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江西省宜春中学2015-2016学年高二上学期第二次周考数学(理)试题


宜春中学 2015-2016 高二上学期理科数学周考试卷 (二)
命题人:熊志强 审题人:高二年级数学组 2015.9 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
2 1.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 (? , ) ,则 a+b 的值是(

1 1 2 3

) D.-14 )

A.10

B.-10

C.14

2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB= 3 ac,则角 B 的值为( A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

1 3.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,sin C=3sin B, 3 且 S△ABC= 2,则 b=( ) A.1 B.2 3 C.3 2 D.3 4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,sin A、sin B、sin C 成等比数列, 且 c=2a,则 cos B 的值为( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, S 表示△ABC 的面积, 1 若 acos B+bcos A=csin C,S= (b2+c2-a2),则 B 等于( 4 A.90° B.60° C.45° ) D.30°

6. △ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,设向量 m=(b+a,c), n=(b-a,c-b),若 m⊥n,则 sinB+sinC 的取值范围为( 1 A.( ,1] 2 B.( 3 , 3] 2 1 C.[ , 1) 2 ) D.[ 3 ,1) 2 )

7. 在等差数列{an}中, 满足 3a4=7a7, a1>0, Sn 是其前 n 项和, 若 Sn 取最大值, 则 n 等于( A.7 B.8 C.9 D.10

8.等差数列 an 中,若 a 4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ?

? ?

1 a11 的值为( 3



A.14

B.15

C.16

D.17

9.已知{an}是等比数列,a2=2, a5=

A.16( 1 ? 4 ? n )

10.数列{an}中,an=(-1)n 1(4n-3),其前 n 项和为 Sn,则 S22-S11 等于(


1 ,则 a1a2+ a2a3+…+ anan+1=( ) 4 32 32 B.16( 1 ? 2 ? n ) C. ( 1 ? 4 ? n ) D. ( 1 ? 2 ? n ) 3 3
) B.85 C.-65 D.65

A.-85

11. 数列 an 的通项公式为 an ? 2n ? 1, bn ?

? ?

1 ( ) , 则数列 ?bn ? 的前 n 项和为 a1 ? a2 ? ??? ? an

A.

n ?1 2( n ? 2)

B.

n ?1 n?2

C.

3 2n ? 3 ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

D.

3 2n ? 3 ? 4 2( n ?1)( n ? 2)
)

12.在数列{an}中,已知 a1=1,a2=5,an+2=an+1-an,则 a2015 等于( A.-4 B.-5 C.4 D.5

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10 = ________. .

14. 在△ ABC 中,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、 b、 c ,若( 3 b – c)cosA=acosC, 则 cosA= 15.若函数 f(x)= ax2+4ax+3的定义域为 R,则实数 a 的取值范围________. 16.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1, 1 4 则 + 的最小值为________. m n 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

→ → 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA· BC=2, 1 cos B= ,b=3.求:(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C)的值. 3

19. 已知数列 an 中, a1 ?

? ?

5 ,以 an ?1, an 为系数的二次方程: an?1 x2 ? an x ?1 ? 0 都有 6
? ? 1? ? 是等比数列;②求 ?an ? 的通项. 2?

实根 ? , ? ,且满足 3? ? ?? ? 3? ? 1, ①求证: ? an ?

20.解关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0
2

21.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S.满足 S= (1)求 C 的值;(2)若 a+b=4,求周长的范围与面积 S 的最大值.

3 2 (a +b2-c2). 4

22. 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ( n ? ? ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 .
?

?1? 求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

? 2 ? 求证:
.

1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ? . 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1 3

宜春中学 2015-2016 高二上学期理科数学周考试卷(二)答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 C 8 C 9 C 10 C 11 D 12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 95. 14.

3 3

3 15. [0,4]

3 16.2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. a b 解:(1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理 = ,得 sin B= 3cos B. sin A sin B π 所以 tan B= 3,所以 B= . 3 a c (2)由 sin C=2sin A 及 = ,得 c=2a. sin A sin C 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac.所以 a= 3,c=2 3. → → 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 a>c.已知BA· BC=2, 1 cos B= ,b=3.求:(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C)的值. 3 1 → → 解:(1)BA· BC=2,得 c· acos B=2,又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.

? ?ac=6, 联立? 2 2 ?a +c =13 ?

? ?a=2, 得? ?c=3 ?

? ?a=3, 或? ?c=2. ?

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1 2 2 1-? ?2= . 3 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2C= 4 22 7 1-? ?= . 9 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27 19. 已知数列 an 中, a1 ?

? ?

5 ,以 an ?1, an 为系数的二次方程: an?1 x2 ? an x ?1 ? 0 都有 6
? ? 1? ? 是等比数列;②求 ?an ? 的通项. 2?

实根 ? , ? ,且满足 3? ? ?? ? 3? ? 1, ①求证: ? an ?

解:①∵ 3

?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1,
? ?



3an 1 ? ? 1, 即 3an ? an?1 ? 1, an?1 an?1
1? ? 是等比数列 2?
n
n

∴ an ?

1 1? 1? ? ? an?1 ? ? , 2 3? 2?

∴ ? an ?
n ?1

1 1 ?1? ②由①得: an ? ? ? ? ? 2 3 ?3?
2

?1? 1 ?1 ? ? ? ? , ∴ an ? ? ? ? . ? 3? 2 ?3?

20.解关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0 解:原不等式可以化为: ( x ? a ? 1)(x ? a) ? 0

1 则不等式解集为{x| x ? a 或 x ? 1 ? a } 2 1 1 1 (2)若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 ( x ? ) 2 ? 0 ∴不等式解集为{x| x ? , x ? R } 2 2 2 1 (3)若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则不等式解集为{x| x ? a 或 x ? 1 ? a } 2
(1)若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 21.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S.满足 S= (1)求 C 的值;(2)若 a+b=4,求周长的范围与面积 S 的最大值. 解:(1)∵S= 3 2 1 3 (a +b2-c2),∴ absin C= ·2abcos C, 4 2 4 3 2 (a +b2-c2). 4

π 即 tan C= 3,又 0<C<π,∴C= . 3 (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-ab,又 a+b=4. ∴c2=a2+(4-a)2-a(4-a)=3a2-12a+16=3(a-2)2+4, 由 a+b=4,a>0,b>0 知 0<a<4. ∴4≤c2<16,∴2≤c<4. ∴周长 a+b+c∈[6,8). 又由 a+b=4,知 4≥2 ab,当且仅当 a=b 时取等号.

1 1 3 ∴ab≤4,∴S= absin C≤ ×4× = 3,即当 a=b=2 时,Smax= 3. 2 2 2

?1? 求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2 ? 求证:
1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ? . 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1 3
3 , 2

22. 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ( n ? ? ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 .
?

解: (1)? an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 得 2a1 ? 3, a1 ?

? an ? Sn ? 2n ? 1

? an?1 ? Sn?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1, ? n ? 2, n ? N ??
两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ?

1 an?1 ? 1 2

an ? 2 ?

1 (an?1 ? 2), ?n ? 2? 2

1 1 ? 数列?an ? 2?是首项为 a1 ? 2 ? ? ,公比为 的等比数列 2 2

1 ?1? ? an ? 2 ? ?? ? ,? an ? 2 ? n 2 ?2? 1 1 2 n?1 1 1 ? ? ? n?1 ? n? 2 (2)? n . n ?1 n? 2 n?1 n? 2 ? 1 2 ? 1 ?2 ? 1??2 ? 1? 2 ? 1 2 ? 1 2 an an?1 n 2 2 ? ? n?1 2n 2 1 1 1 ? ??? n 2a1a2 2 2 a2 a3 2 an an?1
1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? 2 ? 3 ? 4 ? n? 2 ??? 3 ? ? ? ? ? n?1 ? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? 1 1 1 ? ? n? 2 ? 3 2 ?1 3

n

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