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重庆八中高2013级第三次月考数学(文科)试卷


重庆八中高 2013 级高三第三次月考 数学(文科)试题
第I卷
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) f ? 2? x2 ? 1 1.设 f ? x ? ? 2 ,则 等于( ). x ?1 ?1? f? ? ?2? A. 1 A. ??1,0,1? B. ?1

选择题

2.设集合 M ? m ? z ?3 ? m ? 2 B. ?0,1?

?

?

3 3 D. ? 5 5 N ? ?n ? z ?1 ? n ? 3? 则 M ? N ? ( ).
C. C. ?0,1, 2?

D. ??1,0,1,2?

3.等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? A.

5 ,则公比 q ? ( ). 4
C. 2 D. 8

4.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则 ? 是( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ? ? ? ? 5.已知向量 a ? ?1,2? , b ? ? ?2, m? ,若 a 与 b 共线,则实数 m ? ( ). B. ?1 C. 4 D. ?4 x2 y2 ? ? 1 ,长轴在 y 轴上,若焦距为 4 ,则 m ? ( ). 6.已知椭圆 10 ? m m ? 2 A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 2 2 2 2 x y x y 7.已知 a ? b ? 0 ,e1 与 e2 分别为圆锥曲线 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 的离心率, lg e1 ? lg e2 则 a b a b 的值( ). A.一定是正值 B.一定是零 C.一定是负值 D.符号不确定 ? ? ? ? ? ? 8.已知 a, b 为单位向量,且 a ? b ? 3 ,则 a 与 b 的夹角为( ). A. 1

1 4

B.

1 2

2? 3 3 4 6 9.设 f ? x ? 是定义在 R 上的以 2 为周期的奇函数,已知 x? ? 0,1? 时, f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,则
A. B. C. D. A.是减函数,且 f ? x ? ? 0 C.是减函数,且 f ? x ? ? 0 10.若不等式 ? ?1? a ? 2 ?
n n ?1

?

?

?

f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上( ).

2

B.是增函数,且 f ? x ? ? 0

D.是增函数,且 f ? x ? ? 0

3? ? A. ? ?2, ? 2? ?

(?1) 对于任意正整数 n 都成立,则实数 a 的取值范围是( ). n 3? 3? 3? ? ? ? B. ? ?2, ? C. ? ?3, ? D. ? ?3, ? 2? 2? 2? ? ? ?

第 II 卷

非选择题

二.填空题(本小题共 5 个小题,每个小题 5 分,共 25 分) 11.函数 f ? x ? ?

x ? 2 ?1 log 2 ? x ? 1?

的定义域为_____________________.

?x ? 1 ? 12.已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? 1 ,点 O 为坐标原点,那么 OP 的最大值等 ?x ? y ?1 ? 0 ?
于___________________,最小值等于___________________. ?? 13.在 ?ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 对应的边,设向量 m ? ?b ? c, c ? a ? , ?? ? ? n ? ?b, c ? a ? ,若向量 m ? n ,则 ?A 的大小为_______________. 14.已知函数 f ? x ? ? 2x 的反函数为 f ?1 ? x ? ,若 f ?1 ? a ? ? f ?1 ?b ? ? 4 ,则 ________. 15.已知下列命题: ①直线 y ? kx ? 1 与椭圆 ②椭圆

1 1 ? 的最小值为 a b

x2 y2 ? ? 1 总有两个交点; 2 4

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 e , 则椭圆上到左焦点距离为 m 的点 p 到右准线的 a 2 b2 距离为 e ? 2a ? m? .

k? ? ? , k ? z ? 的焦点坐标为 ? 0, ?1? ; ③椭圆 x2 sin 2 ? ? y 2 tan 2 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 2 2 x y 3 ④椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的四个顶点构成一个角为 60? 的菱形,则椭圆离心率为 , a b 2 正确的命题序号为_____________.
三.解答题(前三大题各 13 分,后三大题各 12 分)

16.已知集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x ? x ? m ?? x ? m ? 3? ? 0, m ? R . ⑴则若 A ? B ? ? 2, 4? ,求实数 m 的值; ⑵设全集为 R ,若 A ? ?R B ,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

17.已知关于 x 的不等式:

? a ? 1? x ? 3 ? 1
x ?1

.

⑴当 a ? 1 时,解该不等式; ⑵当 a ? 0 时,解该不等式.

18.已知向量 OP ? ? 2cos x ? 1,cos 2x ? sin x ? 1? , OQ ? ? cos x, ?1? ,定义 f ? x ? ? OP? . OQ ⑴求函数 f ? x ? 的最小正周期; ⑵若 x ? ? 0, 2? ? ,当 OP? ? ?1 时,求 x 的取值范围. OQ

??? ?

????

??? ???? ?

??? ???? ?

19.已知圆 C 过点 P ?1,1? , 且与圆 M : ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? r 2 ? r ? 0? 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对
2 2

称. ⑴求圆 C 的方程; ⑵过点 P 作两条不同直线分别与圆 C 相交于 A、B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断与直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

1? ? 2 20.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项的和 Sn 满足 S n ? an ? S n ? ? 2? ?
⑴证明:数列 ? ⑵设 bn ?

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

Sn 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . 2n ? 1 2

21.已知双曲线 C 的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,离心率为 2 ,一条准线方程为

2x ?1 ? 0 . ⑴求双曲线 C 的方程; ⑵设直线 l 过点 A ? 0,1? 且斜率为 k ? k ? 0? ,问:在双曲线的右支上是否存在唯一一点 B ,使

它到直线 l 的距离等于 1 ,若存在,求出符合条件的所有 k 值及相应的 B 的坐标,若不存在, 请说明理由.

重庆八中高 2010 级高三第三次月考数学(文科)ks5u 参考答案:
一、选择题 1.B 2.A 3.B

4.C

5.D

6.C ∴a?2?

7.C

8.A ② n 为奇 a ? 2 ?

9.B 提示:① n 为偶 a ? 2 ? 10.A 二、填空题 11. ?3, ? ?? 三、解答题

1 n

1 3 ? 2 2

1 ? a ? 2 ∴ a ? ?2 n

12. 2 最小值等于

2 2

? ?? 13. 60? ? 或 ? ? 3?

14.

1 2

15.正确命题序号为①

16.解 A ? x ?2 ? x ? 4 ⑴∵ A ? B ? ?2, 4?

?

?

B ? ?x m ? 3 ? x ? m?

?m ? 3 ? 2 ∴? ?m?5 ?m ? 4 ⑵ ?R B ? x x ? m ? 3或x ? m ∵ A ? B ∴ 4 ? m ? 3或 ? 2 ? m

?

?

∴ m ? 7或m ? ?2

17.解:⑴ a ? 1 时,

2x ? 3 x?2 ?1? ? 0 ? x ? ?1, 2? x ?1 x ?1 ? a ? 1? x ? 3 ? 1 ? ax ? 2 ? 0 ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 ⑵ a ? 0 时, ? ?? ? x ?1 x ?1 2 综上①当 ? 1 即 a ? 2 时,解集为 ? a ? 2? 2 ②当 ? 1 即 0 ? a ? 2 时,解集为: ? x 1 ? x ? ? a? a ?
③当

2 x1 ? , x2 ? 1 a

? 2 ? 2 ? 1 即 a ? 2 时,解集为: ? x ? x ? 1? a ? a ? ??? ??? ? ? 18.解⑴ f ? x ? ? OP? ? ? 2cos x ?1?? x ? ?cos2 x ?sin x ?1 ?? ?1 ? OQ cos ?
? 2cos2 x ? cos x ? cos 2 x ? sin x ? 1 ? 1 ? cos 2 x ? cos x ? cos 2 x ? sin x ? 1 ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? 4? ? ∴ T ? 2?

?? ?? 2 ? ? ⑵ 2 sin ? x ? ? ? ?1 ? sin ? x ? ? ? ? 4? 4? 2 ? ?

令t ? x ?

?

4 ? 5? 7? ? , ∴ t ?? ? ? 4 4 ?

∵ x ? ? 0, 2? ?

2 ? ? 9? ? ∴ t ?? , ∴ sin t ? ? ? 2 ?4 4 ? ? ? 5? 7? ? ? 3 ? , 即 x ? ?? ? ∴ x ??? , ? ? 4 ? 4 2 ? ? 2 ?

?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ?a ? 0 ? 19.解⑴:设圆心 C ? a, b ? , ? ∴? 又 P ?1,1? 在圆上 ?b ? 0 ?b ? 2 ?1 ?a ? 2 ? 所以圆 C 的议程为 x 2 ? y 2 ? 2 ⑵由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 ? ? y ? 1 ? k ? x ? 1? PA: y ? 1 ? k ? x ? 1? , PB : y ? 1 ? ?k ? x ? 1? 由? 2 2 ?x ? y ? 2 ?
得 1 ? k 2 x 2 ? 2k ?1 ? k ? x ? ?1 ? k ? ? 2 ? 0 ,因为 P 的横坐标 x ? 1 一定是方程的解,
2

?

?

故可得 x A ? 所以 k AB ?

yB ? y A k ? xB ? 1? ? k ? xA ? 1? 2k ? k ? xB ? xA ? ? ? ? 1 ? kOP xB ? xA xB ? xA xB ? xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行。 1? S n?1 ? 2 20.解:⑴将 an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2? 代入 S n ? an ? S n ? ? ,得 S n ? 2? 2 S n?1 ? 1 ?
∴ ∴

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 , 同理 xB ? 1? k2 1 ? k2

1 1 ? ?2 Sn Sn?1

? n ? 2?

∴?

?1? ? 是公差为 2,首项为 1 的等差数列. ? Sn ?
∴当 n ? 1 时也成立

1 1 1 ? t ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ∴ Sn ? ? n ? 2? S n S1 2n ? 1

⑵ bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1 ? ∴ Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 x2 y 2 21.解依题意,可设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? a b

? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ∴双曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 ?c ? 2 ? a ? b ?1 ? ?a c? 2 ? a2 1 ? ? ⑵依题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 B ? x0, y0 ? 2 ?c

?1 k 2 ?1 ① 若 0 ? k ?1 , 到直线 l 与曲线右支相交, 故双曲线 C 的右支上有两个点到直线 l 的距离等 于 1,与题意矛盾. ② 若 k ? 1 ,到 l 在双曲线 C 的右支的上方,故 y0 ? kx0 ? 1 从而有

??

kx0 ? y0 ?

kx0 ? y0 ? 1 k ?1
2

?

kx0 ? y0 ? 1 k ?1
2

?1



y0 ? kx0 ? 1 ? k 2 ? 1

2 2 又 ∴ x0 ? y0 ? 1 ∴

2 x0 ? kx0 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 1

?

整理得 k 2

?

? ? 1? x ? 2k ?1 ?
2
2 0

k 2 ? 1 x0 ? k 2 ? 2 k 2 ? 1 ? 3 ? 0 (*)
4?2 2 2

?

① 若 k ? 1 ,则(*)得: x0 ?

?

2 ?1

?

? 2 , y0 ? 1 即 B

?

2,1

?
? 5? 舍去 ?? ? 2 ? ? ? ?

② 若 k ? 1 ,则(*)必有两个相等的实数根,故有

? ? 4k 2 1 ? k 2 ? 1 ? 4 k 2 ? 1 k 2 ? 2 k 2 ? 1 ? 3 ? 0 解得: k ?
k

?

?

?

??

?

5 2

此时有 x0 ?

5 y0 ? 2 即 B 5, 2 k ?1 待上所述:存在点 B ,符合条件的 k 的值有两个:
2

?

k 2 ?1 ?1

??

?

?

当 k ? 1 时,B 点坐标为 当k ?

?

2,1

?

5 时, B 点坐标为 2

?

5, 2

?


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