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2014届高三数学一轮复习课件(新人教B版):平面向量概念与线性运算


? ●课程标准 ? 1.平面向量的实际背景及基本概念 ? 通过力和力的分析等实例,了解向量的实 际背景,理解平面向量和向量相等的含义, 理解向量的几何表示. ? 2.向量的线性运算 ? ①通过实例,掌握向量加、减法的运算, 并理解其几何意义. ? ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理 解其几何意义,以及两个向量共线的含 义.

? 3.平面向量的基本定理及坐标表示 ? ①了解平面向量的基本定理及其意义. ? ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示. ? ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘 运算. ? ④理解用坐标表示的平面向量共线的条 件.

? 4.平面向量的数量积 ? ①通过物理中“功”等实例,理解平面向 量数量积的含义及其物理意义. ? ②体会平面向量的数量积与向量投影的关 系. ? ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面 向量数量积的运算. ? ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会 用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

? 5.向量的应用 ? 经历用向量方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题的过 程,体会向量是一种处理几何问题、物理 问题等的工具,发展运算能力和解决实际 问题的能力.

? ●命题趋势 ? 由于向量具有几何形式与代数形式的“双 重身份”,使它成为中学数学知识的一个 交汇点. ? 在高考试题中,其一主要考查平面向量的 性质和运算法则,以及基本运算技能,考 查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内 积的运算法则,理解其几何意义,并能正 确的进行计算;其二是考查向量的坐标表 示,向量的线性运算;其三是和其它数学 知识结合在一起,如和曲线、数列等知识 结合.

? 向量的平行与垂直,向量的夹角及距离, 向量的物理、几何意义,平面向量基本定 理,向量数量积的运算、化简与解析几何、 三角、不等式、数列等知识的结合,始终 是命题的重点.

? ●备考指南 ? 1.在复习中要把知识点、训练目标有机 结合.重点掌握相关概念、性质、运算公 式、法则等. ? 2.明确平面向量具有几何形式和代数形 式的双重身份,能够把向量的非坐标公式 和坐标公式进行有机结合,注意“数”与 “形”的相互转换. ? 3.在复习中要注意分层复习,既要复习 基本概念、基本运算,又要能把向量知识 和其它知识(如曲线、数列、函数、三角

? 重点难点 ? 重点:向量及其表示方法;向量的线性运 算;平行向量基本定理. ? 难点:两个向量共线的充要条件.

? 知识归纳 ? 1.向量的有关概念 大小 方向 ? (1)向量:既有 又有 的量叫 做向量,向量的大小叫做向量的长度(或 模). ? (2)零向量:长度为0的向量叫做零向量, 其方向是任意的. ? (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向 量.

? (4)平行向量:通过有向线段的直线,叫 互相平行或重合 做的基线,如果向量的基线 ,则称这些向量共线或平行.故共线 向量的方向相同或相反.规定:0与任一 向量平行. 相同 相等 ? (5)相等向量:长度 且方向 的向 相反 相等 量. ? (6) 相反向量:长度 且方向 → =a的向 给定点 O和向量a,过点O作有向线段 OA ,则点A 量. → 叫做点A相对于点O的 相对于O的位置被a唯一确定, OA ? (7)用向量表示点的位置 位置向量. ?

2.向量的加法和减法 (1)加法 ①法则 三角形法则:已知向量a、b,在平面上任取一点A,作 → =a,BC → =b,则AC → =a+b叫做a与b的和. AB 平行四边形法则:已知向量a、b,在平面上任取一点 → =a, AD → =b,以AB,AD为邻边作平行四边形 A,作 AB → =a+b为向量a与b的和. ABCD,则AC 多个向量和的多边形法则.

②运算性质: a+b=b+a(交换律); (a+b)+c=a+(b+c)(结合律); a+0=0+a=a. ③加法的几何意义:从法则可以看出,如下图所示 (2)减法 ①三角形法则:已知向量a,b,在平面上任取一点O, → =a,OB → =b,则BA → =a-b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.

②运算性质: a+b=b+a(交换律); (a+b)+c=a+(b+c)(结合律); a+0=0+a=a. ③加法的几何意义:从法则可以看出,如下图所示 (2)减法 ①三角形法则:已知向量a,b,在平面上任取一点O, → =a,OB → =b,则BA → =a-b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.

3.实数与向量的积 (1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa. ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方 向相反;当λ=0时,λa=0. (2)运算律:设λ,μ∈R,则: ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb.

4.平行向量基本定理:如果a=λb,则a∥b;反之, 如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ使a=λb. 与a同向且长度为1的向量,叫做a的单位向量,记作 a a0,a0=|a|.

? 误区警示 ? (1)数量与向量不同,数量只有大小,向 量既有大小又有方向,数量可以比较大小, 而向量不能比较大小,只有它的模才可以 比较大小. ? (2)平行向量与相等向量有区别,向量平 行是向量相等的必要条件.相反向量大小 相等,方向相反. ? (3)0≠0,区别在于一个是向量,一个是标 量.

? (4)向量有起点、终点、方向;而线段都 没有,只有端点. ? (5)两个向量平行的充要条件: ? 若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.若a 与b是两个非零向量,则它们共线的充要 条件是存在两个均不是零的实数λ、μ, 使λa+μb=0. ? 应特别注意非零条件的限制,要注意向量 平行与直线平行的区别,向量平行包括基 线重合的情形.

? (6)向量加法的三角形法则与多边形法则, 要点是“首尾相接、首指向尾”. ? 向量减法的三角形法则,必须满足起点相 同这个条件,其规则是“同始连终,指向 被减”.

? 一、“数形结合”思想 ? 数形结合是求解向量问题的基本方法.向 量加法、减法的几何意义,充分体现了数 形结合思想. ? [例] 证明对角线互相平分的四边形是平 行四边形. ? 已知:AC、BD是四边形ABCD的两条对 角线,且AC与BD互相平分. ? 求证:四边形ABCD是平行四边形.

证明:如图所示,设AC∩BD=O. 由已知得,A、O、C三点共线,B、O、D三点共线, 且AO=OC,DO=OB. → =OC → ,DO → =OB →, ∴AO → =AO → +OB → =OC → +DO → =DC →, ∴AB → ∥CD → ,且AB=CD, ∴AB 又在四边形ABCD中,AB与CD不共线, ∴AB綊CD,∴四边形ABCD是平行四边形.

[例1]

给出下列六个命题:

①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则a=b; → =DC → ,则四点A、B、C、D构成平行四边形; ③若AB → =DC →; ④在?ABCD中,一定有AB ⑤若m=n,n=p,则m=p; ⑥若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中不正确的个数是( A.2 B.3 ) C .4 D.5

解析:两向量起点相同,终点相同,则两向量相等; 但两相等向量,不一定有相同的起点和终点,故①不正 确.|a|=|b|,由于a与b方向不确定,所以a,b不一定相等, → = DC → ,可能有ABCD在一条直线上的情况, 故②不正确. AB 所以③不正确.零向量与任一向量平行,故a∥b,b∥c 时,若b=0,则a与c不一定平行,故⑥不正确.正确的是 ④⑤.

? 答案:C

? 点评:解答向量的基本概念问题时,要特 别注意向量概念中的一些特殊情形和向量 的特征:如“向量相等,不仅要大小相等, 还要方向相同”;零向量与任一向量平行; 向量平行与直线平行的区别,等等。

[例2]

1 → 平行四边形OADB的对角线交点为C, BM = 3

1→ → → → → =b,用a、b表示 OM → 、 ON →、 BC , CN = 3 CD , OA =a, OB →. MN

? 分析:求向量的线性表示式.一是直接运 用三角形法则与平行四边形法则来求,二 是应用平行向量基本定理,用待定系数法 1→ 1 1 求系数. → → 解析:BA=a-b,BM= BA= a- b,
6 6 6 1 5 → → → → =a+b, OM=OB+BM=6a+6b,OD 1→ 1→ → → → ON=OC+CN=2OD+6OD 2→ 2 2 = OD= a+ b, 3 3 3 1 1 → → → MN=ON-OM=2a-6b.

如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD,E为BC的中 → =a,AE → =b,则AD → =________. 点,AB

1→ 1 → → → 解析:CE=EB=a-b,DC= AB= a 2 2 1 3 → → → ∴DE=DC+CE=2a+(a-b)=2a-b 3 → → → ∴AD=AE-DE=b-(2a-b) 3 =- a+2b 2

3 答案:- a+2b 2

? [例3] 已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+ 3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1- 9e2.问是否存在这样的非零实数λ、μ,使 向量d=λa+μb与c共线? ? 分析:d可用e1与e2表示,∵e1与e2不共 线,∴若d与c共线,则其对应系数应成 比例或存在实数k,使d=kc.

解析:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(- 3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则应存在实数k,使d=kc,即 (2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.
? ?2λ+2μ=2k ∴? ? ?-3λ+3μ=-9k

,∴λ=-2μ.

故存在这样的非零实数λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d 与c共线.

? 点评:一般地,若a与b不共线,c=λa+ μb,d=xa+yb,若c与d共线,则λy- μx=0.

1 若a、b是两个不共线的向量(t∈R),a、tb、 3 (a+b)三 向量的起点相同,则t为何值时,三向量的终点共线?

1 → → → 解析:设OA=a,OB=tb,OC=3(a+b), 2 1 → → → → =OB → -OA → =tb-a. 则AC=OC-OA=- a+ b,AB 3 3 → =λAB →, 要使A、B、C三点共线,则AC 2 1 即-3a+3b=λtb-λa. ? 2 ?-3=-λ ∴? ?1=λt ?3 ? 2 ?λ=3 ,∴? ?t=1 ? 2



1 ∴当t=2时,三向量终点在同一直线上.

[例4]

如图,E是平行四边形ABCD边AD上一点,且

1→ → → =a, BC → =b,若 BF → AE = AD ,F为BE与AC的交点.设 AB 4 → ,AF → =hAC → ,则k=________,h=________. =kBE

→ = AB → + BC → =a+b,∴ AF → =h AC → =ha+hb, 解析: AC → =BA → +AF → =-a+ha+hb=(h-1)a+hb, BF 1 → → → → 又BF=kBE=k(BA+AE)=k(-a+ b) 4 k k =-ka+4b,∴(h-1)a+hb=-ka+4b, h-1=-k ? ? ∴? k h=4 ? ? 4 ? ?k=5 ,解得? ?h=1 5 ?

.

4 答案: 5

1 5

? 已知P是△ABC所在平面内的一点,若= λ+,其中λ∈R,则点P一定在( ) ? A.△ABC的内部 B.AC边所在直 线上 ? C.AB边所在直线上 D.BC边所在直 线上 ? 分析:点P若在△ABC的边上,则由三点 共线得向量共线,因而只须将条件式转化 为只含三角形的两个顶点和点P的表达式

→ =λ PA → + PB → 得CB → - PB → =λ PA → ,∴ CP → =λPA →. 解析:由CB → 与 PA → 为共线向量,又 CP → 与 PA → 有一个公共点P,∴C、 则 CP P、A三点共线,即点P在直线AC上.故选B.

? 答案:B

一、选择题 → + BA → 1.(09· 山东)设P是△ABC所在平面内的一点, BC → ,则( =2BP ) → +PC → =0 B.PB → +PB → +PC → =0 D.PA

→ +PB → =0 A.PA → +PA → =0 C.PC

? [答案] C

[解析]

解法一:由向量加法的平行四边形法则易知,

→ 与 BC → 的和向量过AC边中点,长度是AC边中线长的二 BA → + PC → =0,故选 倍,结合已知条件可知P为AC边中点,故PA C. → +BA → =2BP → ,∴PB → +BC → +PB → +BA → = 0, 解法二:∵BC → +PA → =0.故选C. 即PC

2.(文)(2010· 新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点 → =a, OB → =b, OC → =c, OD → =d,且a+c=b+d, O,若 OA 则四边形ABCD为( A.菱形 C.矩形 ) B.梯形 D.平行四边形

? [答案] D

[解析]

→ + OD → =b+d 解法一:设AC的中点为G,则 OB

→ + OC → =2 OG → ,∴G为BD的中点,∴四边形 =a+c= OA ABCD的两对角线互相平分,∴四边形ABCD为平行四边 形. → =OB → -OA → =b-a, 解法二:AB → =OD → -OC → =d-c=-(b-a)=-AB →, CD ∴AB綊CD,∴四边形ABCD为平行四边形.

? (理)(2010·湖南长沙)已知O是平面上一定 点,A、B、C是平面上不共线的三点, 动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则 点P的轨迹一定通过△ABC的( ) ? A.外心 B.垂心 ? C.内心 D.重心 → + AC → = AD → ,则可知四边形BACD是平行 [ 解析 ] 设 AB ? [答案] D
→ =λAD → 表明A、P、D三点共线. 四边形,而AP 又D在边BC的中线所在直线上,于是点P的轨迹一定通 过△ABC的重心.

3.(2010· 全国Ⅱ)△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ → =a,CA → =b,|a|=1,|b|=2,则CD → =( ACB,若CB 1 2 A.3a+3b 3 4 C.5a+5b 2 1 B.3a+3b 4 3 D.5a+5b )

? [答案] B
[解析]

→| 2 |AD → =2 DB → ,∴ 由角平分线定理得 = 1 ,∴ AD →| DB

→ +CD → =2(DC → +CB → ), AC 2 1 → → → → ∴3CD=2CB+CA,∴CD=3a+ b. 3


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