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2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换课时作业273.1两角和与差的正弦余弦正切公式新人教A版必修


2019-2020 年高中数学第三章三角恒等变换课时作业 273.1 两角和与差的

正弦余弦正切公式新人教 A 版必修

1.若 a·b<0,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是( )

A.[0,π2 )

B.[π2 ,π )

C.(π2 ,π ] 答案 C

D.(π2 ,π )

解析 ∵a·b=|a||b|cosθ <0,∴cosθ <0,又 θ ∈[0,π ],∴θ ∈(π2 ,π ]. 2.已知|a|=|b|=2,a·b=2,则|a-b|=( )

A.1

B. 3

C.2

D. 3或 2

答案 C

解析 |a-b|= |a-b|2= (a-b)2= a2-2a·b+b2= 22-2×2+22=4=2.

3.已知|a|=3,|b|=2,〈a,b〉=60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),则 m 的值为( )

A.3223

B.2432

C.2492

D.4223

答案 C

解 析 (3a + 5b)·(ma - b) = 0 , 即 3ma2 + (5m - 3)a·b - 5b2 = 0 ? 3m · 32 + (5m -

3)·3×2cos60°-5×22=0,解之得 m=4229.

4.已知向量 a=(-2,1),b=(1,x),a⊥b,则 x=( )

A.-1

B.1

C.-2

D.2

答案 D

解析 a⊥b?a·b=0? -2+x=0? x=2.

5.若向量 a 与 b 的夹角为π3 ,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量 a 的模为(

)

A.2

B.4

C.6

D.12

答案 C

解析 由题意知 a·b=|a||b|cosπ3 =12|a||b|=2|a|,(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2

=|a|2-2|a|-6×42=-72,∴|a|=6. 6.在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量O→P绕点 O 按逆时针方向旋转3π4 后

得向量O→Q,则点 Q 的坐标是( )

A.(-7 2,- 2)

B.(-7 2, 2)

C.(-4 6,-2)

D.(-4 6,2)

答案 A

解析 画出草图(图略),可知点 Q 落在第三象限,则可排除 B、D,代入 A,cos∠QOP=

6×(-7

2)+8×(- 62+82

2)=-510002=-

2 2

,所以∠QOP=34π

.代入

C,cos∠QOP=

6×(-4 6)+8×(-2) -24 6-16

2

62+82

= 100 ≠- 2 ,故选 A.

7.以下选项中,不一定是单位向量的有( )

①a=(cosθ ,-sinθ ); ②b=( lg2, lg5);③c=(2x,2-x); ④d=(1-x,x).

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

答案 B

解析 因为|a|=1,|b|=1,|c|= (2x)2+(2-x)2≠1,

|d|= (1-x)2+x2= 2x2-2x+1=

2(x-12)2+12≥

2 2 .故选

B.

8.设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,a ⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( ) A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 B.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形的面积 D.以 b,c 为两边的三角形的面积 答案 A 解析 由题知 a⊥c,∴|cos〈b,c〉|=|sin〈a,b〉|,又|a|=|c|,∴|b·c|=|b||c||cos 〈b,c〉|=|b||a||sin〈a,b〉|.故选 A.

9.已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b=________. 答案 10

解析 ∵a=(-2,-6),∴|a|= (-2)2+(-6)2=2 10.

∴a·b=2 10× 10cos60°=10. 10.(xx·山东,文)已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值

为________. 答案 -5 解析 根据已知,a2=2,a·b=10.由 a⊥(ta+b),得 a·(ta+b)=ta2+a·b=2t+10= 0,解得 t=-5. 11.已知向量→OA=(k,12),O→B=(4,5),O→C=(-k,10),且 A、B、C 三点共线,则 k=________.
2 答案 -3

12.已知点 A(2,3),若把向量→OA绕原点 O 按逆时针旋转 90°得到向量O→B,则点 B 的坐标为 ________. 答案 (-3,2) 解析 设点 B 的坐标为(x,y),因为→OA⊥→OB,|O→A|=|→OB|, 所以?????2xx2++y32y==103,,解得?????xy= =- 2 3,或?????xy==3-,2(舍去). 故 B 点的坐标为(-3,2).

13.求与向量 a=( 3,-1)和 b=(1, 3)夹角相等且模为 2的向量 c 的坐标.

? 3x-y=x+ 3y,

? 解析 设 c=(x,y),cosθ 1=cosθ 2,所以 2 2

22

? x2+y2= 2.

??x=1+2 3, ??x=-1+2 3, 解得???y=-1+2 3.或???y=1-2 3.

故 c=(1+2 3,-1+2 3)或 c=(-1+2 3,1-2 3). 14.已知向量 a=(4,3),b=(-1,2). (1)求 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 a-λ b 与 2a+b 垂直,求 λ 的值. 解析 (1)|a|= 42+32=5,|b|= (-1)2+22= 5. a·b=-1×4+3×2=2,

a·b

2 25

∴cosθ =|a||b|=5×

= 5

25

.

(2)a-λ b=(4,3)-(-λ ,2λ )=(4+λ ,3-2λ ).

2a+b=(8,6)+(-1,2)=(7,8).

若(a-λ b)⊥(2a+b),则 7(4+λ )+8(3-2λ )=0,

解得 λ =592.

15.已知点 A(1,2)和 B(4,-1),问能否在 y 轴上找到一点 C,使∠ACB=90°,若不能,

请说明理由;若能,求出 C 点的坐标.

解析 假设存在点 C(0,y)使∠ACB=90°,则A→C⊥B→C.

∵A→C=(-1,y-2),→BC=(-4,y+1),→AC⊥→BC,

∴A→C·B→C=4+(y-2)(y+1)=0,∴y2-y+2=0. 而在方程 y2-y+2=0 中,Δ <0, ∴方程无实数解,故不存在满足条件的点 C.

16.已知 a、b 是两个非零向量,且满足|a|=|b|=|a-b|,求:

(1)a 与 a+b 的夹角; |a+b|2
(2)求 a·b 的值.

解析 解法一:设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). ∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22. 由|b|=|a-b|,得 a·b=x1x2+y1y2=12(x12+y12).

由|a+b|2=2(x12+y12)+2×12(x12+y12)=3(x12+y12),得|a+b|= 3(x12+y12).

(1)设 a 与 a+b 的夹角为 θ (0°≤θ ≤180°),

a·(a+b) (x12+y12)+12(x12+y12)

3

则 cosθ =|a|·|a+b|= x12+y12· 3· x12+y12 = 2 .∴θ =30°.

(2)|aa+·bb|2=312( (xx1122++yy1122))=6.

解法二:根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2.

又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=12|a|2.

而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=3|a|.

(1)设 a 与

a+b

的夹角为 θ

,则 cosθ

a·(a+b) |a|2+12|a|2

=|a|·|a+b|=|a|·

= 3|a|

23.∴θ

=30°.

|a+b|2 ( 3|a|)2 (2) a·b = 12|a|2 =6.


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