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利用导数求参数的取值范围11


利用导数求参数的取值范围
一、已知函数单调性,求参数的取值范围 类型 1.参数放在函数表达式上 例 1、设函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax ? 8其中a ? R .
(1)若f ( x)在x ? 3处得极值, 求常数a的值. (2)若f ( x)在(??,0)上为增函数, 求a的取值范围

基础训练: 1.设函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 1, 其中a ? 1( . 1) 求 f ( x) 的单调区间; (2) 讨论 f ( x) 的极值。

类型 2.参数放在区间边界上 例2.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d在x ? 0处取得极值,曲线y ? f ( x) 过原点和点p (-1,2), 若曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线与直线 y ? 2 x的夹角为45 ? 且切线的倾斜角为钝角. (1) 求 f ( x) 的表达式(2)若 f ( x) 在区间[2m-1,m+1]上递增,求 m 的取值范围.

基础训练: 2.已知函数f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 7, 若f ( x)在[a, a ? 1]上单调递增, 求a的取值范围. 二.已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围 类型1.参数放在不等式上 2 例 3.已知 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c在x ? ? 与x ? 1时都取得极值 3 (1)求 a, b 的值及函数 f ( x) 的单调区间. (1) 若对 x ? [?1,2], 不等式f ( x) ? c 2 恒成立,求c的取值范围.

x2 3.已知函数f ( x) ? x ? ? 2 x ? 5, 若对任意x ? [?1,2]都有f ( x) ? m则实数m的取值范围是 __________ 2
3

类型 2.参数放在区间上 例4.已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? 5 x 2 ? cx ? d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 f ( x) 在 x=3 处有极值.(1)求 f ( x) 的解析式(2)当 x ? (0, m) 时 f ( x) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4.若不等式x 4 ? 4 x 3 ? 2 ? a对任意实数x都成立, 则实数a的取值范围是 __________ _.

三.知函数图象的交点情况,求参数的取值范围. 例 5.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a .(1)求 f ( x) 的极值.(2)当 a 在什么范围内取值时, 曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点.

四. 开放型的问题,求参数的取值范围。 例6.已知 f ( x) ? x 2 ? c, 且 f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) 。 (1)设 g ( x) ? f [ f ( x)] ,求 g ( x) 的解析式。 (2)设 ? ( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问:是否存在 ? ? R ,使 ? ( x) 在( ? ?,?1 )上是单调递减函数, 且在( ? 1,0 )上是单调递增函数;若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。


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