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18学年高一数学上学期期末复习专题04空间几何体、点线面的位置关系导学案


第四讲 空间几何体、点线面的位置关系 一、基础知识整合 1.简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等且平行的多边形; (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形; (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形. 2.旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 3.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正 上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正,高平齐,宽相等. ②在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线. 4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂 直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°),z′轴与 x′轴、y′轴所在平面垂 直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段, 直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 5.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面, 则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和, 表面积是侧面积与 底面面积之和. 6.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 侧面 展开 图 侧面 积公 式 S 圆 台 侧 = π (r1 + r2)l 圆锥 圆台 S 圆柱侧=2π rl S 圆锥侧=π rl 7.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 体积 V=Sh 1 V= Sh 3 1 台体(棱台和圆台) 球 S 表面积=S 侧+S 上+ S下 S=4π R2 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= π R3 3 8.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2)公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 9.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 平 行 关 系 相 交 关 系 独 有 关 系 图形 语言 符号 语言 图形 语言 符号 语言 图形 语言 符号 语言 a,b 是异面直线 a? α a∩b=A a∩α =A α ∩β =l a∥b a∥α α ∥β 直线与平面 平面与平面 10.平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 11.异面直线所成的角 (1)定义: 设 a, b 是两条异面直线, 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b, 把 a′与 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ? π? (2)范围:?0, ?. 2? ? 12.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义;直线 l 与平面 α 没有公共点,则称直线 l 与平面 α 平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线平行于 此平面 图形表示 符号表示 a?α , b? α a∥b? a∥α , 2 性质定理 一条直线和一个平面平行,则过 这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 a∥α , a? β , α ∩β =b? a∥b 13.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义;没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 判 定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行,则这两个平面平行 两个平面平行, 则其中一个平面内的直 线平行于另一个平面 性 质 定理 图形表示 符号表示 a? α , b? α , a∩b=P, a∥β ,b∥β ? α ∥β α ∥β ,a? α ? a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行 α ∥β , α ∩γ = a , β ∩γ =b? a∥b 14.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α ,b⊥α ? a∥b. (2)a⊥α ,a⊥β ? α ∥β . 15.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的任意直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直,则该直 线与此平面垂直 ? ? a∩b=O ? l⊥α ? a? α ? b? α ? l⊥a l⊥b a⊥α ? ? ?? a∥b b⊥α ? ? 性质定理 两直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行 16.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 3 判定 定理 一个平面经过另一个平面 的一条垂线, 则这两个平面 互相垂直 如果两个平面互相垂直, 则 在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个 平面 l⊥α ? ? ?? α ⊥β ? l? β ? α ⊥β l⊥a l? β 性质 定理 α ∩β =a ? ? ?? l⊥α ? ? 三、热点题型展示 类型一 空间几何体的结构特征 【例 1】 (1)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱

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