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【金版学案】2013-2014学年度高中数学 1.1 空间几何体的结构同步辅导与检测课件 新人教A版必修2


空间几何体

1.1 空间几何体的结构

利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,
认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并 能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构.

基础梳理 1.空间几何体的分类

空间几何体
多面体 定义 旋转体 由一个平面图形绕它所在 由若干个_________ 平面内的一条______旋转 围成的几何体 所形成的______________

平面多边形 定直线 封闭几何体

图形

面:围成多面体的各个 相关 ________ 轴:形成旋转体所绕的 概念 棱:相邻两个面的______ ________ 顶点:______的公共点 多边形 公共边 棱与棱 定直线

2.多面体 多面 体 定义 图形及表示 相关概念

有两个面互相 ______,其余各 面都是________, 并且每相邻两个 棱柱 四边形的公共边 都互相______, 由这些面所围成 的多面体叫做棱 如图可记作:棱柱 柱 ____________ 平行 四边形 平行 公共边 公共顶点 ABCD—A′B′C′D′

底面(底):两个 互相____的面 侧面:____ 侧棱:相邻侧 面的______ 顶点:侧面与 底面的 ________
其余各面

平行

多面 体

定义

图形及表示

相关概念

有一个面是 ______,其余 各面都是有一 个公共顶点的 棱锥 ______,由这 些面所围成的 多面体叫做棱 锥 多边形 三角形 公共顶点

如图可记作:棱 锥____________
多边形

底面(底): ______面 侧面:有公共顶 点的各个 ________ 侧棱:相邻侧面 的______ 顶点:各侧面的 ________

SABCD

三角形面 公共边

多面 体

定义

图形及表示

相关概念

用一个 _________ _____的平 面去截棱 棱台 锥,底面 与截面之 间的部分 叫做棱台

如图可记作:棱台 ______________

上底面:原棱锥的 ______ 下底面:原棱锥的 ______ 侧面:其余各面 侧棱:相邻侧面的 公共边 顶点:侧面与上(下 )底面的公共顶点
截面 底面

平行于棱锥底面 ABCD—A′B′C′D′

练习1.多面体至少有几个面?几条棱?几个顶点? 答案:4个 6条 4个

练习2.棱柱两底面全等且互相平行对吗? 答案:对 练习3.棱柱的侧棱长度和位置关系如何?侧面是什么四 边形? 答案:长度相等,互相平行 平行四边形 练习4.三棱台有几个面?两底面形状和位置关系如何? 答案:5个面 两底面是相似三角形且互相平行

3.旋转体 名称 相关概念 轴:______叫做圆柱 以______ 的轴;底面: 所在直线 ________的边旋转而 成的______叫做圆柱 为旋转轴, 其余三边 的底面;侧面: 圆柱 旋转形成 ________的边旋转而 的面所围 成的曲面叫做圆柱的 成的 侧面;母线:无论旋 ______叫 转到什么位置, __________的边都叫 做圆柱 做圆柱侧面的母线 定义 图形 表示法 圆柱用 ______ ______ ____表 示,左 图中圆 柱表示 为 ______ 平行于轴

矩形的一边 旋转体 旋转轴 垂直于轴 圆面 不垂直于轴 表示它的轴的字母 圆柱OO′

名称

定义

以直角三 角形的 ______所 在直线为 旋转轴, 圆锥 其余两边 旋转形成 的面所围 成的旋转 体叫做 _____

相关概念 轴:______叫做圆锥 的轴;底面: ________的边旋转而 成的______叫做圆锥 的底面;侧面:直角 三角形的____边旋转 而成的______叫做圆 锥的侧面;母线:无 论旋转到什么位置, 不垂直于轴的边都叫 做圆锥侧面的母线

图形

表示法 圆锥用 _______ _______ __表示, 左图中 圆锥表 示为 _______ _____

一条直角边 圆锥 旋转轴 垂直于轴 表示它的轴的字母 圆锥SO

圆面



曲面

用平行于圆锥 底面的平面去 圆台 截圆锥,底面 与____之间的 部分叫做____ 以半圆的 ______所在直 线为旋转轴, 半圆面旋转一 周形成的旋转 体叫做球体, 简称球

与圆柱和圆锥 一样,圆台也 有____、_____、 _____、_____ 球心:______ 叫做球的球心; 半径: _________叫做 球的半径;直 径:________ 叫做球的直径

圆台用 _____表示, 左图中圆 台表示为 _____



球常用 ________ 表示,左 图中的球 表示为 ____

截面 圆台 轴 底面 侧面 母线 表示它的轴的字母 圆台O′O 直径 半圆的圆心 半圆的半径 半圆的直径 球 心字母 球O

4.简单组合体的结构特征 (1)定义:由__________组合而成的几何体叫做简单组 合体. (2)简单组合体的两种基本形式: 简单组合体
? ?由简单几何体 ? ? ?由简单几何体

而成; 而成.

简单几何体 拼接 截去或挖去一部分

思考应用

1.多面体与旋转体的主要区别是什么?
解析:多面体是由多个多边形围成的几何体,旋转体是由 平面图形绕轴旋转而形成的几何体. 2.下列说法中,正确的是( ) A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点 的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是 棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 解析:由多面体的定义知B、C、D不正确. 答案:A

3.将下列几何体按结构特征分别填空: ①课本;②铅球;③量筒;④三棱镜;⑤金字塔;⑥滤 纸卷成漏斗;⑦量杯;⑧羽毛球;⑨粉碎机上的料斗.

(1)棱柱结构特征的有____________;
(2)棱锥结构特征的有____________; (3)圆柱结构特征的有____________; (4)圆锥结构特征的有____________; (5)棱台结构特征的有____________; (6)圆台结构特征的有____________; (7)球结构特征的有____________. 解析:按照柱、锥、台、球的结构特征逐一分类. 答案:(1)①④ (2)⑤ (7)② (3)③ (4)⑥⑧ (5)⑨ (6)⑦

4.下图表示的几何体的结构特征是什么?

解析:图(1)表示的几何体是一个三棱柱挖去了一个圆
柱;图(2)表示的几何体是一个圆锥内挖去了一个四棱柱.

自测自评 1.请给以下各几何体分类,如图所示.

答案:(1)为球体,(2)为圆柱体,(3)为圆锥体,(4)为 圆台,(5)(7)为棱锥,(6)为棱柱.

2.下图是由哪个平面图形旋转得到的( A )

3.判断如图所示的几何体是不是棱台?为什么?

解析:①②③都不是棱台.因为①和③都不是由棱 锥所截得的,故①③都不是棱台,虽然②是由棱锥所截 得的,但截面不和底面平行,故不是棱台,只有用平行 于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分才 是棱台.

多面体的概念 说出如图所示的几何体的结构特征.

解析:图中的几何体ABCD—
A1B1C1D1是四棱台.以下从棱台的 结构特征来作具体描述.

①面ABCD和面A1B1C1D1是四
棱台的两个底面,都是四边形,其中四边形A1B1C1D1是上 底面,四边形ABCD是下底面.

②四棱台的侧面A1B1BA,B1C1CB,C1D1DC,D1A1AD 都是梯形.
③AA1,BB1,CC1,DD1叫四棱台的侧棱.

④A,B,C,D,A1,B1,C1,D1叫四棱台的顶点.

点评:要认识一个几何体的结构特征,就是要从 “形”的各个角度进行描述.主要从它的面(侧面、底面)、 棱、顶点等角度描述,棱柱、棱锥、棱台的结构特征都是

用一些平面几何中的点、线、平面几何图形来表述的.

跟踪训练 1.下列说法正确的是( )

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫

棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何 体叫棱柱 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形

解析:A、B都错,反例如图(1);C也错,反例如 图(2),上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正 方形,它不是正方体.根据棱柱的定义知D对.

答案:D

旋转体的概念 一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直 线旋转所得几何体是圆锥吗?如果以斜边上的高所在的直线 为轴旋转180°得到什么图形?旋转360°又得到什么图形? 解析:图(1)、(2)旋转一周围成的几何体是圆锥,图(3) 旋转一周所得几何体是两个圆锥的组合体;图(4)旋转180° 是两个半圆锥的组合体,旋转360°是一个圆锥.

点评:(1)旋转体的形状关键在轴的确定.看另两边 的轨迹,应结合想象力或动手做去分析所形成的几何 体. (2)直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所围成 的几何体是圆锥,绕其斜边所在直线旋转一周所围成的 几何体是两个圆锥的组合体.

跟踪训练 2.(1)以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周,所形成的 旋转体是________. (2)下图是由________几何体组成的.

答案:(1)圆台 (2)球、圆柱

简单组合体的结构特征 指出图中的图形是由哪些简单几何体构成的.

解析:(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的. (2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的. (3)是一个球和一个三棱锥组合而成的. 点评:解决这类判断实物图是由哪些简单几何体所组 成的图形的问题,首先要熟练掌握简单几何体的结构特征, 其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体. 会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,我们 应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的 几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.

跟踪训练 3.如图是一个矩形的游泳池,池 底为一斜面,装满水后形成的几何体由 哪些简单几何体组成? 答案:游泳池装满水后形成的几何体是一个棱柱(两底面 水平放置),但这个棱柱可看成由一个长方体补上一个三棱柱 得到如图(1);也可由长方体切割去一个三棱柱得到如图(2).

空间几何体的侧面展开图 请画出如图所示的几何体的侧面展开图.

解析:展开图如图所示.

点评:要画一个几何体的侧面展开图,可先用硬纸 做一个相应的几何体实物模型,然后沿着某些棱把它剪 开,并铺成平面图形,进而画出相应的平面图形.将几

何体的侧面展开,有利于解决与几何体表面有关的问
题.

跟踪训练 4.(巧解题)如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在A点

有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,问蚂
蚁爬行的最短距离是多少?

解析:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图 形——矩形,如图所示,连接AB′,则AB′即为蚂蚁爬行的最 短距离.

∵AB=A′B′=2,AA′为底面圆的周长,且AA′=2π×1 =2π, ∴AB′=
A′B′2+AA′2= 4+?2π?2=2 1+π2,

2 2 1 + π 所以蚂蚁爬行的最短距离为 .

1.在棱柱中( D )

A.只有两个面平行
B.所有的棱都相等

C.所有的面都是平行四边形
D.两底面平行,且各侧棱也平行

2.如图所示几何体中是棱柱的有( C )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

1.理解几何体的概念,要把握住柱、锥、台、球各 自的结构特征,注意利用定义进行辨析. 2.由于初学立体几何,要善于通过实物模型,增强 直观感知. 3.运用反例的作用,强化对多面体与旋转体定义的 理解.常见的几个反例:


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