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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-1


基础巩固强化 一、选择题 x+1 1.(文)(2012· 烟台调研)设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 x-1 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( A.2 1 C.-2 [答案] B [解析] ∵f ′(x)= ?x-1?-?x+1? 2 =- , 2 ?x-1? ?x-1?2 ) B.-2 1 D.2

1 1 ∴f ′(3)=-2,由条件知,-2×(-a)=-1, ∴a=-2. (理)(2012· 山西省联合模拟)曲线 y=xlnx 在点(e,e)处的切线与直 线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为( A.2 1 C.2 [答案] A [解析] ∵y′=1+lnx,∴y′|x=e=1+lne=2, 1 ∴-a×2=-1,∴a=2,选 A. 2.(2013· 河北教学质量监测)若函数 f(x)=2x+lnx,且 f ′(a)=0, 则 2aln2a=( ) ) B.-2 1 D.-2

A.1 C.-ln2 [答案] B

B.-1 D.ln2

1 1 [解析] f ′(x)=2xln2+x,由 f ′(a)=2aln2+a=0,得 2aln2= 1 -a,则 a· 2a· ln2=-1,即 2aln2a=-1. 4 3.(2013· 乌鲁木齐一中月考)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为 e +1 曲线在 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围为( π A.[0,4) π 3π C.(2, 4 ] [答案] D -4ex 4ex [解析] y′= x =- 2x ?e +1?2 e +2ex+1 4 =- ≥-1,故-1≤tanα<0, 1 x e +ex+2 3π 又 α∈[0,π),所以 4 ≤α<π. 1 1 4. (文)直线 y=2x+b 与曲线 y=-2x+lnx 相切, 则 b 的值为( A.-2 1 C.-2 [答案] B 1 1 1 [解析] 设切点(a,-2a+lna),y′=-2+x , B.-1 D.1 ) π π B.[4,2) 3π D.[ 4 ,π) )

1 1 1 1 1 1 ∴-2+a=2,a=1,故切点(1,-2)在直线 y=2x+b 上,有-2 1 =2+b,∴b=-1. (理)已知 f(x)=logax(a>1)的导函数是 f ′(x),记 A=f ′(a),B= f(a+1)-f(a),C=f ′(a+1),则( A.A>B>C C.B>A>C [答案] A [解析] 记 M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于 B=f(a+1)- f(a)= f?a+1?-f?a? ,表示直线 MN 的斜率,A=f ′(a)表示函数 f(x)= ?a+1?-a ) B.A>C>B D.C>B>A

logax 在点 M 处的切线斜率;C=f ′(a+1)表示函数 f(x)=logax 在点 N 处的切线斜率.所以,A>B>C. 5.(文)若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第二象限,则函 数 f ′(x)的图象是( )

[答案] C [解析] b
? b 4c-b2? ?在第二象限, 由题意可知?- , 4 ? ? 2

?-2<0, ∴? 4c-b ? 4 >0.
2

∴b>0,又 f ′(x)=2x+b,故选 C.

(理)(2013· 山东东营一模)设曲线 y=sinx 上任一点(x,y)处切线的 斜率为 g(x),则函数 y=x2g(x)的部分图象可以为( )

[答案] C [解析] 根据题意得 g(x)=cosx,∴y=x2g(x)=x2cosx 为偶函数. 又 x=0 时,y=0,故选 C. 6. (2013· 杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2 15 + 4 x-9 都相切,则 a 等于( 25 A.-1 或-64 7 25 C.-4或-64 [答案] A
3 [解析] 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x0 ),所以切线方 2 2 3 程为 y-x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0,又(1,0)在切线上,则 x0=0

) 3 B.-1 或-8 7 D.-4或 7

3 或 x0=2, 15 25 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ 4 x-9 相切可得 a=-64;

3 27 27 15 当 x0=2时,由 y= 4 x- 4 与 y=ax2+ 4 x-9 相切可得 a=-1, 所以选 A. 本题常犯的错误是,不对点(1,0)的位置作出判断,直接由 y=x3, 15 15 得出 y′|x=1=3,再由 y=ax2+ 4 x-9,得 y′|x=1=2a+ 4 =3 求出 a 3 =-8,错选 B. 二、填空题 7.(文)(2013· 广东理,10)若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线 平行于 x 轴,则 k=________. [答案] -1 1 [解析] y′=k+x,y′|x=1=k+1=0, ∴k=-1. (理)(2013· 湖北黄冈一模)已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x- 4)(x-5),则 f ′(0)=________. [答案] -120 [ 解析 ] f ′(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x[(x - 1)(x -

2)(x-3)(x-4x)(x-5)]′, ∴f ′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. π π 8.(文)(2013· 广州一模)已知函数 f(x)=f ′(2)sinx+cosx,则 f(4) =________. [答案] 0 π [解析] 由条件知,f ′(x)=f ′(2)cosx-sinx. π ∴f ′(2)=-1,∴f(x)=-sinx+cosx,

π ∴f(4)=0. (理)(2013· 江西理,13)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x +ex,则 f ′(1)=________. [答案] 2 [解析] ∵f(ex)=x+ex, 1 ∴f(x)=x+lnx,f ′(x)=1+x, ∴f ′(1)=1+1=2. 9.(2013· 贵阳一模)曲线 y=lnx 在与 x 轴交点处的切线方程为 ________. [答案] x-y-1=0 1 [解析] 由 y=lnx 得,y′=x ,∴y′|x=1=1,∴曲线 y=lnx 在 与 x 轴交点(1,0)处的切线方程为 y=x-1,即 x-y-1=0. 三、解答题 1 4 10.(文)已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 1 4 [解析] y=3x3+3,则 y′=x2. (1)由题意可知点 P(2,4)为切点, y′|x=2=22=4, 所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y- 4=0. 1 3 4 (2)由题意可知点 P(2,4)不一定为切点,故设切点为(x0,3x0 +3),

2 y′|x=x0=x0 ,

1 4 2 曲线过点 P(2,4)的切线方程为 y-(3x3 0+ )=x0(x-x0), 3 1 4 2 所以 4-(3x3 0+ )=x0(2-x0), 3
3 2 3 2 x0 -3x0 +4=0?(x0 +1)-3(x0 -1)=0?(x0+1)(x2 0-4x0+4)=0.

解得 x0=-1 或 x0=2, 即切点为(-1,1)或(2,4). 所以曲线过点 P(2,4)的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. (理)(2014· 高州月考)设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴交 点为 P, 且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0,试确定函数的解析式. [解析] ∵y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P(0,d), 又曲线在点 P 处的切线方程为 y=12x-4,P 点坐标适合方程, 从而 d=-4; 又切线斜率 k=12, 故在 x=0 处的导数 y′|x=0=12 而 y′|x=0=c, 从而 c=12; 又函数在 x=2 处取得极值 0,所以
?y′|x=2=0, ?12a+4b+12=0, ? ? ? 即? ?f?2?=0. ? ? ?8a+4b+20=0.

解得 a=2,b=-9, 所以所求函数解析式为 y=2x3-9x2+12x-4. 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)(2013· 宁波期末)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,f(x)= x(x-a1)(x-a2)?(x-a8),f ′(x)为函数 f(x)的导函数,则 f ′(0)=

(

) A.0 C.29 [答案] D [解析] ∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a8), ∴ f ′(x) = (x - a1)(x - a2)?(x - a8) + x· [(x - a1)(x - a2)?(x - B.26 D.212

a8)]′, ∴f ′(0)=a1a2?a8=(a1a8)4=84=212. (理)(2013· 武汉中学月考)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn, 则 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012 的值为( A.1 C.2013 [答案] B [解析] f ′(x)=(n+1)xn,k=f ′(1)=n+1,点 P(1,1)处的切线 1 n 方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 x=1- = ,即 xn n+1 n+1 n = , n+1 1 2 3 2011 2012 1 ∴x1· x2· ?· x2012=2×3×4×?×2012×2013=2013,则 log2013x1 1 +log2013x2+?+log2013x2012=log2013(x1· x2· ?· x2012)=log20132013=-1. 1 12.(2013· 山东理,11)抛物线 C1:y=2px2(p>0)的焦点与双曲线 x2 2 C2:3 -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M, 若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( ) B.-1 D.-2013 )

3 A. 16 2 3 C. 3 [答案] D

3 B. 8 4 3 D. 3

p x2 [解析] 由已知抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 A(0, 双曲线 3 - 2),
2

3 y2=1 的右焦点为 B(2,0),渐近线方程为 y=± 3 x. x2 0 设 M(x0,y0),则 y0=2p, x2 p p 0 - 2p 2 2 由 kMA=kAB 得 x = ,(1) -2 0 x2 x x0 3 由 y=2p知,y′=p,则 y′|x=x0= p = 3 , 4 3 代入(1)式中消去 x0 并解之得 p= 3 . 1 1 13.(2013· 潍南二模)若曲线 f(x)=3ax3+2bx2+cx+d(a,b,c>0) f ′?1? 上存在斜率为 0 的切线,则 b -1 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) [答案] A [解析] 因为函数 f ′(x)=ax2+bx+c,函数 f(x)图象上不存在斜 b2 率为 0 的切线,也就是 f ′(x)=0 无解,故 Δ=b -4ac<0,即 ac> 4 ,
2

)

B.[1,+∞) D.[2,+∞)

b2 2 4 a+c 2 ac f ′?1? a+c 所以 b ≥ b > b =1,即 b -1= b 的取值范围是(1,+

∞). 14.(文)已知函数 f(x)=xp+qx+r,f(1)=6,f ′(1)=5,f ′(0) 1 =3,an= ,n∈N+,则数列{an}的前 n 项和是( f?n? n A. n+1 n+1 C. 2n+4 [答案] D [解析] ∵f ′(x)=pxp-1+q,由条件知 1+q+r=6, ? ? ?p+q=5, ? ?q=3. p=2, ? ? ∴?q=3, ? ?r=2. n B. n+2 n D. 2n+4 )

∴f(x)=x2+3x+2. 1 1 1 1 1 ∴an= = 2 = = - f?n? n +3n+2 ?n+1??n+2? n+1 n+2 ∴{an}的前 n 项和为
? 1 1 ? 1 ?1 1? ?1 1? Sn = a1 + a2 + ? + an = ?2-3? + ?3-4? + ? + ?n+1-n+2? = 2 - ? ? ? ? ? ?

1 n = . n+2 2n+4 ( 理) 定义方程 f(x)= f ′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻 点”,若函数 g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3-1 的“新驻点”分 别为 α、β、γ,则 α、β、γ 的大小关系为( A.α>β>γ C.γ>α>β [答案] C [解析] 由 g(x)=g′(x)得,x=1,∴α=1,由 h(x)=h′(x)得, )

B.β>α>γ D.β>γ>α

ln(x+1)=

1 ,故知 1<x+1<2,∴0<x<1,即 0<β<1, x+1

由 φ(x)=φ′(x)得,x3-1=3x2,∴x2(x-3)=1, ∴x>3,故 γ>3,∴γ>α>β. 1 [点评] 对于 ln(x+1)= ,假如 0<x+1<1,则 ln(x+1)<0, x+1 1 1 1 1 >1 矛盾; 假如 x+1≥2, 则 ≤2, 即 ln(x+1)≤2, ∴x+1≤ e, x+1 x+1 ∴x≤ e-1 与 x≥-1 矛盾. 二、填空题 15.(文)若曲线 f(x)=ax3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,0) 1 [解析] 由题意,可知 f ′(x)=3ax2+x ,又因为存在垂直于 y 轴 1 1 的切线,所以 3ax2+x=0?a=-3x3(x>0)?a∈(-∞,0). (理)设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π),若 f(x)+f ′(x)为奇函数, 则 φ=________. π [答案] 6 [解析] f ′(x)=- 3sin( 3x+φ), 由条件知 cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) π? ?π ? ? =2sin?6- 3x-φ?=-2sin? 3x+φ-6?为奇函数,且 0<φ<π,∴
? ? ? ?

π φ=6. 三、解答题 16.求下列函数的导数:

1 4 (1)y=5x5-3x3+3x2+ 2; (2)y=(3x3-4x)(2x+1); (3)y=3xex-2x+e; (4)y= lnx ; x +1
2

(5)y=xcosx-sinx; (6)(理)y=cos32x+ex; (7)(理)y=lg 1-x2. [解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导.
?1 ? ?4 ? (1)y′=?5x5?′-?3x3?′+(3x2)′+( 2)′ ? ? ? ?

=x4-4x2+6x. (2)∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x, ∴y′=24x3+9x2-16x-4, 或 y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4. (3)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3· ex+3xex-2xln2 =(ln3+1)· (3e)x-2xln2. ?lnx?′?x2+1?-lnx· ?x2+1?′ (4)y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-lnx· 2x 2 x· x +1-2x2· lnx = = . 2 2 2 2 ? x +1 ? x?x +1? (5)y′=(xcosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. (6)(理)y′=3cos22x· (cos2x)′+ex

=-6sin2x· cos22x+ex.
?1 ? 1 lge (7)(理)y′=?2lg?1-x2??′=2· 2· (1-x2)′ ? ? 1-x



xlge . x2-1

考纲要求 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y=x3, 1 y=x 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数. 补充说明 1.注意一个区别——曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与 “过点 P(x0, y0)的切线”的区别: 前者 P(x0, y0)为切点, 而后者 P(x0, y0)不一定为切点; 走出一个误区——直线与曲线相切不一定仅有一个 公共点,除切点外还可以有其他公共点. 2.准确理解导数及其几何意义 思考题 函数 f(x)=|x|(1+x)在点 x=0 处是否有导数?若有,求 出来,若没有,说明理由. [解析]
2 ? ?x+x f(x)=? 2 ?-x-x ?

?x≥0?, ?x<0?.

的图象如图所示,显然在点 x

=0 处曲线的切线不存在, 故 f(x)在 x=0 处导数不存在.

3.注意 f ′(x0)与(f(x0))′的区别,f ′(x0)是 f ′(x)在 x=x0 时的 函数值,而(f(x0))′=0. 备选习题 1.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f ′(x)的图 象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y=f(x)的图象的顶点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C [解析] 由题意可设 f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b,由于 f ′(x) 图象是过第一、二、三象限的一条直线,故 2a>0,b>0,则 f(x)=a(x b 2 b2 b b2 +2a) -4a,顶点(-2a,-4a)在第三象限,故选 C. π? ? 2.已知 y=tanx,x∈?0,2?,当 y′=2 时,x 等于(
? ?

)

π A.3 π C.4 [答案] C [ 解析 ]

2 B.3π π D.6

cos x+sin x ? sinx ? 1 y′ = (tanx)′ = ?cosx? ′ = = 2 cos x cos2x = 2 ,∴ ? ?

2

2

1 2 cos2x=2,∴cosx=± 2 , π? ? π ∵x∈?0,2?,∴x=4.
? ?

3.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直 1 线 3x-y+2=0 平行,若数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为 f?n? ( ) 2012 A.2013 [答案] C [解析] ∵f(x)=x2+bx,∴f ′(x)=2x+b, 由条件知 f ′(1)=3,∴b=1. 1 1 1 1 ∴f(x)=x2+x,∴ = 2 =n- , f?n? n +n n+1 1 1 1 1 1 ∴Sn=(1-2)+(2-3)+?+(n- ) n+1 = n , n+1 2013 B.2014 2014 C.2015 2011 D.2012

2014 ∴S2014=2015. 4.函数 f(x)=xcosx 的导函数 f ′(x)在区间[-π,π]上的图象大 致为( )

[答案] A [解析] ∵f(x)=xcosx,

∴f ′(x)=cosx-xsinx, ∴f ′(-x)=f ′(x),∴f ′(x)为偶函数,排除 C; ∵f ′(0)=1,排除 D;
?π? π 由 f ′?2?=-2<0,f ′(2π)=1>0,排除 B,故选 A. ? ?

5.若函数 f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾 斜角为( π A.2 C.钝角 [答案] C [解析] y′|x=4= (exsinx+ excosx)|x=4=e4(sin4+ cos4)= 2e4sin(4 ) B.0 D.锐角

π +4)<0,故倾斜角为钝角,选 C. 6.(2013· 大连模拟)若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( A.1 2 C. 2 [答案] B [解析] 设 P(x0, y0)到直线 y=x-2 的距离最小, 则 y′|x=x0=2x0 1 -x =1. 0 1 得 x0=1 或 x0=-2(舍). ∴P 点坐标(1,1). |1-1-2| ∴P 到直线 y=x-2 距离为 d= = 2. 1+1 ) B. 2 D. 3

7.(2013· 黄山三校联考)已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x),且满足 f(x)=3x2+2xf ′(2),则 f ′(5)=________. [答案] 6 [解析] f ′(x)=6x+2f ′(2),将 x=2 代入得 f ′(2)=12+

2f ′(2),即 f ′(2)=-12, 故 f ′(x)=6x-24,所以 f ′(5)=6. 8.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点
? an ? 的纵坐标为 an,则数列?n+1?的前 n 项和是________. ? ?

[答案] 2n+1-2 [解析] ∵y=xn(1-x),∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′· xn=n· xn -
1

(1-x)-xn. f ′(2)=-n· 2n-1-2n=(-n-2)· 2 n -1 . 在点 x=2 处点的纵坐标为 y=-2n. ∴切线方程为 y+2n=(-n-2)· 2n-1(x-2). 令 x=0 得,y=(n+1)· 2n, ∴an=(n+1)· 2n,
? an ? 2?2n-1? n+1 ? ? ∴数列 n+1 的前 n 项和为 =2 -2. 2-1 ? ?

9.(2013· 宁波四中月考)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f ′(x)存在,且导函数 f ′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二 阶导函数, 记 f ″(x)=(f ′(x))′.若 f ″(x)<0 在 D 上恒成立, 则称 f(x) π 在 D 上 为 凸 函 数 . 以 下 四 个 函 数 在 (0 , 2 ) 上 不 是 凸 函 数 的 是 ________(把你认为正确的序号都填上). ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)=lnx-2x; ③f(x)=-x3+2x-1; ④f(x)=xex.

[答案] ①②③ [解析] 对于①,f ′(x)=cosx-sinx,f ″(x)=-sinx-cosx=- π π 1 2sin(x+4)<0 在区间(0, ) 上恒成立; ②中, f ′ ( x ) = f ″ (x ) 2 x-2(x>0), 1 π =-x2<0 在区间(0,2)上恒成立;③中,f ′(x)=-3x2+2,f ″(x)= π -6x 在区间(0,2)上恒小于 0.故①②③为凸函数.④中,f ′(x)=ex π +xex,f ″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0 在区间(0,2)上恒成立,故④中 函数不是凸函数.


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