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高一数学线性函数对数函数和指数函数模型


【教育类精品资料】

3.2

函数模型及其应用

3.2.1 几类不同增长的函数模型 第一课时 线性函数、指数函数和 对数函数模型

问题提出

1. 函数来源于实际又服务于实际,客观 世界的变化规律,常需要不同的数学模 型来描述,这涉及到函数的应用问题.
2. 所谓“模型”,通俗的解释就是一种 固定的模式或类型,在现代社会中,我们 经常用函数模型来解决实际问题.那么, 面对一个实际问题,我们怎样选择一个 恰当的模型来刻画它呢?

知识探究(一):无条件函数模型的选择 考察下列问题: 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投 资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一: 每天回报40元; 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前 一天多回报10元; 方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 思考1:设第x天所得的回报为y元,那么上述 三种投资方案对应的函数模型分别是什么?

思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数? 其单调性如何?

思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表, 分析这些数据,你如何根据投资天数选择投 资方案?

天次

方案一 当天回 报 40 40 累计回 报 40 80

方案二 当天回 报 10 20 累计回 报 10 30

方案三 当天回 报 0.4 0.8 累计回 报 0.4 1.2

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 ?

40 40 40 40 40 40 40 40 40 ?

120 160 200 240 280 320 360 400 440 ?

30 40 50 60 70 80 90 100 110 ?

60 100 150 210 280 360 450 550 660 ?

1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6 ?

2.8 6.0 12.4 25.2 50.8 102.0 204.4 409.2 818.8 ?

思考4:分析上述三个函数的图象,你对指数 函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法?你对“指数爆炸”的含义有何理解?
y(元)

o

x(天)

思考5:到第30天,三个方案所得的回报分别 是多少元?

知识探究(二):有条件函数模型的选择

问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在 销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖 励,且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万 元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型:

y ? 0.25 x, y ? log 7 x ? 1, y ? 1.002 .
x

其中哪个模型能符合公司的要求?

思考1:根据问题要求,奖金数y应满足哪几个 不等式? 思考2:销售人员获得奖励,其销售利润x(单 位: 万元)的取值范围大致如何? 思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司 的要求,其本质是解决一个什么数学问题? 思考4:对于模型y=0.25x,符合要求吗?为什 么?

思考5:对于模型 y ? 1.002 ,当y=5时, 对应的x的值约是多少?该模型符合要求吗?
x

x≈805.723 思考6:对于函数 y ? log 7 x ,当x∈[10, 1000]时,y的最大值约为多少?

思考7:当x∈[10,1000]时,如何判断 log 7 x ? 1 y ? ? 0.25 是否成立? x x

思考8:综上分析,模型 y ? log 7 x 符合公 司要求.如果某人的销售利润是343万元,则 所获奖金为多少?

理论迁移 例 某工厂今年1月,2月,3月生产某种产 品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估 计以后每个月的产量,以这三个月的产品数 量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x的关系.模拟函数可以选用 y=ax2+bx+c或y=a· x+c.已知4月份该产品的产 b 量为1.37万件,试选用一个适当的模拟函数.

小结作业

P98练习: 2. P107习题3.2A组:1,2.


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