伤城文章网 >  > 2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修1-1

2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修1-1


2.4.2 抛物线的几何性质

学习目标:1.了解抛物线的简单的几何性质,如范围、对称性、顶点和离心率等. 2.

会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题.(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

抛物线的几何性质

类型

y2= 2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=- 2py(p>0)

图象

焦点

F???p2,0???

F???-p2,0???

F???0,p2???

F???0,-p2???

准线

x=-p2

x=p2



范围

x≥0,y∈R x≤0,y∈R

质 对称轴

x轴

y=-p2

y=p2

x∈R,y≥0 x∈R,y≤0

y轴

顶点

O(0,0)

离心率

e=1

开口方向

向右

向左

向上

向下

[基础自测]

1.判断正误:

(1)抛物线是中心对称图形.( )

(2)抛物线的范围是 x∈R.( )

(3)抛物线是轴对称图形.( )

【解析】 (1)×.在抛物线方程中,以-x 代 x,-y 代 y,方程发生了变化,故抛物线

不是中心对称图形.

(2)×.抛物线的方程不同,其范围就不同,如 y2=2px(p>0)的范围是 x≥0,y∈R.

(3)√.抛物线 y2=±2py(p>0)的对称轴是 x 轴,抛物线 x2=±2py(p>0)的对称轴是 y

轴.

【答案】 (1)× (2)× (3)√

2.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a???a>p2???,则点 M 的横坐标是________.

【导学号:95902138】

【解析】 由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x=-p2的

1

距离,所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a-p2. 【答案】 a-p2 [合 作 探 究·攻 重 难]
抛物线的方程及其几何性质 (1)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若 PF =4 2,则△POF 的面积为________. (2)已知拋物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与拋物线交于 A、B 两 点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于 4,求此拋物线的标准方程. [思路探究] (1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解; (2)设出抛物线的标准方程,根据抛物线的对称性表示出三角形的面积,解方程可得抛 物线方程中的参数,即得抛物线的方程. 【自主解答】 (1)如图,设 P(x0,y0),由 PF=x0+ 2=4 2,
得 x0=3 2,代入抛物线方程得 y20=4 2×3 2=24. 所以 y0=2 6.所以 S△POF=12OF·y0=12× 2×2 6=2 3. 【答案】 2 3 (2)由题意,设拋物线方程为 y2=ax(a≠0).焦点 F???a4,0???,直线 l:x=a4, ∴A、B 两点的坐标分别为???a4,a2???,???a4,-a2???, ∴AB=a,∵△OAB 的面积为 4, ∴12·a4·a=4,∴a=±4 2,∴拋物线的方程为 y2=±4 2x. [规律方法] 1.求抛物线的标准方程时,目标就是求解 p,只要列出一个关于 p 的方程即可求解. 2.求抛物线的标准方程要明确四个步骤: (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口); (2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程);
2

(3)找关系(根据条件列出关于 p 的方程);

(4)得出抛物线的标准方程.

[跟踪训练]

1.已知双曲线

x2 y2 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为

2,若抛物线

C2:x2=2py(p>0)

的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,求抛物线 C2 的方程. 【导学号:95902139】
【解】 ∵双曲线 C1:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的离心率为 2,

c ∴a=

a2a+b2=2,∴b=

3a,

∴双曲线的渐近线方程为 3x±y=c, ∴抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点???0,p2???到双曲线的渐近线的距离为??? 3×20±p2???=2, ∴p=8, ∴所求的抛物线方程为 x2=16y.

抛物线中的应用题 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米, 高 2 米,载货后船露出水面上的部分高34米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小 船开始不能通航? [思路探究] 建系 → 设方程 → 求方程 → 求出相关量 → 解决问题 【自主解答】 如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=-2py(p>0),

由题意,将 B(4,-5)代入方程得 p=85,∴抛物线方程为 x2=-156y.∵当船的两侧和拱 桥接触时船不能通航.设此时船面宽为 AA′,则 A(2,yA),由 22=-156yA,得 yA=-54.
又知船露出水面上部分为34米,设水面与抛物线拱顶相距为 h,则 h=|yA|+34=2(米), 即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时,小船不能通航.
3

[规律方法] 1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、 符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题. 2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线主要体现在: (1)建立平面直角坐标系,求抛物线的方程.(2)利用已求方程求点的坐标. [跟踪训练] 2.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如 2?4?1 图所示,某卡车空车时能 通过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 米,车与箱共高 4.5 米,问此车能否通过此隧道?说明 理由.
【导学号:95902140】
图 2?4?1 【解】 建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(-3,-3),A(3,-3).

设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),将 B 点的坐标代入,得 9=-2p·(-3), ∴p=32,∴抛物线方程为 x2=-3y(-3≤y≤0). ∵车与箱共高 4.5 m, ∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m.设抛物线上点 D 的坐标为(x0,-0.5), D′的坐标为(-x0,-0.5),则 x20=-3×(-0.5),解得 x0=± 32=± 26. ∴|DD′|=2|x0|= 6<3,故此车不能通过隧道.

直线与抛物线的综合应用

[探究问题]

1.直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的长是多少?

p

p

【提示】 由抛物线的定义可知 AF=x1+2,BF=x2+2,

4

所以 AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.

2.斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的长是 多少?

【提示】 设直线 l 的方程为 y=kx+m,则 AB= x1-x2 2+ y1-y2 2

= x1-x2 2+ kx1+m-kx2-m 2



+k2 x1-x2 2= 1+k2|x1-x2|.

这个公式称为弦长公式.

(1)已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则该弦所在直线的倾斜角是

________.

(2)求顶点在原点,焦点在 x 轴上且截直线 2x-y+1=0 所得弦长为 15的抛物线方程.

[思路探究] (1)应用焦半径公式求解;(2)应用弦长公式求解.

【自主解答】 (1)抛物线的焦点为???32,0???.设直线方程为 y=k???x-32???,与方程 y2=6x 联立得:4k2x2-(12k2+24)x+9k2=0.设直线与抛物线交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).
∴x1+x2=3kk2+2 6,∴x1+x2+3=3kk2+2 6+3=12.

∴k2=1,∴k=±1.

故弦所在直线的倾斜角是π4 或34π .

【答案】

π 4

或34π

(2)设所求抛物线方程为 y2=ax(a≠0)



直线方程变形为 y=2x+1



设抛物线截直线得弦长为 AB,将②代入①整理得 4x2+(4-a)x+1=0,

则 AB=

2
+22 ??????a-4 4??? -4×14???= 15.解得 a=12 或 a=-4.

故所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-4x.

[规律方法] 直线与抛物线相交的弦长问题

直线和抛物线相交于 A x1,y1 ,B x2,y2 两点,直线的斜率为 k.

+p.

一般的弦长公式:|AB|= 1+k2|x1-x2|. 焦点弦长公式:当直线经过抛物线 y2=2px p>

的焦点时,弦长|AB|=x1+x2

求弦长时,为简化计算常常借助根与系数的关系,这样可以避免分别求 x1,x2 的 麻烦,如果是利用弦长求参数的问题,只需要列出参数的方程或不等式即可求解,而 x1,

5

y2 或 y1,x2 一般是求不出来的. [跟踪训练] 3.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A,B 两点,若
线段 AB 的长为 8,则 p=__________. 【导学号:95902141】
【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线倾斜角为 45°,过抛物线焦点,所以可
2
设直线方程为 y=x-p2,代入抛物线方程得???x-p2??? =2px,即 x2-3px+p42=0,故 x1+x2=3p, 由抛物线的定义可知,|AB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=4p=8,因此 p=2.
【答案】 2 [构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基] 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若 x1+ x2=8,则 PQ 的值为________.
【导学号:95902142】 【解析】 PQ=x1+x2+2=10. 【答案】 10 2.如图 2?4?2,已知等边三角形 AOB 的顶点 A,B 在抛物线 y2=6x 上,O 是坐标原点, 则△AOB 的边长为________.
图 2?4?2
【解析】 设△AOB 边长为 a,则 A??? 23a,a2???,∴a42=6× 23a.∴a=12 3.
【答案】 12 3 3.如图 2?4?3 所示是抛物线形拱桥,当水面在 1 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水 位下降 1 米后,水面宽________米.
6

【导学号:95902143】
图 2?4?3 【解析】 设水面与拱桥的一个交点为 A,如图所示,建立平面直角坐标系,则 A 的坐 标为(2,-2).设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 22=-2p×(-2),得 p=1.

设水位下降 1 米后水面与拱桥的交点坐标为(x0,-3),则 x20=6,解得 x0=± 6,所 以水面宽为 2 6米.

【答案】 2 6

4.已知点 P(6,y)在抛物线 y2=2px(p>0)上,若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于 8,

则焦点 F 到抛物线准线的距离等于__________.

【解析】 抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=-p2,因为 P(6,y)为抛物线上的点,所



P

到焦点

F

的距离等于它到准线的距离,所以

p 6+2=8,所以

p=4,焦点

F

到抛物线准线

的距离等于 4.

【答案】 4

5.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交点,A 为抛物线

上一点,且 AM= 17,AF=3,求此抛物线的标准方程. 【解】 设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0),

设 A(x0,y0),由题知 M???0,-p2???.∵AF=3,∴y0+p2=3,∵AM= 17,

2
∴x20+???y0+p2??? =17,

∴x20=8,代入方程 x20=2py0 得,8=2p???3-p2???,解得 p=2 或 p=4.
∴所求抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=8y.

教学目标:

网络改变世界

1.能够并乐于进行网络交往,享受健康的带来趣

2.在生活中更好地利用网络

3.网络的作用,警惕中陷阱

自主学习:

1.互联网给我们的生活带来了哪些便利?2络3.网络中有哪些陷阱?4怎样预防谣言 对社会的影响?

合作探究:

材料一:小明和父母说,他希望家里有电脑能上网的爸“络不是什么好东西都 假的,骗人而且孩子小没什么自控能力很容易玩游戏上瘾我不赞成买电脑网。”妈说:“络使增长见识获得更多及时信息还用来校学习培养主性再了以后越普他懂会怎和别交流适应社呢?看好 赞成。”

问题一:小明的父母说有道理么?

问题二:你怎么看待上网这件事?

问题三:你知道网络的那些作用?当堂反馈:

1.近日,菏泽市曹县人民法院对利用信息网络实施诽谤案进行宣判以罪处被告李某有期徒刑二年。据悉这是山东省首例虚假发帖恶意他的件此看正确()

A.网络上的言论自由可以不受限制B我国公民享有是真实 的

C.行使权利和自由不能超出法律允许的范围D公民在网络上发表言论

2.随着Wi-F网络和移动支付的普及,每到一地必连已经成了许多智能手机用户习惯。不过在015央视3晚 会上,几位工程师利用伪造Wi-F技术窃看了台下观众的网内容邮箱及密码“准确” 被盗取并在大屏幕上向家展示,让许多人对公共场所Wi-F的安全性产生了担忧。这启我们()

A.免费Wi-F风险大,远离网络避伤害B手机支付要减少财产安全永无忧C.免费Wi-F好处多,省钱实用速度快 D.免费Wi-F要慎用,保护隐私很重

3.在互联网时代, 网络为我们展开了一个全新的、无限广阔交往空间。积极作用体现在()

①网络给了我们自由飞翔的翅膀②交往快捷便利是无可比拟

③网络是一个平等开放的台④交往无限制

A.①②③B④CD

4.当你上网见到类似“点击这里,轻松赚取10万”加人X一个月3只付元贏利之的诱广告时正确判断和选择是()A.信息无价,机会难得要及时抓住遇

B.要冷静分析上述信息,区真伪以免当受骗

C.看到这些信息时,马上公安机关报案

D.大胆尝试,积极合 作,也许能赚到钱

5.在互联网时代,我们进入了一个全新的、广阔 交往空间。我们可以利用网络()

①刷微博,关注好友动③关注国家消息,心大 态②上网店买日用品事④发布虚假消息

A.①②③B④CD

6.网络是一把双刃剑。作为个普通的民,我们应该()

①为了避免伤害,拒绝上网

②自觉抵御网络上的不良诱惑

③利用网络优势,努力学习④遵守法律和道德,文明上网

A.①②③B④CD

7.2015年月,福建泉州警方破获了一起 网络虚假信息诈骗案,犯罪嫌疑人张某利用聊天工具发布超低 价出售全新正品iphone6手机的虚假信息,以各种名目骗取网友汇款共计人民币1875元被判处有期徒刑4年个月并罚金万责令退赔诈所得赃。

(1)该案例反映了网络交往中存在的什么问题?

(2)上述问题对我们进行网络交往有什么警示?

7


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