伤城文章网 > 数学 > 2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习椭圆

2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习椭圆


第一节 椭 圆 一. 内容归纳
1.知识精讲 [1] 椭圆的两种定义: ①平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。其 中两定点 F1,F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹。 注意:(1)椭圆的定义用点集语言叙述:①点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};②点 集 M={P| PF ? e ,0<e<1 的常数}。 d (2)定义①中的定长大于| F1F2|避免了动点轨迹是线段或不存在的情况,定义②中的 0 <e<1,区别于另两种曲线。 [2] 标准方程:(1)焦点在 x 轴上,中心在原点: x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0); a2 b2
焦点 F1(-c,0), F2(c,0)。其中 c ? a2 ? b2
(2)焦点在 y 轴上,中心在原点: y 2 ? x 2 ? 1(a>b>0); a2 b2

焦点 F1(0,-c),F2(0,c)。其中 c ? a2 ? b2

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0, c ? a2 ? b2 并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当 A<B 时, 椭圆的焦点在 x 轴上,A>B 时焦点在 y 轴上。
[3]性质:对于焦点在 x 轴上,中心在原点: x2 ? y 2 ? 1(a>b>0)有以下性质: a2 b2
① 范围:|x|≤a,|y|≤b; ② 对称性:对称轴方程为 x=0,y=0,对称中心为 O(0,0); 顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴|A1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b; ③ 离心率:e= c (焦距与长轴长之比);
a

④ 准线方程: x ? ? a 2 ; c

⑥焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0。

焦点在

y

轴上,中心在原点:

y2 a2

x2 ?
b2

? 1(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。

重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。 2. 思维方式:待定系数法与轨迹方程法。 3. 特别注意:椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件 a,b,一个定位条件焦点坐标或准线 方程.

二.问题讨论

例 1:(1)已知 F1 为椭圆的左焦点,A,B 分别为椭圆的右顶点与上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,椭圆的离心率 e=_______。
(2) 设椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点 P 到右准线的距离为 10,那么点 P 到左焦点的距离等于 100 36
_______。

(3)已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点 P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍,则 P 的 25 9
坐标是_________。

解:(1)设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0), c ? a2 b2

a2 ? b2 , F1(-c,0),则点 P(?c, b 2 ) ,
a



PO∥AB



kAB=kOP 即 ?

b a

?

? b2 ac

,∴b=c,故 e

?

2。 2

(2)由椭圆的第二定义得:点 P 到左焦点的距离等于 12。
(3)设 P(x,y),F1,F2 分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为 x ? ? 25 , 4

故 | PF1 | ? | PF2 | ,∵|PF1|=2|PF2|,∴ x ? ? 119 ,故 P( 25 ,? 119 ) 。

25 ? x 25 ? x

4

12 4

4

4

【思维点拨】1)求离心率一般是先得到 a,b,c 的一个关系式,然后再求 e; 2)由椭圆的一 个短轴端点,一个焦点,中心 O 为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到; 3)结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。 例 2:(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆
的长轴长是 6,且 cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。 (2)若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM(O 为原

点)的斜率为 2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程。
2

解:(1)∵椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA=2/3,∴点 A 不是长轴的端点。∴|OF|=c,|AF|=a=3,

∴c=2,b2=5。∴椭圆方程是 x 2 ? y 2 ? 1,或 x 2 ? y 2 ? 1。

59

95

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M( x1 ? x2 , y1 ? y2 ).

2

2



?x ??ax2

? ?

y? by 2

1 ?

1

消去

y



(a ? b)x2 ? 2bx ? b ?1 ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? b , 2 a?b

y1 ? y2 =1- x1 ? x2 ? a ,

2

2 a?b



M

(

a

b ?

b

,

a

a ?

b

)

,∴由

k

OM

?

2 得b ?
2

2a ……①;

又 OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即

x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴ (2 b ?1)? 2b ? 1 ? 0 , ∴a+b=2……②. a?b a?b

联立①②得 a ? 2( 2 ?1), b ? 2 2( 2 ?1) ∴方程为 2( 2 ?1)x 2 ? 2 2( 2 ?1) y 2 ? 1 .

【思维点拨】“OA⊥OB ? x1x2+y1y2=0”(其中 A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论.
例 3:已知椭圆的焦点是 F1(-1,0),F2(1,0),P 为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2| 的等差中项。(1)求椭圆方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠P F1F2=1200,求 tan∠F1PF2。

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,c=1。∴2a=4,∴b=

3 。∴椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1。 43

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2 F1=600-θ ,由正弦定理并结合等比定理可得到

| F1F2 s in ?

| ?

| PF2 | sin120 0

?

| PF1 | sin(60 0 ?? )

?

s

in

| PF2 | 120 0 ?

? | PF1 sin(60 0

| ?

?

)

,

∴化简可得 5sin? ? 3(1 ? cos? ) ,∴ tan ? ?

s in ?

?

3
,

2 1 ? cos? 5

从而可求得

tan∠F1PF2=

53 11



【思维点拨】解与△P F1F2 有关的问题(P 为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理,并且结 合|PF1|+|PF2|=2a 来求解。
例 4:(1)已知点 P 的坐标是(-1,3),F 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点,点 Q 在椭圆上移动,当 16 12
QF ? 1 PQ 取最小值时,求点 Q 的坐标,并求出其最小值。 2

(2)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 e ? 3 ,已知点 P ?? 0, 3 ?? 这

2

? 2?

个椭圆上的点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离是 7

的点的坐标。
解(1)由椭圆方程可知 a=4,b= 2 3 ,则 c=2, e ? 1 , 2
椭圆的右准线方程为 x=8
过点 Q 作 QQ’ ? l 于点 Q’, 过点 P 作 PP’ ? l 于点 P’,

QF

则据椭圆的第二定义知,

?e

QQ '

? ? ? QF ? 1 QQ' , QF ? 1 PQ ? 1 QQ' ? PQ

2

2

2

易知当 P、Q、Q’在同一条线上时,即当 Q’与 P’点重合时, QQ' ? PQ 才能取得最小值,

最小值为 8-(-1)=9,此时点 Q 的纵坐标为-3,代入椭圆方程得 x ? ?2 。
因此,当 Q 点运动到(2,-3)处时, QF ? 1 PQ 取最小值 9. 2

(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 1?a ? b ? 0?
a2 b2

由 e2

?

c2 a2

?

a2 ?b2 a2

? 1 ? ?? b ??2 ?a?

?

3 ,解得 b

4

a

?

1 ,设椭圆上的点(x,y)到点 P 的距离为 d 2

则d 2

?

x2

? ?? y ? ?

3 ?2 ?
2?

? a2

?

a2 b2

y2

? ?? y ? ?

3 ?2 ?
2?

?

?3?? y ? ?

1 ?2 ?
2?

? 4b2

?3

? ? 其中 ? b ? y ? b ,如果 b ? 1 ,

则当 y=-b 时,d2 取得最大值

7

2

? ??b ?

3 ?2 ?

2

? 2?

解得 b= 7 ? 3 ? 1 与 b ? 1 矛盾,

22

2

故必有 b ? 1 2

? ? 当 y ? ? 1 时 d2 取得最大值, 7 2 ? 4b2 ? 3 2

解得 b=1,a=2

所求椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 4

由 y ? ? 1 可得椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点为 ?? ? 3,? 1 ?? , ?? 3,? 1 ??

2

?

2? ? 2?

三、课堂小结: 1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数 a,b,c,,e 的相互关系,几何意义与一些概念的联 系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).

2.在椭圆的两种标准方程中,总有 a>b>0, c ? a2 ? b2 并且椭圆的焦点总在长轴上;
3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用. 四、课外作业:
P298 能力提高


搜索更多“2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习椭圆”

学习资料共享网 | 文档资料共享网 | 兰溪范文 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库

晓灵聚合阅读网 | 弘亮中文吧 | 薇歌中文阅读平台 | 好看的阅读网站 | 允晨阅读小屋网 | 寒天阅读平台 | 水彤中文网 | 雨彤平台 | 伟泽中文阅读之家 | 梓舒阅读吧 | 嘉谊阅读家 | 好看的阅读站 | 修文中文阅读吧 | 康复中文阅读网 | 颐真中文小说网 | 初柔看书网 | 小凝小说网 | 桂月阅读之家 | 沛文阅读吧 | 如风聚合网 | 鑫鹏中文吧 | 兴学中文阅读平台 | 映阳中文看书网 | 淳雅阅读网 | 今雨阅读平台 | 又儿网 | 凝雨阅读网645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971
网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com