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高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程成长训练新人教A版选修4-4


一 曲线的参数方程 主动成长 夯基达标 1 1 ? x ? (a ? ), ? ? 2 a 1.已知某条曲线的参数方程为 ? (其中 a 是参数),则该曲线是( ? y ? 1 (a ? 1 ) ? 2 a ? A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分 解析:本题中的参数方程对于同学们来说不太熟悉 ,很自然这时应该考虑将其转化为相应的 2 2 普通方程来看,由此进行消参,如何消参,又需要适当的观察,将两式平方相减,得 x -y =1,并 且由|x|= 答案:C 2.已知某条曲线的参数方程为 ? 2 ? ? x ? 3t ? 2, (0≤t≤5),则该曲线是( 2 ? y ? t ? 1 ? 1 1 |a+ |≥1,x≥1 或 x≤-1,易知结果 2 a A.线段 B.圆弧 C.双曲线的一支 D.射线 解析:消去参数 t,将其化为普通方程,并注意 x,y 的范围即可确定 由题中的参数方程 ? 2 ? ? x=3t +2, (0≤t≤5),消去参数 t,得 x-3y=5.又 0≤t≤5,故 1≤y≤26. 2 ? y=t 1 ? 故题中所给曲线是线段 答案:A 3.若曲线 ? ? x ? 1 ? cos2? , 2 ? y ? sin ? (θ 为参数),则点(x,y)的轨迹是( A.直线 x+2yB.以(2,0)为端点的射线 2 2 C.圆(x-1) +y D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 2 解析:∵x=1+cos2θ =1+1-2sin θ =2-2y,且 0≤x≤2,0≤y≤1,∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端 点的线段 答案:D 2 ? ? x ? t ? 2t ? 3, 4.曲线 C 的方程为 ? (t∈R),则曲线 C 的图象在( 2 ? ? y ? t ? 4t ? 5 1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方 程来判定各点的横、纵坐标的符号即可 x=(t+1)2+2≥2,y=(t+2)2+1≥1, 从而易知该曲线位于第一象限 答案:A 5.若直线 y=ax+b 经过第二、 三、 四象限,则圆 ? A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 解析:∵直线 y=ax+b 经过第二、三、四象限 ∴a<0,b<0.∴圆心(a,b)在第三象限 答案:B 6.直线系方程为 xcosφ +ysinφ =2,圆的参数方程为 ? 的位置关系为( A.相交不过圆心 B.相交且经过圆心 C.相切 D.相离 解析:圆的普通方程为 x +y =4,圆心(0,0)到直线 xcosθ +ysinθ -2=0 的距离等于 d= 于半径,所以直线与圆相切 答案:C 7.点 P(3,b)在曲线 ? 2 2 ? x ? a ? r cos? , (θ 为参数)的圆心在( ? y ? b ? r sin ? ? x ? 2 cos? , (φ 为参数),则直线与圆 ? y ? 2 sin ? 6 =2,等 1 ? ? x ? t 2 ? 1, 上,则 b=_________. ? y ? ? 2 t ? 1 ? 解析:3= t 2 +1,∴t=±2. ∴y1=-5=b,y2=3=b. 答案:3 或-5 ? x ? r ? r cos? , ? 8.圆 ? (θ 为参数,r>0)的直径是 4,则圆心坐标是_________. r y ? ? r sin ? ? 2 ? 解析:∵2r=4,∴r 2 ∴圆心坐标是(r, r ),即 2 答案:(2,1) 9.动点(2-cosθ ,cos2θ )的轨迹的普通方程是_________. 解析:设动点坐标为(x,y),得 ? θ ,得 y=2(2-x) -1,即(2-x) = 分,即(x-2) = 2 2 2 ? x=2- cosθ , 这就是动点所表示的曲线的参数方程 .消去参数 ? y= cos2θ , 1 (y+1),由于|y|=|cos2θ |≤1,动点轨迹只是抛物线的一部 2 1 (y+1)(1≤x 2 2 答案:y=2(x-2) -1(1≤x≤3) 2 2 10.已知实数 x、y 满足条件 x +y -2x+4y=0,则 x-2y 的取值范围是_________. 2 2 解析:本题条件可理解为点(x,y)在圆 x +y -2x+4y=0 上移动,这是数形结合的思想,圆的参数 方程为 ? ? ? x=1+ 5 cosθ , ? ? y=-2+ 5 sin θ. x-2y=1+ 5 cosθ -2(-2+ 5 sinθ ) =5+5(cosθ -2sinθ ) =5+5sin(α -θ ). 答案:[0,10] 2 2 11.已知实数 x、y 满足(x+1) +(y-2) =16,求 3x+4y 的最值. 解析:这样的题目可考虑数形结合,把满足的 x、 y 视为圆(x+1)2+(y-2)2=16 上的动点,可考虑 利用圆的参数方程来求解 , 也可引入向量来求解 , 这样也要求同学们对于所学知识能够使 用 解:由题意知,设 ? ? x=-1+4 cosθ , 代入 3x+4y=3(-1+4cosθ )+4(2+4sinθ )=20cos(θ +α )+5, ? y=2+4 sin θ , 于是 3x+4y 的最大、最小值分别为 25、-15. 12.求 u= 2 ? sin ? 的最小值. 1 ? cos ? 2 2 解:令 P(cosθ ,sinθ )、Q(1,2),P 为圆 x +y =1 上任意一点 如图可知,u= 2 ? sin ? 2 2 就是直线 PQ 的斜率.当过 Q 的直线与圆 x +y =1 相切时,切线的斜率就 1 ? cos ? 3 是所求的最小值 2 2 设过 Q 与圆 x +y =1 相切的直线方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2∵圆心 O 到切线 PQ 的

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