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2014届高考一轮复习数学6.1数列的概念及简单的表示法


第六章

数列

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第1讲

数列的概念及简单的表示 法

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考纲展示

考纲解读
1.数列的概念部分在高考中一般不单独命题,但用归纳 法写出一个数列的通项公式,能培养学生观察、分析和 解决问题的能力,因此考题经常出现,应予以重视. 2.关于数列的 Sn 与 an 的关系,即已知 Sn 与 an 的函数关 系求数列的通项,在高考中属于重点问题,多出现在解 答题的第一问,应予以重视. 3.高考对递推数列的要求是能根据递推关系写出数列 的前几项,但近几年的高考题中对于递推数列的考查 力度较大,多与数列求和结合形成综合性的大题,解题 方法上强调构造新数列的方法.

1.了解数列的概念和 几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公 式). 2.了解数列是自变量 为正整数的一类特殊 函数.

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1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个 数列的项.

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2.数列的分类
分类原则 类型 有穷 数列 无穷 数列 按项与项间 的大小关系 分类 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 从第 2 项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列,如 1,-1,1,-1,…
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满足条件

按项数分类

递增数列 递减数列 常数列 有界 数列 摆动 数列

其中 n∈N*

按其他标准 分类

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 an=f(n) 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.数列通项的表示及最大项、最小项的含义 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则其通项 an= 若 an 最大,则 ≥ -1 , 1 , = 1,

--1 , ≥ 2.

在数列{an}中,

若 an 最小,则 ≥ +1 ; ≤ +1 .

≤ -1 ,

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6.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数 列{an}的递推公式.

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1.下面有四个命题: ①如果已知一个数列的递推公式及其首项,那么可以写出这个数列的任何 一项; ②数列 , , , ,…的通项公式是 an=
2 3 4 5 3 4 5 6 ; +1

③数列的图象是一群孤立的点; ④数列 1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列. 其中正确命题的个数是( A.4 B.3 ) C.2 D.1

【答案】D 【解析】命题①错误,如 an+2=an+an+1,a1=1,通过它就无法写出 a2;命题②错 误,an=
+1 ;命题③正确;命题④错误,两数列的排列顺序不同. +2

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5 7 9 ,- ,…的一个通项公式是( 8 15 24 2-1 2+1 A.an=(-1)n+1 2 B.an=(-1)n-1 2 +n +2n 2-1 2+1 C.an=(-1)n+1 2 D.an=(-1)n-1 2 +2n +3n

2.数列{an}:1,- ,

)

【答案】B 【解析】可用验证法:取 n=1,可知只有 B 项适合. 3.(2012·浙江台州测试)已知数列{an}中,a1=1,an+1= A.108 【答案】D 【解析】 a1=1,a2=
1 21 +3 1 108 1 5 2 22 +3 ,则 2 +3

a5 等于( D.
1 161

)

B.

C.161 =
1 ,a4= 3 17 23 +3

= ,a3=

=

1 ,a5= 4 53 24 +3

=

1 . 161

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4.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= A. C.
5 6

1 ,则 等于( +1 5

)

B.

6 5

1 30

D.30

【答案】D 【解析】∵ 5=S5-S4= ? = a
5 6 4 5 1 1 ,∴ =30. 30 5

5.已知数列{an}的通项公式是 an=

2 × 3-1 ,n 为偶数, 2-5,为奇数,

则 a4·3= a

.

【答案】54 【解析】 a4·a3=2×33×(2×3-5)=54.
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T 题型一根 据数列中的项求通项公式
例 1 根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…;
(3) , ,- , (4) ,1,
3 2 1 1 5 13 29 61 ,- , ,…; 2 4 8 16 32 64 7 9 , ,…; 10 17

(5)0,1,0,1,…. 先观察各项的特点,然后归纳出通项公式.
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【解】 (1)符号用(-1)n 或(-1)n+1 表示,题中数列各项的绝对值的排列规律 为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6.故该数列的通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…,从而可知其通项公式 为 a n=
8 9 8 9 8 9 8 9

1-

1 10

.

(3)∵ 各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出第 2,3,4 项的分子分别比分
2-3 21 -3 22 -3 23 -3 24 -3 项变为- ,至此原数列已化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,…, 2 2 2 2 2
n

母少 3,因此把第 1

∴ 其通项公式为 an=(-1)

2 -3 · . 2

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(4)将原数列统一为 , ,

3 5 7 9 , ,…,对于分子 3,5,7,9,…是序号的 2 倍加 1, 2 5 10 17

于是可得分子的通项公式为 bn=2n+1;对于分母 2,5,10,17,…,联想到数列 1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为 cn=n2+1. 故该数列的一个通项公式为 an= (5)an= 0,为奇数, 1,为偶数 或
1+(-1) a n= 2


2+1 . 2 +1 1+cosπ . 2

或 an=

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(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下 几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. (2)根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式是不完全归纳法,它 蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注 意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1 来调整.

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1.写出下面各数列的一个通项公式: (1)-1, ,- , ,- , ,…; (2)3,33,333,3333,…. 【解】(1)因为奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中应含因子(-1)n;又 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,…,而各项绝对值的分子组成的数列中, 奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1,
1 2+(-1) 所以 an=(-1)n· .也可写为 an= 3 ,n 为正偶数. 9 99 999 9999 (2)因为可将原数列各项改写为 , , , ,…,其分母都是 3 3 3 3 1 分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以 an= (10n-1). 3


3 1 3 1 3 2 3 4 5 6

- ,n 为正奇数,

3,而分子

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T 题型二由 Sn 和 an 的关系求通项
例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn=(-1)n+1· a5+a6 及 an; n,求 (2)若 Sn=3n+2n+1,求 an.
根据数列前 n 项和的概念,可知 Sn 与 Sn-1 之差必为 an,但由于 1 ,n = 1, * n∈N ,为了保证 Sn-1 的存在性,故 an= 在实际应用中要具体分 --1 ,n ≥ 2, 析对待,求 an 的分段函数法实际上也符合了函数问题中“定义域优先的原 则”,因此这种分类是运算合理性的“需要”.

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【解】(1)因为 a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2, 当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1) =(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1), 又 a1 也适合于此式, 所以 an=(-1)n+1·(2n-1). (2)因为当 n=1 时,a1=S1=6; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1] =2×3n-1+2, 由于 a1 不适合此式, 6, = 1, 所以 an= 2 × 3-1 + 2,n ≥ 2.
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数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是: 1 ,n = 1, a n= 此公式经常使用,应引起重视.当 n=1 时,S1 若适合 --1 ,n ≥ 2. an=Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an 中;当 n=1 时,S1 若不适合 an=Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

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2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),求 an. 【解】∵ n+1= Sn,∴ n= Sn-1(n≥2). a a 于是 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2),即 an+1= an(n≥2). 又 a1=1,a2= S1= a1= ,∴ 数列{an}是从第二项起,公比为 的等比数列, 1, = 1, an=
1 4 -2 ,n 3 3 1 3 1 3 1 3 4 3 1 3 1 3 4 3 1 3 1 3

1 3



1 4 -2 an= ,n≥2.故 3 3

≥ 2.

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T 题型三数 列的函数性质
例 3 已知数列{an}的通项公式为
(1)0.98 是不是它的项? (2)判断此数列的增减性. (1)令 an=0.98,看能否求出正整数 n; (2)判断 an+1-an 的正负.
2 an= 2 . +1

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【解】(1)假设 0.98 是它的项,则存在正整数 n,
2 满足 2 =0.98,即 +1

n2=0.98n2+0.98.

∵ n=7 时等式成立,∴ 0.98 是数列{an}中的项.
2 (2)∵ n+1-an= a ? 2 (+1) +1 2 +1 (+1)
2

=

2+1
2

[(+1) +1](2 +1)

>0,

∴ 数列{an}为递增数列.

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(1)看某数 k 是否为数列中的项,就是看关于 n 的方程 an=k 是否有 正整数解. (2)判断数列的单调性就是比较 an 与 an-1 的大小.若 an>an-1,则数列增; 若 an<an-1,则数列减.此处与函数的单调性判断是一样的.

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3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少? 【解】(1)n=1 时,a1=S1=23.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25. 经验证,a1=23 符合 an=-2n+25, 故 an=-2n+25(n∈N*). (2)方法一:∵ n=-n2+24n, S ∴ n=12 时,Sn 最大且 Sn=144. 方法二:∵ n=-2n+25,若要 Sn 达到最大,则需 a an=-2n+25>0,即 n< ,∴ 12>0,a13<0. a 故 S12 最大,最大值为 144.
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25 2

T 题型四简 单的递推关系(复杂的递推数列将在数列综合部分讲解)
例 4(2012·福建福州高三质检)已知数列{an}
4 5

中,a1= ,an+1=

2 ,0 ≤ ≤ ,
1 2 -1, 2

1 2

< ≤ 1, B.
3 5

则 a2012 等于(

)

A.

4 5

C.

2 5

D.

1 5

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利用递推关系逐项求取,因为数据较大,可考虑数列的周期 性. 【答案】C 【解析】因为当 a1= 时,a2=2× -1= ; 当 当 当 … 所以数列{an}的周期为 4. 因为
2012 =503,所以 4 4 5 3 3 1 a2= 时,a3=2× -1= ; 5 5 5 1 1 2 a3= 时,a4=2× = ; 5 5 5 2 2 4 a4= 时,a5=2× = ; 5 5 5 4 5 3 5

a2012=a4= .

2 5

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简单的递推关系主要是利用通项公式的结构特点采用递推的方 式依次求数列中的项,采用的主要方法就是依次求取.

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4.(2012·山东潍坊模拟)在数列{an}中,若 an+1= ( ) A.13 【答案】D 【解析】方法一:∵ n+1= a 方法二:∵ n+1= a 故
1

,a =1,则 2 +1 1

a6 等于

B.

1 13

C.11

D.

1 11

1 1 1 1 1 ,a1=1,∴ 2= ,a3= ,a4= ,a5= ,a6= .故选 a 2 +1 3 5 7 9 11

D.

1 ,∴ 2 +1 +1 1 1

=
1

1 1 +2,即 +1

?

1 =2. 1 . 2-1

为等差数列.∵ =1,∴ =2n-1.于是 an=
1 11

故当 n=6 时,a6= ,应选 D.

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1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+n,则 a7 为( A.8 B.12 C.23 【答案】C 2.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第 25 项为( A.2 C.7 B.6 D.8

) D.29 )

【答案】C 【解析】设数字有 n 个,当数字 n=6 时,共有 1+2+3+4+5+6=21 项,因此第 25 项是 7.

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3.已知数列{an}中,an+1-an-3=0,则该数列是( A.递增数列 C.常数列 【答案】A B.递减数列 D.不确定

)

【解析】∵ n+1-an-3=0,∴ n+1-an=3>0,即 an+1>an. a a 故数列{an}为递增数列.

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4.已知数列{an}的通项公式为 an= 的大小关系是( A.an>an+1 C.an=an+1 【答案】B ) B.an<an+1

,其中 +

a,b,c 均为正数,那么 an 与 an+1

D.与 n 的取值有关
,由于 + 1

【解析】分子、分母同时除以 n,得 an= 递增,即 an<an+1.

y= 是减函数,故数列{an}

5.(2013 届·山东泰安月考)数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中 x 的值 为 . 【答案】21 【解析】 观察数列中项的规律,易看出数列从第三项开始每一项都是其前两 项的和.故 x 值应为 8+13=21.
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