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江苏省丹阳市吕叔湘中学2015-2016学年高一上学期期中检测数学试卷


吕叔湘中学高一数学期中检测
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答 过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知集合 M ? ?0, x? , N ? ?1,2? , 若 M ? N ? {1}, 则M ? N ? {0,1,2} 2. 函数 y ? x ? 2 ? lg(4 ? x) 的定义域为 3.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,16),则函数 f(x)的解析式是 4.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 f ? x ? ? a1? x ? 4 的图象恒过点 . [? 2 , 4 )

y ? x4
. . a?2

(1,5)


5.已知 a ? log3 2 ,那么将 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示的结果是 6.已知函数 f ? x ? ?
5

4 ? ax ( a ? 0 且 a ? 1) ,则其值域为___________. [0, 2)
3

7. 已知 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? 6, f ? ?2? ? 10 ,则 f ? 2? ? 8.设 a=log0.60.9,b=ln0.9,c=20.9,则 a、b、c 由小到大的顺序是
2

.-22 。

9. f ( x) 表示 ? 2 x ? 2 与 ? 2 x ? 4 x ? 2 中的 较小者, 则函数 f ( x) 的最大值为________2 10.对于函数 f ?x ? 定义域中任意的 x1 , x2 ,给出如下结论: ① f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; ② f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ?? f ?x2 ? ;

③当 x1 ? x2 时, ?x1 ? x2 ?? f ?x1 ? ? f ?x2 ?? ? 0 ; ④当 x1 ? x2 时, f ?

? x1 ? x2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? , ?? 2 ? 2 ?

那么当 f ?x ? ? lg x 时,上述结论中正确结论的序号是__________. 11. 若 x0 是函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的零点,且 x0 ? (a , a ? 1) , a ? Z ,则 a ? ? 1 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 的 定 义 域 是 一 切 实 数 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ___________.0≤m≤4 13.已知 f ? x ? ? ? 范围是

? ?? 2 ? a ? x ? 1, ? x ? 1? ( a >0 , a ? 1 )是 R 上的增函数,那么 a 的取值 x a , x ≥ 1 ? ? ? ?
.[

3 , 2) 2

14.设函数 f ( x) 的定义域为 A,若存在非零实数 t,使得对于任意 x ? C (C ? A) , 有x?t?A ,

? ?) 的 函 数 且 f ( x ? t ) ≤ f ( x) , 则 称 f ( x) 为 C 上 的 t 低 调 函 数 . 如 果 定 义 域 为 [0 , ? ?) 上的 10 低调函数,那么实数 m 的取值范围是 f ( x) ? ?| x ? m 2 | ? m 2 ,且 f ( x) 为 [0 ,

[? 5, 5 ]



二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.计算: (1) 0.027 (2) 3
log3 2

?

1 3

1 7 ? (? ) ?2 ? 3?1 ? (? ) 0 ; 7 8

1 ? lg16 ? 3 lg 5 ? lg . 5 10 1 ? 49 ? ? 1 ? ?45 解: (1)原式= 3 3
(2)原式= 2 ? 4 lg 2 ? 3 lg 5 ? lg 5 ? 2 ? 4 lg 2 ? 4 lg 5 ? 2 ? 4 ? 6

16. 设 全 集 U ? R , 函 数 f

? x? ?

x? a? l g?

的定义域为集合 A ,集合 a?3 ? ?x

? 1 ? B ? ? x | ? 2 x ? 32? 。 ? 4 ?
(1)若 a ? ?3 ,求 A ? B ; (2)若 A ? C UB,求实数 a 的取值范围。 16、解:要使函数 f ? x ? 有意义,则需 ? 当 a ? ?3 时, A ? ? ?3,0? 由

?x ? a ? 0 ,则 a ? x ? a ? 3 ?a ? 3 ? x ? 0

…………3 分 …………5 分 …………7 分

1 ? 2 x ? 32 得 ?2 ? x ? 5 ,故 B ? ? ?2,5? 4

故 A ? B ? ??2,0? (2)由(1)得 A ? ?a, a ? 3? , 由 B ? ? ?2,5? 得 ? U B ? ? ??, ?2? ? ? 5, ?? ?

…………10 分

因为 A ? ? U B ,所以 a ? 3 ? ?2 或 a ? 5 , 即 a ? ?5 或 a ? 5

…………12 分 …………14 分

17.已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 . 2x ? 1

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)用函数单调性定义证明 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上是增函数,并求出 f ( x ) 的值域. (1)奇函数 (2)值域为 (?1,1) 证明略

18. (满分 16 分) 某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这 样的产品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数 1 2? 量为 t 件时,销售所得的收入为? ?0.05t-20 000t ?万元. (1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x 的函数为 f(x),求 f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大? x 1 x2 19 1 0.25× +0.5?=- 18.1)当 0<x≤500 时,f(x)=0.05x- x2-? + x- ,--4 分 100 ? ? 20 000 20 000 400 2 x 1 1 ? 当 x>500 时,f(x)=0.05×500- ×5002-? ?0.25×100+0.5?=12-400x,---6 分 20 000

?-20 000x +400x-2,0<x≤500, 故 f(x)=? 1 ?12-400x,x>500.
2

1

19

1

-----------8 分

(2)当 0<x≤500 时,f(x)=- 故当 x=475 时,f(x)max=

x2 19 1 1 345 + x- =- (x-475)2+ , 20 000 400 2 20 000 32

345 . 32

当 x>500 时,f(x)=12-

1 5 344 345 x<12- = < ,-----------------14 分 400 4 32 32

故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大. --------16 分

19.已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1, f (0) ? f (2) ? 3 , g ( x) ? f ( x) ? ax (a ? R) . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 g ( x) 在 ?? 1,1? 上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)若在区间 [?1,1] 上, g ( x) 图象上每个点都在直线 y ? 2 x ? 6 的下方,求实数 a 的取值范 围. 解: (1) f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3
2

(2) g ( x) ? 2 x2 ? (a ? 4) x ? 3 ,对称轴
2

4?a 4?a ? ?1 或 ? 1 ,可得 a ? 0 或 a ? 8 ; 4 4

(3) g ( x) ? 2 x ? 6 ? h( x) ? 2 x ? (a ? 6) x ? 3 ? 0 ? ?

?h(?1) ? 0 解得 5 ? a ? 7 . ?h(1) ? 0

20. 20. (本小题满分 16 分) 已知 f (log2 x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ? a , a ? R . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ? (a ?1) ? 4 (3)设 h( x) ? 2
?x x

f ( x) , a ?

1 a ?1 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 成立, 2 2

求 a 的取值范围.

20 解: (1)令 log2 x ? t 即 x ? 2t ,则 f (t ) ? a ? (2t )2 ? 2 ? 2t ? 1 ? a 即 f ( x) ? a ? 22 x ? 2 ? 2x ? 1 ? a, x ? R (2)

(3)对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 当 x ?[?1,1] 时, hmax ? hmin ?

a ?1 成立,等价于 2

a ?1 2

1? a ?2 2x 1? a 1 ? 2, t ? [ , 2] 令 2x ? t , 则 y ? at ? t 2 1? a 1 ? 2, t ? [ ,2] 令 g (t ) ? at ? t 2 1? a 1 ? 2, t ? [ ,2] 单调递增, ①当 a ? 1 时, g (t ) ? at ? t 2 3(a ? 1) 1 3a g (t ) min ? g ( ) ? ? 此时 g (t ) max ? g (2) ? , 2 2 2 6a ? 3 a ? 1 4 g (t ) max - g (t ) min ? ? 即 a ? (舍) 2 2 5 1? a 1 4 ? 2, t ? [ ,2] 单调递增 ②当 ? a ? 1 时, g (t ) ? at ? t 2 5 3(a ? 1) 1 3a g (t ) min ? g ( ) ? ? 此时 g (t ) max ? g (2) ? , 2 2 2 6a ? 3 a ? 1 4 4 g (t ) max - g (t ) min ? ? 即a ? ?a ? 2 2 5 5 1 4 1? a 1 ? 2, t ? [ ,2] ③当 ? a ? 时, g (t ) ? at ? 2 5 t 2 h( x ) ? a ? 2 x ?
在[ ,

[来源:Z,xx,k.Com]

1 2

1 1 ? 1] 上单调递减,在 [ ? 1, 2] 上单调递增 a a
1 2 3(a ? 1) 2

且 g ( 2) ? g ( ) ? g (t ) max ? g (2) ?

g (t ) min ? g (

1 ? 1) ? 2 a(1 ? a) ? 2 a
3(a ? 1) a ?1 4 ? (2 a(1 ? a) ? 2) ? 即a ? 2 2 5

? g (t ) max ? g (t ) min ? ?

1 4 1 4 ? a ? ,综上: ? ? a ? 2 5 2 5


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