标系 C ? xyz
图中相应点的坐标为:

6

C 90?

1

3 30? 2

?

?A
3, 0, 0

x

B ? 0,1, 0 ?
y

?A1 3,1, 6? , B?0,1,0?

? ? A 3,0,0

? , M ??? 0 , 0 ,

6? 2 ???

? ? 所以: A 1B??3,0,?6,A M ?? ? ? ??3,0, 2 6? ? ? ?

所以: A B?A M ?0 即, A1B?AM

三种方法的比较:
证法一是几何向量法,要熟练掌握向量的加 减运算及所满足的运算律。
证法二是几何向量法和立体几何法的综合运 用。
证法三是向量的坐标运算法,关键是要恰当 地建立空间直角坐标系,探求出各点的坐标。
最终都是应用向量的数量积为0来 证明线线垂直。

z

B1

A1

思考:

C1

(1)请证明:AM?面A1BC

6

MO

B

Ay

1

(2)请证明:面 AM?面 BA1BC C x

回顾小结
本节课学习了以下内容:
1.学会用向量语言表述线线、线面、面面 的平行和垂直关系;
2.学会用向量方法证明空间线面关系的一 些定理;
3.学会用向量方法判定空间线面的垂直关 系.


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