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2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.1.2(一)椭圆的简单几何性质(一)_图文


2.1.2(一)

2.1.2
【学习要求】
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椭圆的简单几何性质(一)

1.理解椭圆的简单几何性质. 2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题. 【学法指导】 通过几何图形观察,代数方程验证的学习过程,体会数形 结合的数学思想.通过几何性质的代数研究, 养成辩证统一 的世界观.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(一)

1.椭圆的简单几何性质
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焦点的 位置 图形 标准 方程

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1 (a>b>0) a2 b2

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(一)

范围

-a≤x≤a, -b≤y≤b A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b, -a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
(0,± a2-b2) 对称中心: 原点

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顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

短轴长= 2b ,长轴长= 2a (± a2-b2,0) |F1F2|=2 a2-b2 对称轴: x轴、y轴

c e= ∈ (0,1) a

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2.1.2(一)

2.离心率的作用
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当椭圆的离心率越 接近1 ,则椭圆越扁;当椭圆离心率 越 接近0 ,则椭圆越接近于圆.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

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探究点一 椭圆的简单几何性质 x2 y2 问题 1 观察椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的形状,你能从 a b 图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭 圆上哪些点比较特殊? 答案 (1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;
(2)对称性:椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称;

(3)特殊点:顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b).

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问题 2

2.1.2(一)

如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的

几何性质?

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答案 x2 ∴ 2≤1,即-a≤x≤a. a 同理得,-b≤y≤b.

y2 x2 ①范围:由方程变形得 2=1- 2≥0, b a

结论(ⅰ):椭圆位于直线 x=± 和 y=± 所围成的矩形框里. a b ②对称性:
1° 把椭圆标准方程中的 x 换成-x,方程并未发生改变,说明 当点 P(x,y)在椭圆上时,它关于 y 轴的对称点 P1(-x,y) 也在椭圆上,所以椭圆关于 y 轴对称.

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2.1.2(一)

2° 同理把椭圆标准方程中的 y 换成-y, 可以说明椭圆关于 x 轴对称;把椭圆标准方程中的 x 换成-x,y 换成-y,可以 说明椭圆关于原点对称.
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结论(ⅱ):椭圆关于 x 轴、y 轴对称,同时关于原点对称.

x2 y2 ③顶点:在方程 2+ 2=1 里,令 x=0,得 y=± b, a b 令 y=0,得 x=± a.

结论(ⅲ):椭圆与对称轴有四个交点(± a,0),(0,± b).这四个 交点叫做椭圆的顶点.

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问题 3 观察不同的椭圆,椭圆的扁平程度不一样,怎样刻 画椭圆的扁平程度呢? x2 y2 答案 在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,若保持 a 不 a b
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变,改变 c,可以发现 c 越接近于 a,椭圆越扁 平,可以用 a,c 两个量来刻画椭圆的扁平程度. c 结论 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心 a c 率,用 e 表示,即 e= . a

e 越接近于 1,椭圆越扁;e 越接近于 0,椭圆越接近于圆.

动画演示

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2.1.2(一)

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b c 问题 4 (1) 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?为什么? a b c (2)你能运用三角函数的知识解释:为什么 e= 越大,椭 a c 圆越扁?e= 越小,椭圆越圆吗? a a2-c2 b 2 答案 (1)都能.由 = 2 = 1-e (0<e<1)可知,当 e a a b 越趋近于 1 时, 越趋近于 0, 椭圆越扁; e 越趋近于 0 时, 当 a b 越趋近于 1,椭圆越接近于圆.当且仅当 a=b 时,c=0,两 a
焦点重合,图形变为圆,方程为 x2+y2=a2.

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2.1.2(一)

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c c (2)如图, Rt△BF2O 中, 在 cos∠BF2O= , 越 a a c 大,∠BF2O 越小,椭圆越扁; 越小,∠BF2O a 越大,椭圆越圆.

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问题 5

2.1.2(一)

比较下列各组中椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个

更扁?为什么? x2 y2 (1)4x2+9y2=36 与 + =1; 25 20 x2 y2 (2)9x2+4y2=36 与 + =1. 12 16 x2 y2 答案 (1)将椭圆方程 4x2+9y2=36 化为标准方程 + =1, 9 4
则 a2=9,b2=4,所以 a=3,c= a2-b2= 5,故离心率 e 5 x2 y2 = ;椭圆 + =1 中,a2=25,b2=20,则 a=5,c= 3 25 20 5 2 2 a -b = 5,故离心率 e= . 5 由于前一个椭圆的离心率较大,因此前一个椭圆更扁,后一

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个椭圆更圆.

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2.1.2(一)

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y2 x2 (2)将椭圆 9x2+4y2=36 化为标准方程 + =1,则 a2=9, 9 4 5 2 2 2 b =4,所以 a=3,c= a -b = 5,则离心率 e= ; 3
x2 y2 椭圆 + =1 中,a2=16,b2=12,则 a=4,c= a2-b2= 12 16 1 2,故离心率 e= . 2
由于前一个椭圆的离心率较大,因此前一个椭圆更扁,后一 个椭圆更圆.

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2.1.2(一)

例 1 求椭圆 m2x2+4m2y2=1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦 点坐标、顶点坐标和离心率.

解 椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1 (m>0)可转化为
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x2 y2 + =1. 1 1 m2 4m2

1 1 ∵m <4m ,∴ 2> 2,∴椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半轴 m 4m 1 1 3 长 a= ,短半轴长 b= ,半焦距长 c= . m 2m 2m 2 1 ∴椭圆的长轴长 2a= ,短轴长 2b= , m m ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 焦点坐标为?- ,0?,? ,0?, ? 2m ? ?2m ?
2 2

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2.1.2(一)

?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 顶点坐标为? ,0?,?- ,0 ?,?0,- ?,?0, ?. 2m ? ? 2m ? ?m ? ? m ? ? ?

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3 c 2m 3 离心率 e= = = . 2 a 1 m
小结 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准 形式,不确定的要分类讨论,找准 a 与 b,才能正确地写出 焦点坐标、顶点坐标等.

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2.1.2(一)

跟踪训练 1

已知椭圆方程为 4x2+9y2=36,求椭圆的长轴

长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. x2 y2 解 把椭圆的方程化为标准方程 + =1. 9 4
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可知此椭圆的焦点在 x 轴上,且长半轴长 a=3,

短半轴长 b=2;
又得半焦距 c= a2-b2= 9-4= 5.

因此,椭圆的长轴长 2a=6,短轴长 2b=4;两个焦点的坐 标分别是(- 5, ( 5, 四个顶点的坐标分别是(-3,0), 0), 0); c 5 (3,0),(0,-2),(0,2);离心率 e= = . a 3

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探究点二

2.1.2(一)

由椭圆的几何性质求方程 6 例 2 椭圆过点(3,0),离心率 e= ,求椭圆的标准方程. 3 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程,
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又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,(3,0)为右顶点,则 a=3,
c 6 6 6 ∵e= = ,∴c= a= ×3= 6, 3 3 a 3

∴b2=a2-c2=32-( 6)2=9-6=3,
x2 y 2 ∴椭圆的方程为 + =1. 9 3

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2.1.2(一)

②当椭圆的焦点在 y 轴上时,(3,0)为右顶点,则 b=3,

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c 6 6 ∵e= = ,∴c= a, 3 a 3 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴b =a -c =a - a = a , 3 3 y2 x2 ∴a2=3b2=27,∴椭圆的方程为 + =1. 27 9 x 2 y2 y 2 x2 综上可知,椭圆的标准方程是 + =1 或 + =1. 9 3 27 9

小结 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在 的坐标轴,从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐 标轴,则应进行讨论,然后列方程确定 a,b.

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跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

2.1.2(一)

2 (1)长轴在 x 轴上,长轴的长等于 12,离心率等于 ; 3 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且椭圆过点(-2,-4).
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c 2 (1)由已知 2a=12,e= = , a 3

得 a=6,c=4,从而 b2=a2-c2=20,
又长轴在 x 轴上,

x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 36 20 (2)∵2a=2×2b,∴a=2b, x2 y 2 当焦点在 x 轴上时,设方程为 2+ 2=1, 4b b

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2.1.2(一)

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4 16 ∵点(-2,-4)在椭圆上,∴ 2+ 2 =1, 4b b 2 ∴b =17. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1, 68 17 x2 y2 当焦点在 y 轴上时,设方程为 2+ 2=1, b 4b 4 16 ∵点(-2,-4)在椭圆上,∴ 2+ 2=1, b 4b x2 y 2 ∴b2=8,∴椭圆的标准方程为 + =1. 8 32

x2 y2 x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 68 17 8 32

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探究点三 求椭圆的离心率 例 3 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点 F1, F2 在 x 轴上,A,B 是椭圆的顶点,P 是椭圆上 一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,求此椭圆的离
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2.1.2(一)

x2 y2 解 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),

心率.

A(0,b),B(a,0), 直线 PF1 的方程为 x=-c, x2 y2 b2 代入方程 2+ 2=1,得 y=± , a b a
? b2? ∴P?-c, ?. ? a? ? ?

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又 PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB.

2.1.2(一)

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|PF1| |AO| b2 b ∴ = ,∴ = ,∴b=2c. |F1F2| |OB| 2ac a c2 1 ∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2,∴ 2= . a 5 5 1 5 2 ∴e = ,即 e= , ∴椭圆的离心率为 5 . 5 5 小结 求椭圆离心率的方法: c (1)直接求出 a 和 c,再求 e= ,也可利用 e= a

b2 1- 2求解. a

(2)若 a 和 c 不能直接求出,则看是否可利用条件得到 a 和 c c 的齐次等式关系,然后整理成 的形式,并将其视为整体, a 就变成了关于离心率 e 的方程,进而求解.

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x2 y 2 跟踪训练 3 如图,A、B、C 分别为椭圆 2+ 2= a b 1 (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90° ,则该 椭圆的离心率为 -1+ 5 A. B. 5-1 2 2+1 C. D. 2+1 2 解析 ∵∠ABC=90° ,∴|BC|2+|AB|2=|AC|2,
∴c2+b2+a2+b2=(a+c)2,又 b2=a2-c2,

2.1.2(一)

( A )

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5-1 ∴e +e-1=0,又∵0<e<1,∴e= . 2
2

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1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( B )
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A.5、3、0.8 C.5、3、0.6

B.10、6、0.8

D.10、6、0.6 x2 y2 解析 把椭圆的方程写成标准方程为 + =1, 9 25 知 a=5,b=3,c=4. c ∴2a=10,2b=6, =0.8. a

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2.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 1 12,离心率为 ,则椭圆的方程是 ( D ) 3 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 144 128 36 20 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 32 36 36 32 c 1 解析 由 2a=12, = ,解得 a=6,c=2, a 3 ∴b2=62-22=32. x 2 y2 ∵焦点在 x 轴上,∴椭圆的方程为 + =1. 36 32

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3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是 4 3 A. B. 5 5
解析

( B ) 2 C. 5 1 D. 5

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由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b,

又 b2=a2-c2,消去 b 整理得 5c2=3a2-2ac, 3 2 即 5e +2e-3=0,∴e= 或 e=-1(舍去). 5

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x2 y2 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, P 点 4 3

→→ 6 为椭圆上的任意一点,则OP· 的最大值为________. FP
解析 由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),
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→→ 则OP· =(x0,y0)· 0+1,y0)=x2+x0+y2. FP (x 0 0 x2 y2 0 0 ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. 4 23 → · =x2+x +3(1-x0) ∴OP → 0 0 FP 4 x2 1 0 = 4 +x0+3=4(x0+2)2+2.
∵-2≤x0≤2,

→→ ∴OP· 的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. FP

2.1.2(一)

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式要先化成标
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准形式,再确定焦点的位置,找准 a、b. 2.利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法. 3.求离心率 e 时,注意方程思想的运用.


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