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2016-2017学年高中数学阶段质量评估1北师大版选修2-2讲义


第一章

推理与证明

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含二 个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};?;试观察每组内各数之和与其组的编号数 n 有什 么关系( )
2

A.等于 n C.等于 n

B.等于 n

3

4

D.等于 n(n+1)
3

解析: 第一组内各数之和为 1,第二组内各数之和为 3+5=8=2 ,第 3 组内各数之 和为 7+9+11=27=3 ,由此猜想:第 n 组内各数之和为 n . 答案: B 2.给出下列三个类比结论: ①(ab) =a b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β )类比,则有 sin(α +β )=sin α sin β ; ③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +2a·b+b . 共中结论正确的个数是( A.0 C.2 解析: ①②错误,③正确. 答案: B 3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析: 用反证法对命题的假设就是对命题的否定, “至多有一个”的否定是“至少有 两个”,故选 B. 答案: B 4.实数 a,b,c 不全为 0 等价于( A.a,b,c 全不为 0 B.a,b,c 中最多只有一个为 0 C.a,b,c 中只有一个不为 0
1
2 2 2 2 2 2 2 3 3

n

n n

n

n

n

n

) B.1 D.3

)

)

D.a,b,c 中至少有一个不为 0 解析: “不全为 0”等价于“至少有一个不为 0”. 答案: D 5.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 7 5 6 8 9 10 )

根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是( A. C.

n2-n+6
2

B. D.

n2-n+4
2

n -n+2
2

2

n -n
2

2

解析: 第 1 行 1 个数,第 2 行 2 个数,第 3 行 3 个数,第 n-1 行 n-1 个数 ?n-1?·n ∴1+2+?+(n-1)= , 2 ?n-1?·n n -n+6 ∴第 n 行的第 3 个数为 +3= . 2 2 答案: A 6.已知 1+2×3+3×3 +4×3 +?+n×3 么 a、b、c 的值为( 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4 ) 1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c
2 2 2

n-1

=3 (na-b)+c 对一切 n∈N+都成立,那

n

解析: ∵已知等式对一切 n∈N+都成立, ∴当 n=1,2,3 时也成立. 1=3?a-b?+c ? ? 2 即?1+2×3=3 ?2a-b?+c ? ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c, 答案: A 7.用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+?+n = 式左端应添加的项是( A.k +1
2 2

1 a= , ? ? 2 解得? 1 b=c= . ? ? 4

n4+n2
2

,则由 n=k 到 n=k+1 时,等

)

2

B.(k+1)

2

C.[(k+1)+1]
2

2

D.(k +1)+(k +2)+?+(k+1)

2

2

解析: n=k 时,左端为 1+2+3+?+k ,n=k+1 时,左端为 1+2+3?+k +(k +1)+(k +2)+?+(k+1) . 两式相减,可知等式左端应添加的项是 (k +1)+(k +2)+?+(k+1) .故选 D. 答案: D
2 2 2 2 2

2

2

2

1 4 27 a + 8.已知 x∈R ,不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+ n≥n+1,

x

x

x

x

则 a 的值为( A.2 C.2
n

) B.n D.n
2

2(n-1)

n

解析: 观察 a 与 n+1 的关系:1→2,4→3,27→4,即(2-1) →2,(3-1) →3,(4- 1) →4,故(n+1-1) →n+1,所以 a=n . 答案: D 1 1 9.数列{an}中,若 a1= ,an= (n≥2,n∈N),则 a2 009 的值为( 2 1-an-1 A.-1 C.1 解析: ∵an= ∴a2= 1 1 ,又 a1= , 1-an-1 2 B. 1 2 )
3

1

2

n

n

D.2

1 =2. 1-a1

a3= a4=

1 =-1. 1-a2 1 1 =a1= . 1-a3 2

∴数列{an}的项是周期性出现,周期为 3. ∴a2 009=a669×3+2=a2=2. 答案: D 10.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k 成立时,总可推 出 f(k+1)≥(k+1) 成立”.那么,下列命题总成立的是( A.若 f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立 B.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立
3
2 2

)

C.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 成立 D.若 f(4)≥25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 成立 解析: 题设中“当 f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1) 成立”.实际上是 给出了一个递推关系,从数学归纳法来考虑,∵f(4)≥25 成立,∴f(4)≥16 成立,即 k 的 基础值为 4,所以 A、B、C 都错误,故选 D. 答案: D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.在等差数列{an}中,有 Sm+n=Sm+Sn+mnd,其中 Sm,Sn,Sm+n,分别是{an}的前 m,n,
2 2 2

2

m+n 项和,用类比推理的方法,在等比数列{bn}中,有__________________.
解析: 由等差数列到等比数列的运算性质:“和? 积”,“积? 乘方”可猜测在等比
mn

数列中有 Am+n=Am·An·q , 事实上, 设公比为 q, An 为前 n 项积, 则有 Am+n=b1·b2·b3·?·bm
+n

=b1·b1q·b1q ·?·b1q
mn

2

m+n-1

=b1 ·q

m+n

1+2+?+(m+n-1)

=b1 q

m+n

?m+n-1??m+n? 2
mn

又 Am·An·q =(b1·b2·?·bm)·(b1·b2·?·bn)·q =b1·q
m+n m
1+2+?+(m-1)

·b1·q

n

1+2+?+(n-1)

·q

mn

=b1 ·q =b1 ·q
m+n

?m-1?m ?n-1?n + +mn 2 2 ?m+n??m+n-1? 2

故猜测正确. 答案: Am+n=Am·An·q ,其中 Am+n、Am、An 分别是{bn}的前 m+n,m,n 项之积,q 为 公比 12.设函数 f(x)=
mn

x

x+2

(x>0),观察:

x f1(x)=f(x)= , x+2 f2(x)=f[f1(x)]= f3(x)=f[f2(x)]= f4(x)=f[f3(x)]=
? 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N+且 n≥2 时,fn(x)=f[fn-1(x)]=________________. 解析: 由 f(x)= , 3x+4

x

x , 7x+8 x , 15x+16

x

x+2

(x>0)得,
4

x f1(x)=f(x)= , x+2 f2(x)=f[f1(x)]= f3(x)=f[f2(x)]= f4(x)=f[f3(x)]=
? ∴当 n≥2 且 n∈N+时, = 2 2, 3x+4 ?2 -1?x+2 = 3 3, 7x+8 ?2 -1?x+2

x x

x x

x x = 4 4, 15x+16 ?2 -1?x+2

fn(x)=f[fn-1(x)]=
答案:

x
n

?2 -1?x+2
n

n

.

x
?2 -1?x+2
n

13. 平面上, 周长一定的所有矩形中, 正方形的面积最大; 周长一定的所有矩形与圆中, 圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是___________________. 解析: 平面中的“周长”类比为空间中的“面积”, “平面图形”类比成“空间几何 体”,“面积”类比成“体积”,“圆”类比成“球”. 答案: 在空间几何体中,表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一 定的所有长方体与球中,球的体积最大. 14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师, 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 右图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数,则 f(n)=_____________.

解析: 由于 f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6, 推测当 n≥2 时,有 f(n)-f(n-1)=6(n-1),故 f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1) -f(n-2)]+?+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+?+2+1]+1=3n -3n+1. 又 f(1)=1=3×1 -3×1+1, 所以 f(n)=3n -3n+1. 答案: 3n -3n+1 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知 a 是整数,a 是偶数.求证:a 是偶数. 证明: (反证法)假设 a 不是偶数,即 a 是奇数,则设 a=2n+1(n∈Z).
5
2 2 2 2 2

所以 a =4n +4n+1. 因为 4(n +n)是偶数, 所以 4n +4n+1 是奇数, 这与已知 a 是偶数矛盾,故假设错误, 从而,a 一定是偶数. 16.(本小题满分 12 分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的 结论是否成立. (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行. 解析: (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交. 结论是正确的:证明如下:设 α ∥β ,且 γ ∩α =a, 则必有 γ ∩β =b,若 γ 与 β 不相交,则必有 γ ∥β , 又 α ∥β ,∴α ∥γ ,与 γ ∩α =a 矛盾,∴必有 γ ∩β =b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错 误的,这两个平面也可能相交. 17.(本小题满分 12 分)将自然数排成螺旋状如图所示;第一个拐弯处的数是 2,第二个 拐弯处的数是 3,第 20 个及第 25 个拐弯处的数各是多少?
2 2 2

2

2

解析: 前几个拐弯处的数依次是 2,3,5,7,10,13,17,21,26,?,这是一个数列,把 数列的后一项减去前一项,得一新数列:1,2,2,3,3,4,4,5,5,?,把原数列的第一项 2 添 在新数列的前面,得到 2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,?,于是原数列的第 n 项 an 就等于此新数列 的前 n 项和,即 a1=2=1+1=2,a2=2+1=1+(1+1)=3,a3=2+1+2=1+(1+1+2) =5,a4=2+1+2+2=1+(1+1+2+2)=7,?,所以,第 20 个拐弯处的数是:a20=1+ (1+1+2+2+3+3+4+4+?+10+10)=1+2×(1+2+?+10)=111, 第 25 个拐弯处的 数是:a25=1+(1+1+2+2+?+12+12+13)=170. 18.(本小题满分 14 分)数列{an}是这样确定的:a1=1,an+1=pan+x,p≠0 且 p≠1,n =2,3,4,?,试归纳出 an 的表达式,并用数学归纳法予以证明. 解析: a2=pa1+x=p+x,

a3=pa2+x=p(p+x)+x=p2+(p+1)x,
同理 a4=p +(p +p+1)x, ?
6
3 2

猜想 an=p =p
n-1

n-1

+(p

n-2

+p

n-3

+?+1)·x



pn-1-1 ·x. p-1

证明:(1)当 n=1 时,公式成立. (2)假设 n=k 时,公式成立, 即 ak=p
k-1



pk-1-1 ·x, p-1

则 n=k+1 时,ak+1=pak+x=p·?p ∴当 n=k+1 时公式也成立.

? ?

k-1



pk-1-1 ? pk-1 ·x?+x=pk+ ·x, p- 1 p-1 ?

由(1)、(2)知,公式对任何 n∈N+都成立.

7


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