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分类讨论思想(高三一轮复习)


第3讲:分类讨论思想

10/21/2012

课前练习
3 1(见资料 P77 选择 1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x, 4 则双曲线的离心率为 (D ) 5 5 5 15 5 5 A.3 B. 2 C. 2 或 3 D.3或4 2 3 4 5 n-1 2.若 sn=1+a+a +a +a +a +……+a 求 sn
1 Sn= n 1-an/1-a a=0 a=1 a≠0 且a≠1

在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情 况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解, 分类讨论法 然后综合得解,这就是

思想方法概述
1.分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法.其基 本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若 干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解 决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类 标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大 问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题), 优化解题思路,降低问题难度.
同学们见过哪些分类讨论的类型?

2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分 类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数 等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有 的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的 条件下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、 函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中 除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的 要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以 一个正数、负数,三角函数的定义域等.

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、 位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的 位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问 题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会 导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的 求解或证明方法.

题型一 根据变量或参数的取值情况分类讨论 2 例 1 (2009· 安徽)已知函数 f(x)=x-x+a(2-ln x)
a>0,讨论 f(x)的单调性. 思维启迪 确定定义域→求导→对 a 进行分类讨论→

确定 f′(x)的正、负.
解 f(x)的定义域是(0,+∞), 2 2 a x -ax+2 导函数 f′(x)=1+x2-x = . x2 设 g(x)=x2-ax+2, 二次方程 g(x)=0 的判别式 Δ=a2-8. ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0.此 时 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.

②当 Δ=0 即 a=2 2时,仅对 x= 2时,有 f′(x)=0, 对其余的 x>0 都有 f′(x)>0. 此时 f(x)也是(0,+∞)上的单调递增函数. ③当 Δ>0 即 a>2 2时, 方程 g(x)=0 有两个不同的实根 a- a2-8 a+ a2-8 x1= ,x2= ,0<x1<x2. 2 2 x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2, +∞) 0 0 f′(x) + - + 极大 极小 f(x) ? ? ? 值 值 ? ? a- a2-8? ?a+ a2-8 ? ? ? 此时 f(x)在?0, ,? ,+∞?上单调 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? a- a2-8 a+ a2-8? ? 递增,在? , ? ?上单调递减. 2 2 ? ?

练习. (见资料 P77 选择 5)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x -4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是(C ) A.(-∞,2] C.(-2,2] B.[-2,2] D.(-∞,-2)

解析 当 a-2=0 即 a=2 时, 不等式为-4<0, 恒成立, ?a-2<0 ? 所以 a=2;当 a-2≠0 时,则 a 满足? ,解得 ?Δ<0 ? -2<a<2,所以 a 的范围是{a|-2<a≤2},故选 C.

例 2.见资 P77 解答题 9) ( 已知集合 A={x|ax2+2x+1=0, a∈R},当 A 中至多有一个元素时,求 a 的取值范围. 解 A 中至多有一个元素包括两种情况: ①A 中只有一个元素: 1 当 a=0 时,一次方程 2x+1=0 有一根 x=-2,此时 A 1 ={-2}适合题意; 当 a≠0 时, 二次方程 ax2+2x+1=0 有两个相等的实数 根,则 Δ=0,即 a=1,此时 A={-1}适合题意. 故 a=0 或 a=1.

②A

?a≠0, ? 中没有元素:应有? ?Δ<0, ?

有没有其他解法?

解得 a>1.

综上,a 的取值范围是{a|a≥1 或 a=0}.

总结: 3.分类讨论的原则
(1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无 原则地讨论.

题型二 例1

根据数学概念分类讨论

设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1

+x)|的大小. (见 P76 例 1) 思维启迪 先利用 0<x<1 确定 1-x 与 1+x 的范围, 再

利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与 0 的 大小关系,从而比较出大小.
解 ∵0<x<1,∴0<1-x<1,1+x>1,0<1-x2<1.

①当 0<a<1 时,loga(1-x)>0,loga(1+x)<0, 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =loga(1-x)-[-loga(1+x)]=loga(1-x2)>0;

②当 a>1 时,loga(1-x)<0,loga(1+x)>0, 所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)>0. 由①、②可知,|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

总结:
4.解分类问题的步骤
? (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参

数进行分类讨论. ? (2)对所讨论的对象进行合理的分类. ? (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步 解决. ? (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

练习
?1

设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4 的一切x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为 ________
,值域为[-5,1],

?2已知函数f(x)=2asin2x-2√3asinxcosx+a+b
(a≠0)定义域为 求常数a,b的值。(见资料P77解答题10)


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