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导数、不等式及平面向量


博未教育

博未教育教案 导数、不等式及平面向量
老师姓名 陈老师 教学目的:
1. 掌握不等式的性质并运用基本不等式解题; 2. 运用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题; 3. 求函数的导数以及单调性;

学生姓名

科目 数学

课程类别

日期 2016/5/15

4. 掌握平面向量的基本运算。 知识点概述:
1. 不等式的性质和基本不等式; 2. 一元二次不等式和线性规划; 3. 导数及其应用; 4. 平面向量。

重难点/难题概述: 1. 函数与导数的综合应用; 2. 向量与几何题的结合。

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一.不等式的性质和基本不等式 知识回顾:
一、不等式的基本性质: ①若 ab>0,则 改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式, 要注意它的正负号, 如果正负号未定, 要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的 图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b ? 0 ,则 基本变形:① a ? b ? ; (
a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要 a b

a?b 2 ) ?; 2

②若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab , 三.简单的绝对值不等式

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

|x|<a ? x2<a2 ? -a<x<a(a>0),|x|>a ? x2>a2 ? x>a 或 x<-a(a>0)。
一般地有:|f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x) ? f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。

真题演练:
1、若 a,b,c 为任意实数,且 a>b,则下列不等式恒成立的是 (A)ac>bc (B)|a+c|>|b+c| (C)a2>b2 ( ) (D)a+c>b+c

2、已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件.

2

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3、若 a>b,下列不等式中一定成立的是() A、

1 1 b ? B、 ? 1C、2a>2bD、lg(a-b)>0 a b a

4、(08·上海)不等式 | x ? 1 |? 1的解集是

5、设 A={x||x-2|<3},B={x||x-1|>1},则 A∩B 等于( ) A、{x| -1<x<5} {x| -1<x<0} B、{x| x<0 或 x>2}C、{x| -1<x<0 或 2<x<5} D、

6、 (2012· 天津高考文科)集合 A ? x ? R x ? 2 ? 5 中的最小整数为.

?

?

7、(2013· 福建高考文科)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 A. ?0, 2? B. ? ?2,0? C. ? ?2, ??? D. ? ??, ?2?

(

)

8、已知 x, y ? (0,??) ,且 A.5

1 1 ? ? 1 ,则 x + 2 y 的最小值为( x y

) D.9

B.6

C.8

9、 (2013· 北京高考文科)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc B.
1 1 ? a b

) D.a3>b3

C.a2>b2

10、 (2011· 陕西高考文科)设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是()
a?b a?b ?b (B) a ? ab ? 2 2 a?b a?b ?b (C) a ? ab ? b ? (D) ab ? a ? 2 2

(A) a ? b ? ab ?

11、 (2012· 浙江高考文科) 若正数 x, y 满足 x+3y=5xy, 则 3x+4y 的最小值是( (A)
24 5

)

(B)

28 5

(C)5

(D)6

12、 (2012· 湖南高考理科)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.
3

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a 13、 (2013· 四川高考文科)已知函数 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小 x

值,则 a ? _____。

二.一元二次不等式与线性规划: 知识回顾:
1、一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则;⑵若 a ? 0 ,则; Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则;⑵若 a ? 0 ,则; 2、一元二次不等式: 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0) △ 情况 一元二次方 一元二次不等式 程 2 △ =b -4ac ax2+bx+c=0 ax2+bx+>0 ax2+bx+c (a>0) (a>0) <0 (a>0) △ >0 不等式解集 不 等 式 解 ?b ? ? 为 {x|x<x1 集为{ x | x1= 2a 或 x>x2} x1<x<x2} x2= 与 解 △ =0
?b ? ? 2a

图 像

x1=x2=x0= b ? 2a

不等式解集 解集为 ? { x | x≠x0,x∈R}

△ <0

方程无解

不等式解集 解集为 ? 为 R(一切实 数)

3、线性规划
平 面 区 域 : 一 般 地 , 二 元 一 次 不 等 式 Ax ? By ? C ? 0 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示

Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平面区域。

4

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真题演练:
1、不在 3x+ 2y< 6 表示的平面区域内的一个点是() A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2) D. (2,0) 2 2、不等式 x +ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( ). A. [-4,4] B. (-4,4)C. ( ? ?,?4] ? [4,??) D. ( ? ?,?4) ? (4,??)

3、 (2013· 上海高考文科)不等式

x <0 的解为. 2x ? 1
1 6 ? x ? x2

4、 (2011· 安徽高考文科)函数 y ?

的定义域是___________

5、 (2011· 广东高考文科)不等式 2x2-x-1>0 的解集是()
1 1 (A)( ? , ?1)(B) (1, + ? ) (C) (- ? ,1)∪(2,+ ? ) (D)(??, ? ) ? (1, ??) 2 2

? x ? 2 y ? 8, ? 6、 (2013· 湖南高考文科)若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为 ?0 ? y ? 3, ?
________

?y ? x ? 7、 (2011· 湖南高考文科)设 m>1,在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z=x+5y ?x ? y ? 1 ?
的最大值为 4,则 m 的值为______ 8、 (2013· 大纲版全国卷高考文科)不等式 x 2 ? 2 ? 2的解集是 () A. ? -1,1? B. ? -2, 2? C. ? -1,0? ? ? 0,1? D. ? -2,0? ? ? 0, 2?

9、 (2013· 重庆)关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0(a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,且
x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? (

)

A.

5 7 15 15 B. C. D. 2 2 2 4

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? y ? 2x ? 则x ? 2 y的最大值是 10、 (2013· 湖南高考理科) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , ? y ? ?1 ?
()

5 5 5 A. - B. 0 C. D. 3 2 2
? x ? y ? 1 ? 0, ? 11、 (2013· 全国Ⅱ高考文科)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的 ? x ? 3, ?

最小值是() A. ?7

B. ?6

C. ?5

D. ?3

三.导数及其应用 知识回顾:
1.导数定义: f ( x ) 在点 x 0 处的导数记作

y ? | x ? x0 ? f ?( x0 ) ? lim
2.常见函数的导数公式:

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

① C ' = 0 ;② ( x n )' = nx n- 1 ;③ (sin x)' = cos x ;④ (cos x)' = - sin x ; ⑤ (a x )' = a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ;⑦ (log a x ) ' = 3.导数的四则运算法则: (1) [ f ( x) g ( x)]? ? f ( x)? g ( x) ? f ( x) g ( x)?
? ? f ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) g ( x) ? (2) ? ? g ( x) ? ? ? g ( x) 2 ? ?
? ? (3) f (u ( x))? ? f u ? u x
1 x ln a

;⑧ (ln x ) ' ?

1 。 x

4.导数的应用: (1)利用导数判断函数单调性: ① f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数;② f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;③
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f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数;

(2)利用导数求极值:①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根;③列表 得极值。

真题演练:
1、 (2011· 江西高考文科)曲线 y ? ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( (A)1 ( B) 2 (C)e (D)
1 e

)

2、 (2013· 大纲版全国卷高考文科)已知曲线 y ? x4 ? ax2 ? 1在点 (?1, a ? 2) 处的切 线的斜率为 8, a =() A. 9 B. 6 C. -9 D. -6

3、(2013· 浙江高考文科)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )

3 4、 (2012· 广东高考理科)曲线 y ?x ?x?3在点(1,3)处的切线方程为.

5、 (2013· 广东高考文科) 若曲线 y=ax2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= .

6、 (2012· 辽宁高考文科· T8)函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2

)

(0, ? ?) (A) (?1,1] (B) (0,1] (C) [1,??) (D)

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7、 (2012· 陕西高考文科)设函数 f ( x) ?
2 ? ln x ,则() x 1 1 (A) x ? 为 f ( x) 的极大值点 (B) x ? 为 f ( x) 的极小值点 2 2

(C) x ? 2 为 f ( x) 的极大值点

(D) x ? 2 为 f ( x) 的极小值点

8、 (2013· 湖南高考文科)已知函数 f ( x) ?

1? x x e ,求 f ( x) 的单调区间。 1 ? x2

9、 (2011· 湖南高考文科 T7)曲线 y ? 率为( )

sin x 1 ? ? 在点 M ( ,0) 处的切线的斜 sin x ? cos x 2 4

(A) ?

1 1 2 2 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2

10、 (2012· 新课标全国高考文科)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 ________

11、函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的导函数 f ?( x) ?

12、 (2013· 广东高考文科· T21)设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x ? k ? R ? . 当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

四.平面向量 知识回顾:
1、 向量的有关概念: ①向量:既有大小又有方向的量。向量常用有向线段来表示。
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②共线向量:方向相同或相反的向量,又叫平行向量。 ③相等向量:长度相等且方向相同的向量。 ④单位向量:长度等于一个单位长度的向量。⑤零向量:长度为零的向量

2、平面向量基本定理: ?? ?? ? 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量

? ? ? ? a ,有且只有一对实数 λ1,λ2 ,使 a = λ1e1 + λ2e2 .
? ? 3、向量的坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) . 则

① a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ③ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; 4、平面向量的数量积:
? ?

② a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ④ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
? ? ? ?

? ?

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| a || b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2 ; 其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方
? ? ? a ? b x1 x2 ? y1 y2 向 上 的 投 影 | a | cos? ? ? ? 2 2 |b| x2 ? y2 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos? ? ? ? ? ; 2 2 2 | a || b | x1 ? y12 x2 ? y2
? ?
? ? ? ? ?

?

?

? ?

? ?

. 向 量 数 量 积 的 性 质 :

真题演练:
1、 (2012·广东高考文科)若向量 AB ? (1 , 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? ( (A) (4,6) (B) (-4,-6) (C) (-2,-2) (D) (2,2) 2、 (2013· 陕西高考文科)已知向量 a ? (1, m),b ? (m,2) , 若 a // b , 则实数 m 等于 ( ) A. ? 2 B.
2

)

C. ? 2 或 2

D. 0

3.(2013· 湖北高考文科)已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为()
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A.
3 2 3 15 B. 2 2

C. -

3 2 2

D.-

3 15 2
A D

4.(2013· 四川)如图,在平行四边形 ABCD 中,对 ??? ? ???? ???? 角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? ____________。
B

O C

5. ( 2013·全 国 卷 高 考 文 科 ) 已 知 向 量 m ? (? ? 1,1), n ? (? ? 2,2) , 若

(m ? n) ? (m ? n) ,则 ? ? ()
A.-3 B.-4 C.-2 D.-1

6.(09· 湖南) 如图 D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, 则() ??? ? ???? ??? ? A. AD + BE + CF =0

??? ? ??? ? ???? B. BD ? CE ? DF =0 ??? ? ??? ? ??? ? D. BD ? BE ? FC =0

???? ??? ? ??? ? C. AD ? CE ? CF =0

7.(2013· 福建高考文科)在四边形 ABCD 中, AC ? (1 , 2), BD ? (?4, 2) 则该四边形 的面积为() A. 5

2 5 B.

C. 5

D. 10

8.(2013· 天津文科)在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的 中点. 若 AC ? BE ? 1 , 则 AB 的长为.

9.已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60° ,c ? t a ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 , 则 t ? _____.

10.(2012· 辽宁文)已知向量 a ? (1,?1),b ? (2, x) ,若 a ? b ? 1,则 x ? ()
( A) ?1 ( B) ? 1 2 (C ) 1 2 ( D) 1
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? ? 11.(09· 辽宁)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 0 , a ? (2,0),| b |? 1 ,则 | a ? 2b |? (
A. 3 B.2 3 C.4 D.12
A D

)

12. ( 2012· 湖南高考文科)如图,在平行四边形 ABCD 中, AP⊥BD ,垂足为 P ,且 AP ? 3 ,则
P B C

AP ? AC ? .

OA 为边, OB 为对角线的矩形中, 13、 (2013· 重庆文科) OA ? (?3, 1),OB ? (?2,k ) ,

则实数 k ? 14 、 ( 2013· 全国Ⅱ文科)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点 , 则
AE ? BD ? .

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