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2016高考数学全国各地最新押题——江西省重点中学协作体2016届高三第二次联考数学(理)试题(含答案)


江西省重点中学协作体 2016 届高三第二次联考 数学(理)
2016 年 5 月

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

1 .复数 z ?

2i ( i 为虚数单位)的虚部为( ) 1? i

A . ?1

B .1

C . ?i

D .i

2 2 . 已知全集 U ? R ,函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为 M ,集合 N ? x x ? x ? 0 ,则下列结论正

?

?

确的是( )

A. M ? N ? N

B . M ? (CU N ) ? ?

C . M ? N ?U

D . M ? (CU N )

3 . 设 a, b, c ? R ,则“ 1, a, b, c,16 为等比数列”是“ b ? 4 ”的 ( )

A .充分而不必要条件
C .充分必要条件

B .必要而不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

4 .已知等差数列 ?an ? 满足: a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,则 tan(a2 ? a6 ) 的值为( )

A.? 3

B.?

3 3

C.

3 3

D. 3

5 .某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 值为( )

A . ?1 B.
1 2
C. 2 D . 2016

6 .如图,已知三棱锥 P - ABC 的底面是等腰直角三角形,
·1·

且 ?ACB ?

?
2

,侧面 PAB ⊥底面 ABC ,

AB ? PA ? PB ? 2 .则这个三棱锥的三视图中标注
的尺寸 x, y , z 分别是 ( )

A . 3,1, 2
P

B . 3,1,1
C . 2,1, 2
A C B

D . 2,1,1
下列说法中错误 的是( ) .. A . 收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 B . 结余最高的月份是 7 月 C . 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D . 前 6 个月的平均收入为 40 万元 (说明:结余=收入-支出)

7 .某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,

8 .在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a 、 b 、

c ,若 b2 ? c2 ? 2a2 ,则角 A 的最大值为( )
A.
? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

9 .已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 C : x ? ? 1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线 ? ? 1( a ? b ? 0) 与双曲线 2 4 a 2 b2

与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A 、 B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则椭圆 C1 的方程是 ( )

2 x2 ? 2 y2 ? 1 A. 11

x2 y 2 B . ? ?1 4 3

x2 y 2 C. ? ?1 10 5

x2 D . ? y2 ? 1 2

10 .已知平面向量 a, b, c, 满足 a ?

2 , b ? 1 , a ? b ? ?1 ,且 a ? c 与 b ? c 的夹角
·2·



? ,则 c 的最大值为( ) 4

A. 5

B.2 2

C . 10

D.4

11.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 6 ,底边 BC 在平面 ? 内,绕 BC 旋转该三棱锥,若某个
时刻它在平面 ? 上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是( )

A . (0, 6]
C . (0,
6 ] 2

B . (0,

6 ] ? [ 6,3] 2
3 6 ] 2

D . (0, 6] ? [3,

12 .设 ?an ? 是有穷数列,且项数 n ? 2 .定义一个变换? :将数列 a1 , a 2 , a3 , ?, a n 变成
a3 , a 4 , ?, a n , a n ?1 ,其中 an?1 ? a1 ? a2 是变换所产生的一项.从数列 1,2,3?, 2 2016 开始,
反复实施变换? ,直到只剩下一项而不能变换为止,则变换所产生的所有项的和 为( ) ...........

A . (22015 ? 24031 )2016

B . 22015 ? 24031

C . 2016(22015 ? 24031 )

D . 2016(22016 ? 24032 )

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.

2 13 . 二项式 ( x ? )6 的展开式中的常数项是 x

(用数字作答) .

2 1 1 14 . ? ( ? 2 )dx ? _____. 1 x x
? x ? 0, ? 15 .不等式组 ? y ? x, 所表示的平面区域为 D .若直线 y ? a( x ? 1) 与区域 D 有公共点,则 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
实数 a 的取值范围是 .
·3·

16 .已知函数 f ( x) ? ?

??2 x( x ? 0)
?x ??e ( x ? 0)

,若关于 x 的方程 f ? f ( x)? ? m ? 0 恰有两个不等实根 x1 、 x 2 ,

则 x1 ? x2 的最小值为_____. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.前 5 小题每题满分 12 分,最后一道选做题满分 10 分,解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内.

17 . (本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x ? ? sin ?x ? 3 cos ?x ?1(其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 6? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 ? , ? ? ?0, ? ? , ? ? 2? ?

11 ?? 1 ? f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 5 2 ? 17 ?

18 . (本小题满分 12 分)

2016 年全国高考将有 25 个省市使用新课标全国卷,其中数学试卷最后一题为选做题,即要求
考生从选修 4 ? 1(几何证明选讲) 、选修 4 ? 4(坐标系与参数方程) 、选修 4 ? 5 (不等式选讲) 的三道题中任选一道题作答.某数学老师教了高三 A 、 B 两个理科班共 100 名学生,为了了解 所教学生对这三道题的选做情况,他对一次数学模拟考试进行了统计,结果如下表所示:

若从 100 名学生中随机抽取一名,他选做选修 4 ? 4 的概率为 (Ⅰ)求 a , b 的值,分别计算两个班没有选选修 4 ? 5 的概率;

9 . 20

(Ⅱ) 若从 A 、 B 两班分别随机抽取 2 名学生,对其试卷的选做题进行分析,记 4 名学生中选 做 4 ? 1 的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望(视频率为概率,例如: A 班选 做 4 ? 1 的每个学生被抽取到的概率均为

1 ) . 5

19 . (本小题满分 12 分)
如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且
·4·

?BAD ?

?
3

,对角线 AC 与 BD 相交于 O , OF ⊥平面 ABCD , BC ? CE ? DE ? 2 EF ? 2 .

(Ⅰ) 求证: EF / / BC ; (Ⅱ)求面 AOF 与平面 BCEF 所成锐二面角的正弦值.

20 . (本小题满分 12 分)
已知曲线 C 上任意一点 P 到点 F (1, 0) 的距离比到直线 l : x ? ?2 的距离小 1 . (Ⅰ) 求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ) 若斜率 k ? 2 的直线 l 过点 F 且交曲线 C 为 A 、 B 两点,当线段 AB 的中点 M 到直线

l ' : 5x ? 12 y ? a ? 0(a ? ?5) 的距离为

1 ,求 a 的取值范围. 13

(本小题满分 12 分) 21 . 已知函数 f ( x) ? 6 x ? x , x ? R .
6

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P ,求曲线在点 P 处的切线方程; (Ⅲ)若方程 f ( x) ? a ( a 为实数)有两个实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 ? x1 ? 6 ?
1 5

a . 5

请考生在第 22 , 23 , 24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
·5·

(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 22 . 如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE , E 为切点 , 连接 AE,BE , ?APE 的平分线与 AE,BE 分别交于 C,D ,其中 ?APE ? 30? . (Ⅰ)求证:

ED PB PD ; ? ? BD PA PC

(Ⅱ)求 ?PCE 的大小.

23 . (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a sin ? (a ? 0) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 1, ( t 为参数) . ? y ? 4t ? 3

(Ⅰ)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,且 AB ? 3a ,求实数 a 的取值范围.

(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 24 . 已知函数 f ( x) ? m ? x ? 1 , m ? R ,且 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 [?2, 2] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ? ,且

1 1 1 ? ? ? m ,求 z ? a ? 2b ? 3c 的最小值. a 2b 3c

2016 年江西省协作体高三第二次模拟考试
·6·

理科数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

D

A
1 2

D

C

B

D

C

A

C

B

C

13 . 60

14 . ln 2 ?

3? ? 15 . ? ??, ? 4? ?

16 . 1 ? ln 2

17 . (本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ) f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 1 ? 2sin(? x ?

?
3

) ?1

?? 3 分 ?? 6 分

T?

2?

?

? 6? ,所以 ? ?

1 . 3

注:如果 f ? x ? ? ?2 cos(? x ?

?
6

) ? 1 等正确结果的话相应给分即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: f ? x ? ? 2sin( x ?

) ?1 3 ?? ? ?? ?? 1 ? ?1 ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? (3? ? ) ? ? ? 1 ? 2sin ? ? ? ? ? 1 ? ?2cos ? ? 1 ? 2? 2 3? 2? 17 ? ?3 ? 8 ∴ cos ? ? ?? 7 分 17 ?? 11 ?1 f ? 3? ? ? ? ? 2sin ? (3? ? ? ) ? ? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 3? 5 ?3 3 ∴ sin ? ? ?? 8 分 5 15 4 ? ?? 2 , cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , ?10 分 ∴ ? , ? ? ?0, ? ,∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 17 5 ? 2? 13 ∴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? . ?? 12 分 85

1 3

?

18 . (本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ)由题意,得:

a ? 20 9 ? ? a ? 25 100 20 10 ? 25 7 ? 50 10
10 ? 20 3 ? 50 5
1 , 5
?? 4 分

∴ b ? 100 ? (15 ? 25 ? 10 ? 10 ? 20) ? 20

A 班没有选做选修 4 ? 5 的概率 P 1 ?

B 班没有选做选修 4 ? 5 的概率 P2 ?

(Ⅱ)由题意知, A 、 B 两班每人选选修 4 ? 1 的概率均为
·7·

∴ 随机变量 X 服从二项分布,即 X ? B (4, )

1 5

?? 6 分



?1? P( X ? i ) ? C ? ? ?5?
i 4

i

? 1? ?1 ? ? ? 5?

4 ?i

,(i ? 0,1, 2,3, 4)

??? 8 分

∴ X 的分布列为

X

0

1

2
96 625

3

4
1 625
?? 10 分 ???12 分

P
∴ E( X ) ? 4 ?

256 625 1 4 ? 5 5

256 625

16 625

19 . (本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为菱形 ∴ AD ∥ BC ,且 BC ? 面 ADEF , AD ? 面 ADEF ∴ BC ∥面 ADEF 且面 ADEF ? 面 BCEF ? EF ∴ EF ∥ BC . (Ⅱ)∵ FO ? 面 ABCD 又∵ OB ? AO 以 O 为坐标原点,OA ,OB , OF 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,取 CD 的中点 M ,连 OM , EM . 易证 EM⊥平面 ABCD. 又∵ BC ? CE ? DE ? 2 EF ? 2 ,得出以下各点坐标: ∴ FO ? AO , FO ? OB ?? 6 分

B(0,1,0), C ( ? 3,0,0), D(0, ?1,0), F (0,0, 3), E( ?
????

3 1 , ? , 3) 2 2

向量 DE ? ( ?

??? ? ??? ? 3 1 , , 3) ,向量 BC ? (? 3, ?1,0) ,向量 BF ? (0, ?1, 3) 2 2

设面 BCFE 的法向量为: n0 ? ( x0 , y0 , z0 )

?? ?

??? ? ? ? ?n0 ? BC ? 0 ? ? 3x0 ? y0 ? 0 , 得到 ? ? ? ??? ? ? ?n0 ? BF ? 0 ? ? y0 ? 3z0 ? 0
·8·

令 y0 ? 3 时 n0 ? (?1, 3,1) 易得面 AOF 的一个法向量 n ? (0,1,0) 设面 AOF 与面 BCEF 所成的锐二面角为 ? ,则

?? ?

?

?? ?? n0 ?n 3 15 cos ? ? ?? ? ? ? ? 5 5 n0 n

∴ sin ? ?

10 5
10 5
?? 12 分

故 面 AOF 与面 BCEF 所成的锐二面角的正弦值为

20 . (本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ)由已知得: P 到点 F (1,0) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离相等 ∴ 由抛物线的定义得曲线 C 为抛物线 易得轨迹方程为: y 2 ? 4 x . (Ⅱ)由已知得 直线 l : y ? k ( x ? 1),(k ? 2) ?? 4 分

联立

?

y ?k ( x ?1) y2 ?4 x

消去 y ,得 k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 M ( x0 , y0 ) 则 x0 ?

x1 ? x2 k 2 ? 2 ? 2 k2

? y0 ? k ( x0 ? 1) ?
5x0 ? 12 y0 ? a 5 ? 12
2 2

2 k

于是点 M 到直线 l ? 的距离为

?

1 13
?? 8 分

1 0 2 4 ? ? a ?5 ?1 2 k k 10 24 ? a ?5 ?1 由 k ? 2 及 a ? ?5 得: 2 ? k k 10 24 1 6 52 ? 4 ? ?10( ? ) 2 ? 即a ? ? 2 ? k k k 5 5 6 1 6 17 ? ? ? 由 k?2 知 5 k 5 10


·9·

17 2 52 6 52 ) ? ? a ? ?10 ? ( ) 2 ? , 即 10 5 5 5 ∴ 由 a ? ?5 得: a 的取值范围为 (?5, ?4) .


?10 ? ?

?

37 ? a ? ?4 2
?? 12 分

(本小题满分 12 分) 21 . 解: (Ⅰ)由已知得: f ?( x) ? 6 ? 6x5 ? 6(1 ? x5 ) 由 f ' ( x) ? 0 得: x ? 1 又 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, ∴当 x ? 1 时 f ( x) 取得极大值,极大值为 f (1) ? 5 ,无极小值.??? 3 分 (Ⅱ)设 P ? x0 ,0? ,则 x0 ? 5 6 , f ? ? x0 ? ? ?30, 曲线 y ? f ? x? 在点 P 处的切线方程为:

y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ? ?30( x ? 5 6) ,
即 曲线在点 P 处的切线方程为: y ? ?30( x ? 5 6) (Ⅲ)设 g ? x ? ? ?30( x ? 5 6) ,令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 即 F ? x ? ? f ? x ? ? 30( x ? 5 6) , 则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 30 由于 f ?( x) ? 6? 6x5 在 ? ??, ??? 单调递减,故 F ? ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递减 , 又∵ ??? 6 分

F ? ? x0 ? ? 0 ( x0 ? 5 6)
∴当 x ? ? ??, x0 ? 时 F ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时, F ? ? x ? ? 0 , ∴ F ? x ? 在 ? ??, x0 ? 单调递增,在 ? x0 , ?? ? 单调递减, ∴ ?x ? R , F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 ,即 ?x ? R ,都有 f ( x) ? g ( x) ; 设方程 g ( x) ? a 的根为 x2 ,∴ x2 ? 6 ?
'
' 1 5

a . 30

∵ g ( x) 在 ? ??, ??? 单调递减,且 g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? a ? g ( x2' ) ∴ x2 ? x2
'

?? 8 分

设曲线 y ? f ? x ? 在点原点处的切线方程为: y ? h( x) ,则易得 h( x) ? 6 x
·10·

?x ? R ,有 f ( x) ? h( x) ? ? x6 ? 0 ,即 f ( x) ? h( x)
设方程 h( x) ? a 的根为 x1' ,则 x1 ?
'

a 6

∵ h( x) 在 ? ??, ??? 单调递增,且 h( x1' ) ? a ? f ( x1 ) ? h( x1 ) ∴ x1' ? x1 ∴ x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? (6 5 ?
' ' 1 1 1 a a a ) ? ? 65 ? 30 6 5

?? 10 分

即 x2 ? x1 ? 6 5 ?

a 5

?? 12 分

(本小题满分分 10 )选修 4—1:几何证明选讲 22 . (Ⅰ)证明:由题意可知, ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,

PE PD PE ED ED PB PD ,又 ,则 . ? ? ? ? PA PC PB BD BD PA PC ??? 5 分 (Ⅱ)解:由 ?EPC ? ?APC , ?PEB ? ?PAC ,可得 ?CDE ? ?ECD . 在 △ECD 中, ?CED ? 30? ,可知 ?PCE ? 75? . ??? 10 分
则 △PED ?△PAC ,则

23 . (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
解: (Ⅰ) C 的直角坐标方程为 x ? ( y ? a) ? a ,
2 2 2

在直线 l 的参数方程中消 t 得: 4 x ? 3 y ? 5 ? 0

??? 5 分

(Ⅱ)要满足弦 AB ? 3a 及圆的半径为 a 可知只需圆心 (0, a ) 到直线 l 的距离 d ?

1 a 即可。 2

由点到直线的距离公式有:

?3a ? 5 4 ? (?3)
2 2

?

1 a 2
10 ? a ? 10 , 11
??? 10 分

整理得: 11a ? 120a ? 100 ? 0 即 (11a ? 10)(a ? 10) ? 0 解得:
2

故实数 a 的取值范围为:

10 ? a ? 10 11

(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 24 . 解:(Ⅰ)因为 f ( x ? 1) ? m? | x | ,

f ( x ? 1) ? 0 等价于 | x |? m ,
·11·

由 | x |? m 有解,得 m ? 0 ,且其解集为 {x | ?m ? x ? m} . 又 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 [?2, 2] ,故 m ? 2 . (Ⅱ)由(1)知 ??? 5 分

1 1 1 ? ? ? 2 ,又 a, b, c ? R ? ,由柯西不等式得 a 2b 3c 1 1 1 1 z ? a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)? ( ? ? ) 2 a 2b 3c
3 3 1 1 1 1 1 2 9 ? ( a ? ? 2b ? ? 3c ? ) ? (当且仅当 a ? , b ? , c ? 时取等号) 2 4 2 2 2 a 2b 3c

∴ z ? a ? 2b ? 3c 的最小值为

9 . 2

???10 分

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·12·


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