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2013高考导航 数学 第八章第1课时_图文


第八章

平面解析几何

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平面解析几何

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平面解析几何

第1课时

直线及其方程

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第八章

平面解析几何

教材回扣夯实双基
基础梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 相交 ①一个前提:直线l与x轴_________; x轴 一个基准:取_______作为基准; 两个方向:x轴正方向与直线l向上方向.

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平面解析几何

②当直线l与x轴平行或重合时,规定:它的

0° 倾斜角为_______. (2)直线的斜率
①定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜 tanθ 率k=________; ②计算公式:若由A(x1 ,y1),B(x2 ,y2)确定 y -y 的直线不垂直于x轴,则k= 2 1 (x1≠x2) x2-x1 ____________.

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平面解析几何

思考探究

所有的直线都存在斜率吗?都有倾斜角吗?
提示:直线一定有倾斜角,但不一定有斜率.

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平面解析几何

2.直线方程的几种形式

名称
点斜 式

条件
斜率k与点 (x1,y1)

方程

适用范围

y-y1=k(x _________ 不含直线x=x1 -x1) ______
不含垂直于x 轴的直线

斜率k与直线 斜截 y=kx+b 在y轴上的截 ________ 式 距b

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平面解析几何

名称
两点 式

条件
两点(x1,y1), (x2,y2) 直线在x轴、y 轴上的截距分 别为a与b

方程
y-y1 y2-y1 x-x1 = x2-x1

适用范围
不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y =y1(y1≠y2)

截距 式

x y 不含垂直于坐标 + =1 a b _______ 轴和过原点的直
线

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平面解析几何

名称 条件

方程

适用范围 平面直角坐标

一般 式

Ax+By+C=0 _______________ (A2+B2≠0) ___________ 系内的直线都 适用

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平面解析几何

课前热身
1.已知两点 A(-3, 3),B( 3,-1),则直 线 AB 的斜率是( A. 3 3 C. 3
答案:D

) B.- 3 3 D.- 3

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平面解析几何

2.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

解析:选 B.由直线方程得 y= 3x+a,所以斜 率 k= 3, 设倾斜角为 α, 所以 tanα= 3,又 0° ≤α<180° , 所以 α=60° .

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平面解析几何

π 3.过点 A(2,3),倾斜角为 的直线的点斜式方 3 程为________.

答案:y-3= 3(x-2)

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平面解析几何

4.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=

0垂直,则直线l的方程为________.

2 解析: 法一: 直线 2x-3y+4=0 的斜率为: k= , 3 设所求直线斜率为 k′. ∵所求直线与直线 2x-3y+4=0 垂直, 3 ∴k· k′=-1,∴k′=- . 2 3 ∴所求直线方程为 y-2=- (x+1), 2 即:3x+2y-1=0.

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平面解析几何

法二:由已知,设所求直线l的方程为:3x+ 2y+C=0.

又l过点(-1,2),
∴有3×(-1)+2×2+C=0, 得:C=-1, 所以所求直线方程为3x+2y-1=0. 答案:3x+2y-1=0

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平面解析几何

考点探究讲练互动
考点突破 考点1 直线的倾斜角与斜率

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平面解析几何

例1

(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于

点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),

则直线l的斜率为(

)

A.

1 3

3 C.- 2

1 B.- 3 2 D. 3

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平面解析几何

(2)直线 xcosα+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是 ( )
? ? π? ?5π B.?0, ?∪? ,π? 6? ? 6 ? ? ?π 5π? D.? , ? 6? ?6 ?π π? ?π 5π? A.? , ?∪? , ? 6? ?6 2 ? ?2 ? 5π? C.?0, ? 6? ?

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平面解析几何

【解析】

(1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b), ,

?a+7=2 ? 则有? ?b+1=-2 ?

解得 a=-5,b=-3, -3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =- . 3 7+5

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平面解析几何

(2)由 xcosα+ 3y+2=0 得直线斜率 3 k=- cosα. 3 ∵-1≤cosα≤1, 3 3 ∴- ≤k≤ . 3 3 3 3 设直线的倾斜角为 θ,则- ≤tanθ≤ . 3 3

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平面解析几何

? ? π? ?π 结合正切函数在?0, ?∪? ,π?上的图象可知, 2 ? ?2 ? ?

π 5π 0≤θ≤ 或 ≤θ<π. 6 6

【答案】

(1)B

(2)B

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平面解析几何

【题后感悟】 直线倾斜角的范围是[0,π), 而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根 ? ? π? ?π 据斜率求倾斜角的范围时, 要分?0, ?与? ,π? 2 ? ?2 ? ? 两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当 α ? π? π ∈?0, ?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α= 时, 2? 2 ? ?π ? 斜率不存在; α∈? ,π?时, 当 斜率 k∈(-∞, ?2 ? 0).

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平面解析几何

备选例题(教师用书独具)
例 已知线段PQ两端点的坐标分别为

P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0

与线段PQ有交点,求实数m的取值范围.

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平面解析几何

【解】 如图所示,直线 l:x+my+m=0 过 定点 A(0,-1), 当 m≠0 时, 3 1 kQA= ,kPA=-2,kl=- . 2 m 1 1 3 ∴- ≤-2 或- ≥ , m m 2 1 2 解得 0<m≤ 或- ≤m<0; 2 3

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平面解析几何

当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0, 与线段 PQ 有交点, 2 1 所以,实数 m 的取值范围为- ≤m≤ . 3 2

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平面解析几何

变式训练
1.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线 l的倾斜角是直线AB倾斜角的两倍,则直线l 的斜率是________.

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平面解析几何

解析:因为 A(-1,-5),B(3,-2),所以 kAB -2+5 3 = = .若设直线 AB 的倾斜角为 θ,则 3+1 4 3 tanθ= .这时直线 l 的倾斜角为 2θ,其斜率为 4 3 2× 4 24 2tanθ tan2θ= = . 2 = ?3?2 7 1-tan θ ? ? 1- ?4? 24 答案: 7

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平面解析几何

考点2 求直线的方程
例2
求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(3,2), 且在两坐标轴上的截距相等; (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜 1 率的- . 4

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第八章

平面解析几何

【解】 (1)法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距 均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x, 3 即 2x-3y=0;

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平面解析几何

x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

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平面解析几何

法二: 由题意, 所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- , k 令 x=0,得 y=2-3k, 2 由已知 3- =2-3k, k

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平面解析几何

2 解得 k=-1 或 k= , 3 ∴直线 l 的方程为: 2 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.

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平面解析几何

(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0.

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平面解析几何

【题后感悟】

在求直线方程时,应先选择

适当的直线方程的形式,并注意各种形式的

适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜
率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂 直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或 经过原点的直线,故在解题时,若采用截距 式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;

若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.

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第八章

平面解析几何

备选例题(教师用书独具)
例 直线l过点A(1,-1)与已知直线l1:2x

+y-6=0相交于B点且|AB|=5,求AB所在 的直线方程.

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第八章

平面解析几何

【解】 过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线 为 x=1.
?x=1 ? 解方程组? ?2x+y-6=0 ?



求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),

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平面解析几何

?2x+y-6=0 ? 解方程组? ?y+1=k?x-1? ?



? k+7 ?x= ? k+2 得? ? 4k-2 ?y= k+2 ?

.

(k≠-2,否则与已知直线平行)

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平面解析几何

则两直线的交点 B

?k+7 4k-2? ? , 点坐标为? . ?k+2 k+2 ? ? ?

?k+7 ? ? ? ? ?2 ?4k-2 -1? +? +1?2=52, 由已知? ? ?k+2 ? ? k+2 ?

3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

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平面解析几何

变式训练
2.△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1), C(-2,3),求: (1)BC所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE的方程.

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第八章

平面解析几何

解:(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3) 两点, 由两点式得 BC 的方程 y-1 x-2 为 = ,即 x+2y-4=0. 3-1 -2-2

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第八章

平面解析几何

(2)设 BC 中点 D 的坐标(x,y),则 2-2 1+3 x= =0,y= =2. 2 2 BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点, x y 由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1, -3 2 即 2x-3y+6=0.

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第八章

平面解析几何

1 (3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 2 DE 的斜率 k2=2, 由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0), 即 y=2x+2.

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第八章

平面解析几何

考点3 直线方程的应用
例3 直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向 和y轴的正方向于A、B两点.当|OA|+|OB| 最小时,O为坐标原点,求l的方程.

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第八章

平面解析几何

【解】 依题意, 的斜率存在, l 且斜率为负, 设直线 l 的斜率为 k, 则 y-4=k(x-1)(k<0). 令 y=0,可得
? ? 4 A?1- ,0?; k ? ?

令 x=0,可得 B(0,4-k).

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第八章

平面解析几何

? ? 4? 4? |OA|+|OB|=?1- ?+(4-k)=5-?k+ ? k? k? ? ? ? 4 ? ? ? =5+?-k+ ≥5+4=9. -k? ? ?

4 ∴当且仅当-k= 且 k<0, -k 即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值. 这时 l 的方程为 2x+y-6=0.

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平面解析几何

【题后感悟】 类型及解法:

直线方程的综合问题常见的

(1)与函数相结合命题:解决这类问题,一般
是利用直线方程中x、y的关系,将问题转化 成关于x的某函数,借助函数性质来解决. (2)与方程、不等式相结合命题:一般是利用 方程、不等式等知识来解决.

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平面解析几何

互动探究
3.在本例条件下,若|PA|· |PB|最小,

求l的方程.

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平面解析几何

解:|PA|· |PB|=

?4?2 ? ? +16· 1+k2 ?k?

?? 1 ? ? 4 ?? ? 2 =- (1+k )=4?? +?-k??≥8(k<0). ? ? k ??-k? ?

1 ∴当且仅当 =-k 且 k<0, -k 即 k=-1 时,|PA|· |PB|取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0.

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平面解析几何

备选例题(教师用书独具)
例 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于 B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的 最小值并求此时直线l的方程.

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平面解析几何

【解】

(1)证明:直线 l 的方程是:

k(x+2)+(1-y)=0,
?x+2=0 ? 令? ?1-y=0 ? ?x=-2 ? ,解得? ?y=1 ?



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1).

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平面解析几何

(2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距 1+2k 为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要使直 k 线不经过第四象限,则必须有 ? 1+2k ?- ≤-2 k ? ,解之得 k>0; ?1+2k≥1 ? 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.

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平面解析几何

? 1+2k ? ? ? (3)由 l 的方程, A?- 得 B(0,1+2k). ,0?, k ? ?

? 1+2k ?- <0, k 依题意得? ?1+2k>0, ? 解得 k>0.

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平面解析几何

1 1 ? 1+2k? ? ? ∵S= · |OA|· |OB|= ·- · |1+2k| 2 2? k ? ? ?
2 ? 1 1 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+ +4? ≥ ×(2×2+4)=4, k 2 k 2? ? 2

1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时 l 的方程为:x-2y+4=0.

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平面解析几何

方法感悟 方法技巧
1.求直线斜率的方法 (1)定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°, 则k=tan α;

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平面解析几何

(2)公式法: 若直线过两点 A(x1, 1), 2, 2), y B(x y y2-y1 且 x1≠x2,则斜率 k= . x2-x1 求直线倾斜角的取值范围,一般步骤是: (1)求出直线斜率 k 的取值范围; (2)利用正切函数的单调性, 借助图象确定倾斜 角的取值范围.

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平面解析几何

2.求直线方程的两种类型 一是根据题目条件确定一个点和斜率或两个

点,进而选择相应的直线方程形式,写出方
程,这是直接法;二是根据直线在题目中所 具有的某些性质,先设出方程(含参数或待定 系数),再确定其中的参数值,然后写出方程 ,这是间接法.

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平面解析几何

失误防范
1.直线的倾斜角的取值范围为[0,π),但正切 π 函数在 x= 时无意义, 因此讨论倾斜角与斜率 2 的关系时,可结合正切函数的单调性将其分成 ? ? π? ?π ?0, ?与? ,π?两部分进行讨论. 2 ? ?2 ? ? 2.在求直线方程时要注意判断斜率是否存在, 要注意斜率不存在、斜率为 0、过原点等特殊 情况.

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平面解析几何

考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的高考试题来看,求直线方程是高考
考查的重点,题型既有选择题、填空题,又有 解答题,无论是以何种题型出现,都与其他知

识点交汇命题,难度属中、低档,主要考查直
线方程的求法,考查学生的运算能力. 预测2013年高考还会以求直线方程、两直线平

行与垂直为主要考查点,考查直线方程的求法
及学生的运算能力.
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平面解析几何

典例透析
例 经过点A(-5,2),且在x轴上的截距?

等于在y轴上的截距的2倍的直线方程是 ________.

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平面解析几何

【解析】 设直线在 x 轴上的截距为 2a, 则其在 y 轴上的截距为 a, 则直线经过点(2a,0),(0,a). 2 当 a=0 时?,直线的斜率 k=- ,此时, 5 2 直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0. 5

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第八章

平面解析几何

2-0 a-0 1 当 a≠0 时, 由 = , a=- ? , 得 2 -5-2a 0-2a 此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.

【答案】

x+2y+1=0或2x+5y=0

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平面解析几何

名师点拨 层层剖析

提醒:截距不是距离. ?隐含条件:直线过原点,这点易漏掉. x ?由过每两点的直线斜率相等,也可令直线 2a y + =1 过(-5,2)来求 a. a

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平面解析几何

知能演练轻松闯关

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平面解析几何

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