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浙江省温州市平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试(理科)专题二 导数及其应用


平阳县鳌江中学2013 届高三一轮复习全能测试 专题二 导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ; 球的表面积公式: S ? 4 ? R (其中 R 表示球的半径) ;
2

球的体积公式: V ?

4 3

? R (其中 R 表示球的半径) ;
3

锥体的体积公式: V ?

1 3

Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) ;

柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高) ; 台体的体积公式: V ?
1 3 h(S1 ? S1S 2 ? S 2 )

(其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高) .

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1、函数 f ? x ? ? x ? x ? x ? 1 在 x∈[-1,1]上的最大值等于(
3 2

) 32 D. 27 )

A.

4 27
3

B.

8 27

16 C. 27

2、 过曲线 y ? x ? x ? 2 上的点 PO 的切线平行于直线 y = 4x ? 1, 则切点 PO 的坐标为 ( A.(0,-1)或(1,0) C. (-1,-4)或(0,-2) 3、 (2012 年 陕西理)设函数 f ( x ) ? x e ,则
x

B. (1,0)或( ? 1, ? 4) D. (1,0)或(2,8) ( B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 )

A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ? 1 为 f ( x ) 的极大值点

4、函数 y=x3-3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为 A.0 B.1 C.2 D.4 2 2 5、已知二次函数 y=ax +(a +1)x 在 x=1 处的导数值为 1,则该函数的最大值是
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25 A. 16

25 B. 8

25 C. 4

25 D. 2

6、已知 A. c<b<a
2

, B. a<b<c C. b<c<a

,则 a、b、c 的大小关系是( D. b<a<c )



7、已知 f ( x ) ? x ? 2 xf '(1) ,则 f '(0 ) 等于( A.2 B.0 C.-2 D.-4

8、 函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ( ? 1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ( x ) ? 2 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的解集 为( ) A. ( ? 1,1) B. ( ? 1, ?? ) C. ( ?? , ? 1) D.R
'

/ 9、函数 f(x)是定义在 ? 0 , ?? ? 上的非负可导函数,且满足 xf ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,对任意正

数 a、b,若 a< b,则必有 A. af ? a ? ? f ?b ? C. af ?b ? ? bf ? a ? B. bf ?b ? ? f ? a ? D. bf ? a ? ? af ?b ?

2 10、已知 R 上可导函数 f (x ) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3 ) f ? ( x ) ? 0 的解集为





A. ( ?? , ? 2 ) ? (1, ?? ) B. ( ?? , ? 2 ) ? (1, 2 ) C. ( ?? , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) ? ( 2 , ?? ) D. ( ?? , ? 1) ? ( ? 1,1) ? ( 3 , ?? )

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、 (2012 年 广东理)曲线 y ? x 3 ? x ? 3 在点 ? 1, 3 ? 处的切线方程为___________________. 12、与直线 2x-y-4=0 平行且与曲线 y ? 5 x 相切的直线方程是
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13、已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? a x ? 1 在区间 ( ? 1,1) 上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范
3 2

围是__________________.
2 14、已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ? x ? ? 3 x ? 2 xf ' ? 2 ? ,则 f ' ?5 ? ?



15、若函数 f ( x ) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ( k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则 ..
2

实数 k 的取值范围是 16、如图为函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx ? d 的图象, f '( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数,则不等式
3 2

x ? f '( x ) ? 0 的解集为______
2

______.
y

17、若曲线 f ? x ? ? a x ? In x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取 值范围是 .

-

3

o

3

x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本小题满分 14 分)设函数 奇函数.
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f ( x ) ? x ? b x ? cx ( x ? R )
3 2

,已知 g ( x ) ?

f ( x ) ? f '( x )



(1) 求 b、c 的值; (2) 求 g ( x ) 的单调区间与极值.

19、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ( x ? a x ) e ( x ? R ) , a 为实数.
2 x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在闭区间 [ ? 1,1] 上为减函数,求 a 的取值范围.

20、 【2012 重庆理】 (本小题满分 14 分)设 f ( x ) ? a ln x ?
y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴.

1 2x

?

3 2

x ? 1, 其中 a ? R ,曲线

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值.

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21、 (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) 对一切实数
x , y 均有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x ( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 .

(1)求 f ( 0 ) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)若函数 g ( x ) ? ( x ? 1) f ( x ) ? a [ f ( x ? 1) ? x ] 在区间(—1,2)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

22、 (本小题满分 15 分)已知 f ( x ) ? a x ? ln x , x ? (0 , e ], g ( x ) ?

ln x x

,其中 e 是自然常数, a ? R .
1 2

(1)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?



(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

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平阳县鳌江中学 2013 届高三一轮复习全能测试 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A B B D B C D 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、 2 x ? y ? 1 ? 0 12、16x-8y+25=0 13、 -1 ? a ? 7 14、6 15、 [1, )
2 3

16、 ( ? ? , ? 3 ) ? (0, 3 ) 17、解析

17、 ? 0 , ? ? ?
?

由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f ? x ? ? 2 a x ?
?

1 x

。因为存在垂直于 y 轴
1 x

的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2 a x ? 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ? 2 a x 与 h ? x ? ?
1 x

存在零点。

存在交点。当 a ? 0 不符合题

意,当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个 交点,故有 a ? 0 应填 ? ? ? , 0 ? 或是 ? a | a ? 0 ? 。

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2 a x ?
a ? ? 1 2x
2

1 x

? 0 在 ? 0 , ? ? ? 内有解,显然可得

? ? ?? , 0 ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本小题满分 14 分)解:(1) ∵ f '( x ) ? 3 x 2 ? 2 b x ? c ∴ ∵
g ( x ) ? f ( x ) ? f '( x ) ? x ? ( b ? 3) x ? ( c ? 2 b ) x ? c
3 2

g (x)

是奇函数



g (? x) ? ? g ( x)

恒成立

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即 ∴ (2) ∵ ∴

? x ? ( b ? 3) x ? ( c ? 2 b ) x ? c ? ? x ? ( b ? 3) x ? ( c ? 2 b ) x ? c
3 2 3 2

?b ? 3 ? 0 ? ? ?c ? 0 ?



?b ? 3 ? ? ?c ? 0 ?

g (x) ? x ? 6 x
3

g '( x ) ? 3 x ? 6 ? 3( x ?
2

2 )( x ? 2

2)

由 g '( x ) ? 由 g '( x ) ? ∴
f (x) f (x)

0得 x ? ? 0得 ?

2 或 x ? 2

2 ? x ?

? 的递增区间为 ( ? ? ,

2 ), ( 2, ? ) ?

的递减区间为 ( ?
2) ? 4

2, 2 )
2 2

f ( x)极大值 ? f (?

f ( x)极小值 ? f ( 2 ) ? ?4

2 x 19、 (本小题满分 14 分)解: (1)当 a ? 0 时, f ( x ) ? x e

f ( x ) ? 2 xe
/

x

? x e
2

x

? (x

2

? 2 x ) e ,由 f ( x ) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ? 2
x /

故 f ( x ) 单调增区间为 ( 0 , ?? ) 和 ( ?? , ? 2 ) (2)由 f ( x ) ? ( x ? ax ) e , x ? R
2 x

? f ( x ) ? (2 x ? a )e
/ 2

x

? (x

2

? ax ) e

x

? x

?

2

? (2 ? a ) x ? a e

?

x

记 g ( x) ? x ? (2 ? a ) x ? a , 依题 x ? ?? 1,1 ? 时, g ( x ) ? 0 恒成立,结合 g ( x ) 的图象特征
? g (1 ) ? 3 ? 2 a ? 0 ? g ( ? 1) ? ? 1 ? 0

得?

即a ?

3 2

, a 的取值范围 [ , ?? ) .
2

3

20、 (本小题满分 14 分)解:(1)因 f ? x ? ? a ln x ?

1 2x

?

3 2

x ? 1 ,故 f ? ? x ? ?

a x

?

1 2x
2

?

3 2

由 于 曲 线 y ? f ? x? 在 点 ? 1 , f ? 1 ? 处 的 切 线 垂 直 于 y 轴 , 故 该 切 线 斜 率 为 0, 即 ?
f ? ?1 ? ? 0 ,

从而 a ?

1 2

?

3 2

? 0 ,解得 a ? ? 1 1 2x
2

(2)由(1)知 f ? x ? ? ? ln x ?
f ?? x? ? ? 1 x 1 2x
2

?

3 2

x ? 1? x ? 0 ? ,

?

?

3 2

?

3x ? 2x ?1 2x
2

? f ?? x? ?

(3 x ? 1)( x ? 1) 2x
2

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令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? ?

1 3

(因 x 2 ? ?

1 3

不在定义域内,舍去),

当 x ? ? 0 ,1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上为减函数; 当 x ? ? 1, ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上为增函数; 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ? 1 ? ? 3 .

21、 本小题满分 15 分) (1) x ? 1, y ? 0 ? f (1) ? f ( 0 ) ? 2 ,? f (1) ? 0 ? f ( 0 ) ? ? 2 ( 解: 令 (2)令 y ? 0 ? f ( x ) ? f ( 0 ) ? x ( x ? 1) ? x ? x ? 2
2

(3) g ( x ) ? ( x ? 1) f ( x ) ? a [ f ( x ? 1) ? x ]
? ( x ? 1)( x ? x ? x
3 3 2 2

? x ? 2 ) ? a [( x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) ? 2 ? x ]
2 2

? 2x ? x
2

? x ? 2 ? ax

2

? 2 ax

? x ? (2 ? a ) x g ?( x ) ? 3 x
2

? (1 ? 2 a ) x ? 2

? 2 ( 2 ? a ) x ? (1 ? 2 a ) g ? ( x ) ? 0 在 ( ? 1, 2 ) 上恒成立

g ( x ) 在 ( ? 1, 2 ) 上是减函数即 即3x
2

? 2 ( 2 ? a ) x ? (1 ? 2 a ) ? 0 在 ( ? 1, 2 ) 上恒成立
?3 ? 2 a ? 4 ? 1 ? 2 a ? 0 19 ? ? ? a ? 6 ?12 ? 8 ? 4 a ? 1 ? 2 a ? 0
1 x ? x ?1 x

令? ?

? g ( ? 1) ? 0 ? g (2) ? 0

' 22、 (本小题满分 15 分)解: (1)? f ( x ) ? x ? ln x , f ( x ) ? 1 ?

,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,
'

此时 f ( x ) 单调递减,
' 当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增,∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ;

(2)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上的最小值为 1 、∴ f ( x ) ? 0, f ( x ) m in ? 1 , 令 h(x) ? g (x) ?
1 2 ? ln x x 1 e ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2

,h ( x ) ?
'

1 ? ln x x
2

,当 0 ? x ? e 时, h ( x ) ? 0 , h ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递增,
'

∴ h ( x ) m ax ? h ( e ) ?

? 1 ? f ( x ) m in 、∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?
1 x ax ? 1 x

1 2



' (3)假设存在实数 a ,使 f ( x ) ? a x ? ln x , x ? (0, e ] 有最小值 3 , f ( x ) ? a ?

?

' ① 当 a ? 0 时,? x ? (0, e ] ? f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减, f ( x ) m in ? f ( e ) ? a e ? 1 ? 3 、

解得 a ?

4 e

(舍) ,所以,此时 f ( x ) 无最小值.

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②当 0 ?

1 a

? e 时,f ( x ) 在 ( 0 ,

1 a

) 上单调递减, ( 在

1 a

, e ] 上单调递增、f ( x ) m in ? f (

1 a

a ) ? 1 ? ln a ? 3 , ? e ,
2

满足条件. ③ 当
1 a ? e 时,? x ? ( 0 , e ],? f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减, f ( x ) m in ? f ( e ) ? a e ? 1 ? 3 ,
'

解得 a ?

4 e

(舍) ,所以,此时 f ( x ) 无最小值.

综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e ] 时 f ( x ) 有最小值 3 .

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