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2012年高考数学提优系列练习(51)


2012 年高考数学提优系列练习 年高考数学提优系列练习(51)
1.已知函数 f ( x) =| x + 2ax + 1| 在区间 [ ?1, 2] 上的最大值为 4 ,则 a =
2



2. M 是椭圆 点

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上的点, M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F , M 以 圆 a2 b2


与 y 轴相交于 P, Q ,若 ?PQM 是钝角三角形,则椭圆离心率 e 的取值范围是 3.设 x, y , z 都为正实数,则

xy + 2 yz 的最大值为 x + 2 y2 + 4z 2
2



4.如图,已知 RtD ABC 中, ? C

90  AC = ,

3 , BC = 1 ,

D 、 E 、 F 分别是边 AB 、 BC 、 AC 上的点, D DEF 是内接正三角形, 则 D DEF 的边长的取值范围是 .
5.国庆长假期间小明去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开,小明在一幅 壁画底端与地面的距离 BO 是 1 米, 壁画正前方驻足观看. 如图是小明观看该壁画的纵截面示意图, 已知壁画高度 AB 是 2 米, 玻璃幕墙与壁画之间的距离 OC 是 1 米.若小明的身高为 a 米( 0 < a < 3 ) ,他在壁画正前方 x 米处观看,问 x 为多少时,小 明观看这幅壁画上下两端 所成的视角 θ 最大?
[来源:学科网 ZXXK]

6.设函数 y = f ( x) 对任意的实数 x ,都有 f ( x ) = 2 f ( x + 1) ,当

x ∈ [ 0,1] 时,
f ( x) = 27 2 x (1 ? x) . 4
?

(1)已知 n ∈ N ,当 x ∈ [ n, n + 1] 时,求 y = f ( x) 的解析式; (2)求证:对于任意的 n ∈ N ,当 x ∈ [ n, n + 1] 时,都有 | f ( x ) |≤
?

1 ; 2n

(2) 对于函数 y = f ( x)( x ∈ [ 0, +∞ )) , 若在它的图象存在点 P , 使得过点 P 的切线与直线 x + y ? 1 = 0 平行, 那么这样的点 P 有多少个?并说明理由. 附加题: 附加题: 已知数列 {an } , an ≥ 0 , a1 = 0 , an +1 + an +1 ? 1 = an ( n ∈ N ) .
2 2 ?

记 S n = a1 + a2 + L + an , Tn = 求证: (1) an +1 > an ; (2) S n > n ? 2 ; (3) Tn < 3 .

1 1 1 + +L+ . 1 + a1 (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + a1 )(1 + a2 )L (1 + an )


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