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2015-2016学年高中数学 第三章 导数及其应用章末小结 新人教A版选修1-1


2015-2016 学年高中数学 第三章 导数及其应用章末小结 新人教 A 版选修 1-1

高考对导数的考查形式多样,难易均有,可以在选择题和填空题中出现,主要以导数的 运算,导数的几何意义,导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等);也容易在解答题中 出现,有时候作为压轴题,考查导数的综合应用,主要以函数为背景,以导数为工具,考查 运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题,在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇 点命题.

专题一 利用导数研究函数的图象 通过导数研究函数图象的变化规律,是考试的热点题型.导数绝对值的大小,反映了函 数变化的快慢,在图象上表现为陡缓;导数的正负,反映了函数的增减性,在图象上表现为 升降. y=f(x)的导数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可 能是( )

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分析:解答本题可以从导函数递增,即切线斜率越来越大入手分析. 解析:因为函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)在区间[a,b]上是增函数,即在区间[a, b]上各点处函数的变化率是递增的,故图象应越来越陡峭.由图易知选 A. 答案:A 专题二 导数几何意义的应用 导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中, 此时关键是抓住切点, 它是联 结曲线和其切线的“桥梁” ,在做题中若题中没有给出切点,往往需要设出切点. 特别提醒:审题时注意两种说法:“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样. 3 已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 解析:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. 3 2 ∵f′(x)=(x +x-16)′=3x +1, ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6),即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1, ∵直线 l 的方程为 3 y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16, ∵直线 l 过点(0,0), 2 3 ∴0=(3x0+1)(-x0)+x0+x0-16 3 整理得:x0=-8,∴x0=-2. 3 ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4. 2 设切点坐标(x0、y0)、则 f′(x0)=3x0+1=4 ∴x0=±1, ?x0=1, ?x0=-1, ? ? ∴? 或? ? ?y0=-14 ? ?y0=-18. 即切点为(1,-14)或(-1,-18). 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 专题三 利用导数研究函数单调性 导数与函数的单调性相结合的常见问题: (1)判断单调性; (2)求函数的单调区间;
2

x

(3)已知单调性,求参数的值. 特别提醒:(1)要在定义域内求单调区间;单调区间不能“∪”连接. (2)已知单调性,求参数的值时,注意端点值的处理. a(x-1) 函数 f(x)=ln x- (x>0,a∈R).

x

(1)试求 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求证:函数 f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是 a=1. 分析: 解答(1)可以利用解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 得函数的单调区间; (2)可以从 充分性与必要性两方面来证明. 1 a x-a (1)解析:f′(x)= - 2= 2 (x>0).

x x

x

当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞),单调递增; 当 a>0 时,x∈(0,a),f′(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减; x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. 综上所述,当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (2)证明:充分性:a=1 时,由(1)知,在 x=1 处有极小值也是最小值, 即 f(x)min=f(1)=0.而 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴在(0, +∞)上有唯一的零点 x=1. 必要性:f(x)=0 在(0, +∞)上有唯一解,且 a>0,由(1)知,在 x=a 处有极小值也是 最小值 f(a),f(a)=0,即 ln a-a+1=0. 1 1-a 令 g(a)=ln a-a+1,g′(a)= -1= .

a

a

当 0<a<1 时,g′(a)>0,g(a)在(0,1)上单调递增; 当 a>1 时,g′(a)<0,g(a)在(1,+∞)上单调递减. ∴在(0,+∞) 上有唯一解 a=1,使得 g(a)=0. 专题四 利用导数研究函数的极值与最值 利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一,在主客观题中均有体现. (1)应用导数求函数极值的一般步骤: ①确定函数 f(x)的定义域; ②解方程 f′(x)=0 的根; ③检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号,若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大 值,若左负右正,则 f(x)在此根外取得极小值,否则,此处不是 f(x)极值点. (2)求函数 f(x)在[a,b]上最值的步骤: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 特别地:①当 f(x)在[a,b]上单调时, 其最小值、 最大值在区间端点处取得; ②当 f(x) 在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值,则可以判定 f(x)在 该点处取得最大(最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2),其中常数 k 为负数,且 f(x)在区 间 [0,2]上有表达式 f(x)=x(x-2). (1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在 [-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出 f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的值. 解析:(1)f(-1)=kf(-1+2)=kf(1)=k×1×(1-2)=-k. 1 1 ? 3? 3 ∵f(0.5)=kf(2.5),∴f(2.5)= f(0.5)= ?- ?=- . k k? 4? 4k (2)∵f(x)=x(x-2),x∈[0,2],设-2≤x<0,则 0≤x+2<2, ∴f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2-2)=kx(x+2). 设-3≤x<-2,则-1≤x+2<0,

3

∴f(x)=kf(x+2)=k (x+2)(x+4). 设 2<x≤3,则 0<x-2≤1. 又∵f(x-2)=kf(x),∴f(x)= 1 1 f(x-2)= (x-2)(x-4).

2

k

? ?kx(x+2),-2≤x<0, ∴f(x)=?x(x-2),0≤x≤2, 1 ? ?k(x-2)(x-4),2<x≤3.

k k2(x+2)(x+4),-3≤x<-2,

k<0,由二次函数知识得 f(x)在[-3,-2]上是增函数,在[-2,-1]上是增函数,在 [-1,0]上是减函数,在[0,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数,在(2,3]上是增函数. (3)由函数 f(x)在[-3,3]上的单调性可知, f(x)在 x=-3 或 x=1 处取得最小值 f(-3)=-k2 或 f(1)=-1,而在 x=-1 或 x=3 1 处取得最大值 f(-1)=-k 或 f(3)=- . k
故有:①k<-1 时,f(x)在 x=-3 处取得取小值 f(-3)=-k ,在 x=-1 处取得最大 值 f(-1)=-k. ②k=-1 时,f(x)在 x=-3 与 x=1 处取得最小值 f(-3)=f(1)=-1,在 x=-1 与 x=3 处取得最大值 f(-1)=f(3)=1. ③-1<k<0 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=-1,在 x=3 处取得最大值 f(3)=- 1 .
2

k

专题五 导数的综合应用 导数是研究函数非常有用的工具,可以和许多考点相联系. (1)解决恒成立问题. (2)数形结合,研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题). 1 3 2 已知函数 f(x)= ax -bx +(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值, 在 x=x2 处取得极小 3 值点且 0<x1<1<x2<2. (1)证明 a>0; (2)求 z=a+2b 的取值范围. 分析:已知函数的极值点,即知 f′(x)=0 的根及不等式 f′(x)>0 的端点,从而可证 明(1):解答(2)可以把问题转化为线性规划,利用图解法. 2 解析:f′(x)=ax -2bx+2-b. (1)由函数 f(x)在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f′(x)=0 的两个根. 所以 f′(x)=a(x-x1)(x-x2), 当 x<x1 时,f(x)为增函数,f′(x)>0, 由 x-x1<0,x-x2<0 得 a>0. ?f′(0)>0, ?2-b>0, (2)在题设下,0<x1<1<x2<2 等价于?f′(1)<0,即?a-2b+2-b<0, 2-b>0, ? ? 化简得?a-3b+2<0, ? ?4a-5b+2>0. 由不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线:2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0

?

?

? ?f′(2)>0, ? ?4a-4b+2-b>0,

4

?4 6? 所围成的Δ ABC 的内部(如图所示),其三个顶点分别为:A? , ?,B(2,2),C(4,2). ?7 7?

z 在这三点的值依次为 ,6,8.
所以 z 取值范围?

16 7

?16,8?. ? ?7 ?

专题六 生活中的导数 导数在生活中的应用主要有: (1)利用导数的意义,可以解决瞬时变化率问题; (2)利用导数可以解决实际生活,生产中的优化问题. 设某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数, T(t)=at3+bt2+ct+d(a≠0), 其中温度 的单位是 ℃,时间的单位是小时.中午 12:00 相应的 t=0,中午以后相应的 t 取正数, 中午 12: 00 以前相应的 t 取负数(如早上 8: 00 相应的 t=-4 下午 16: 00 相应的 t=4). 若 测得该物体在早上 8:00 的温度为 8 ℃,中午 12:00 的温度为 60 ℃,下午 13:00 的温度 为 58 ℃,且已知该物体的温度早上 8:00 与下午 16:00 具有相同的变化率. (1)求该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在上午 10:00 到下午 14:00 这段时间(包括端点)何时温度最高?最高温度 是多少? 分析:本题函数关系式已经给出,只需确定其中的系数即可;解答(2)时可以利用导数 求该函数的最值. 2 解析:(1)因为 T′=3at +2bt+c, 而 T′(-4)=T′(4), 故 48a-8b+c=48c+8b+c, T(0)=d=60, a=1,

? ?T(-4)=-64a+16b-4c+d=8, ? ?b=0, ∴? ?? T(1)=a+b+c+d=58, c=-3, ? ? ?48a+8b+c=48a-8b+c ?d=60.
3

∴T(t)=t -3t+60(-12≤t≤12). (2)在上午 11:00 与下午 14:00,该物体温度最高,最高温度是 62 ℃.

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