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2016_2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.2抛物线方程及性质的应用高效测评


2016-2017 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 抛物线 方程及性质的应用高效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知过抛物线 y =6x 焦点的弦长为 12,则该弦所在直线的倾斜角是( A. C. π 5π 或 6 6 π 2π 或 3 3 π 3π B. 或 4 4 π D. 2
2

)

?3 ? 解析: 抛物线的焦点为? ,0?,过焦点垂直于 x 轴的弦长为 6≠12, ?2 ?
∴该弦所在直线的斜率存在.

? 3? 2 2 2 2 设直线方程为 y=k?x- ?,与方程 y =6x 联立得:4k x-(12k +24)x+9k =0. ? 2?
设直线与抛物线交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 3k +6 ∴x1+x2= 2 ,
2

k

3k +6 ∴x1+x2+3= 2 +3=12.

2

k

∴k =1,∴k=±1. 答案: B 2.已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 )
2

2

? ? 解析: 抛物线的焦点 F? ,0?,所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x 2 ?2 ?
p p
=y+ , 2 将其代入 y =2px=2p?y+ ?=2py+p , ? 2?
2 2

p

?

p?

所以 y -2py-p =0,所以 y1+y2=2p=4,∴p=2 所以抛物线的方程为 y =4x,准线方程为 x=-1. 答案: B 3.抛物线 y =2px 与直线 ax+y-4=0 的一个交点是(1,2),则抛物线的焦点到该直线
1
2 2

2

2

的距离为( A. 3 3 2 7 5 10

) 2 5 B. 5 D.
2

C.

17 2
2

解析: 由已知得抛物线方程为 y =4x,直线方程为 2x+y-4=0,抛物线 y =4x 的焦 |2+0-4| 2 5 点坐标是 F(1,0),到直线 2x+y-4=0 的距离 d= = . 2 5 2 +1 答案: B 4. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y =±4x C.y =4x
2 2 2

) B.y =±8x D.y =8x
2 2

? ? ? ? 2 解析: 抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为? ,0?,则直线 l 的方程为 y=2?x- ?, ?4 ? ? 4?
a a a? 1?a? ? a? ? 它与 y 轴的交点为 A?0,- ?,所以△OAF 的面积为 ? ???- ?=4,解得 a=±8.所以抛 2 2?4? ? 2? ? ?
物线方程为 y =±8x. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 解析: 根据题意写出直线 AB 的方程后求出 A 点坐标,然后再求解. ∵y =4x 的焦点为 F(1,0),又直线 l 过焦点 F 且倾斜角为 60°,故直线 l 的方程为 y = 3(x-1), 将其代入 y =4x 得 3x -6x+3-4x=0,即 3x -10x+3=0. 1 ∴x= 或 x=3. 3 又点 A 在 x 轴上方,∴xA=3.∴yA=2 3. 1 ∴S△OAF= ?1?2 3= 3. 2 答案: 3
2 2 2 2 2 2

? 10? 2 6.设点 M?3, ?与抛物线 y =2x 上的点 P 之间的距离为 d1,P 到抛物线准线 l 的距离 3 ? ?
为 d2,则当 d1+d2 取最小值时,P 点坐标为________.

2

?1 ? 解析: 当 P 点是 M 与焦点 F? ,0?连线与抛物线交点时,d1+d2 最小,MF 的方程为 y ?2 ?
4 2 2 = x- ,与抛物线 y =2x 联立得 P(2,2). 3 3 答案: (2,2) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知抛物线 y =6x,过点 P(4,1)引一弦,使它恰在 P 点被平分,求这条弦所在直线 方程. 解析: 设弦的两个端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),所求直线方程为 y-1=k(x-4), ∵P1,P2 在抛物线上,∴y1=6x1,y2=6x2, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2) 将 y1+y2=2 代入①得 k= ①
2 2 2

y2-y1 =3, x2-x1

∴直线方程为 3x-y-11=0. 8. 给定抛物线 C: y =4x, F 是抛物线 C 的焦点, 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点. 若 |FA|=2|BF|,求直线 l 的方程. 解析: 显然直线 l 的斜率存在,故可设直线 l:y=k(x-1), 联立?
? ?y=k?x-1?, ? ?y =4x,
2 2

消去 y 得 k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

1 则 x1x2=1,故 x1= .

x2

① ②

→ → 又|FA|=2|BF|,∴FA=2 BF,则 x1-1=2(1-x2) 1 由①②得 x2= (x2=1 舍去), 2

?1 ? 所以 B? ,± 2?,得直线 l 的斜率为 k=kBF=±2 2, ?2 ?
∴直线 l 的方程为 y=±2 2(x-1).

9. (10 分)(2014?河南洛阳八中高二段考)已知抛物线 y =-x 与直线 y=k(x+1)相交 于 A,B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. 解析: (1)证明:设 A(-y1,y1),B(-y2,y2);
? ?y =-x 由? ?y=k?x+1? ?
2 2 2

2

得 ky +y-k=0,

2

3

y1y2=-1,y1+y2=- . k
→ → 2 2 ∴OA?OB=y1y1+y1y2=y1y2(1+y1y2)=0, ∴OA⊥OB. (2)由(1)知|y1-y2|= ?y1+y2? -4y1y= 1 1 ∴S△OAB= ?1?|y2-y1|= 2 2 1 ∴k=± . 6 1 +4= 10,
2

1

1

k2

+4,

k2

4


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