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江苏省南通市直中学2015届高三上学期调研测试数学试题


江苏省南通市市直中学 2015 届高三年级调研测试数学试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题)、解答题(共 6 题),满分为 160 分,考试时 间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上. 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚. 一律无效.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A={-2,-1},B={-1,2,3},则 A 2. 若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则复数 z ? 3. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 ▲ . 4. 函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x 的最小正周期为 ▲ . 5. 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则两个数的和是奇数的概率为 ▲ . 6. 某大学共有学生 5600 人,其中专科生 1300 人,本科生 3000 人,研究生 1300 人,现采用分层抽样的方法, 抽取容量为 280 的样本,则抽取的本科生人数为 ▲ . 7. 如图所示的算法中,输出的结果是 ▲ . 8. 若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? ln x 相切,则实数 m 的值为 ▲ . 9. 如图,各条棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M ? AB1C 的 体积为 ▲ . 开始
S ←1, x ←1

B?

▲ .

▲ .

C1 M A1 N B1

x?6

Y S ← 2x ? 1
x ← x ?1

输出 S 结束 A

C B
( 第9题 )

第1页

10.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 ,直线 l 过点 P(3,1),则当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,直线 l 的 方程为 ▲ . 11.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ? 1 ? a2 ? a4, S4 ? 2 ,则数列 {an } 的公比 q 为 ▲ .

CA ? 3,CB ? 4 ,D、 E 分别为边 CA、CB 上的点, 12. 已知△ABC 中, ∠C=90° , 且 BD ? CA ? 6 ,

A E? C B ?8 ,

则 AE ? BD ?

▲ .

?3x ? a ,x ? 1 , ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) 在 R 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 2 ? ? x ? a ,x ≤ 1,
14.已知 x ? 0,y ? 0 ,且满足 x ?
y 1 8 ? ? ? 10 ,则 2 x ? y 的最大值为 2 x y

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演 ....... 算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知在△ABC 中, sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) . (1)若 B ?

π ,求 A ; 6

(2)若 tan A ? 2 ,求 tan B 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? CD . (1)求证:直线 AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAD ? 平面 PCD . D C P

A

( 第 16 题 )

B

17.(本小题满分 14 分) 如图,海平面某区域内有 A、B、C 三座小岛(视小岛为点),岛 C 在 A 的北偏东 70° 方向,岛 B 在 C 的南 偏西 40° 方向,岛 B 在 A 的南偏东 65° 方向,且 A、B 两岛间的距离为 3 n mile.求 A、C 两岛间的距离. 北 西 东 C

南 A B 18.(本小题满分 16 分)
6 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? . ? 1(a ? 2) 的离心率为 3 a 2
( 第 17 题 )

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P 是椭圆 C 上任意一点, Q 为圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上任意一点,求 PQ 的最大值.

19.(本小题满分 16 分)
2 ? an an ? 2 ? 4 . 已知无穷数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2a2 ? a1 ? a3 ,且对于任意 n ? N* ,都有 an ? 0 , an ?1

(1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.

第3页

20.(本小题满分 16 分)

1 1 已知函数 f ( x) ? e x ? c , g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx (a, b, c ? R) . 3 2
(1)若 ac ? 0 ,求证:函数 y ? g ( x) 有极值; (2)若 a ? b ? 0 ,且函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有两个相异交点,求证: c ? 1.

南通市市直中学高三年级调研测试

数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{ ?2, ?1, 2,3 } 5. 9. 2. 1 ? i 6.150 10. 2 x ? y ? 5 ? 0 14.18 3.(1,0) 7.11 11. 4. π 8. ?1 12. ?14

2 3
2 3 3

1 3

13. [ ?1, 2]

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.

π π 15.解:(1)由条件,得 sin( A ? ) ? 2sin( A ? ) . 6 6
? 3 1 3 1 sin A ? cos A ? 2( sin A ? cos A) . …………………………………………3 分 2 2 2 2

化简,得

sin A?

3 cA o. s

? tan A ? 3 .……………………………………………………………………………6 分

又 A ? (0, π) , ? A ?

π . ………………………………………………………………7 分 3

(2) sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) ,
? sin A cos B ? cos A sin B ? 2(sin A cos B ? cos A sin B) .

化简,得 又

3 c oA s

sB in ?

s Ai n B cos .………………………………………………… 11 分

cos A co Bs ? , 0

? tan A ? 3 tan B .又 tan A ? 2,

2 ? tan B ? .……………………………………………………………………………14 分 3

16. (1)证明:∵ ABCD 为矩形,∴ AB // CD .

………………………………………………2 分

又 DC ? 面 PDC , AB ? 面 PDC ,……………………………………………………4 分 ∴ AB // 面 PDC . ……………………………………………………………………7 分 ……………………………………………9 分 (2)证明: ∵ ABCD 为矩形, ∴ CD ? AD , 又 PA ? CD, PA

AD ? A , PA, AD ? 平面 PAD ,

∴ CD ? 平面 PAD . …………………………………………………………………11 分 又 CD ? 面 PDC ,∴面 PAD ? 面 PCD . ………………………………………14 分

17.解:由题意可知 ?CAB ? 45 , ?ACB ? 30 .

…………………………………………………4 分

则 ?ABC ? 105 . …………………………………………………………………………6 分 在三角形 ABC 中,由正弦定理可得 AB AC . ………………………………………………………………………8 分 ? sin 30 sin105 ∴ AC ? 6sin105
? 6 sin(60 ? 45 )

? 6(sin 60 cos 45 ? cos60 sin 45 )
? 6? 6? 2 4

3 ? ( 6? 2

2. ) …………………………………………………………………12 分
…………………………………………14 分

3 答:A、C 两岛间的距离为 ( 6 ? 2) n mile. 2

18.解:(1)由题设知 e ? ∴ e2 ?

6 , 3

c 2 a 2 ? b2 a 2 ? 2 6 2 ? ? ? ? . …………………………………………………3 分 a2 a2 a2 9 3

解得 a 2 ? 6 . ∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 2

……………………………………………………6 分

(2)圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的圆心为 E (0, 2) ,点 Q 在圆 E 上, ∴ PQ≤EP ? EQ ? EP ? 1 (当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号).……………………9 分

第5页

设 P( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的任意一点, 则
x0 2 y0 2 ? ? 1 ,即 x02 ? 6 ? 3 y02 . 6 2

∴ EP2 =x02 +(y0 ? 2)2 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 12 . ………………………………………………13 分
2 ? 因为 y0 ? ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, EP 取得最大值 12,即 PQ≤2 3 ? 1 .

所以 PQ 的最大值为 2 3+1 . …………………………………………………………16 分

2 19.解:(1)由条件, ?n ? N* , an ?1 ? an an ? 2 ? 4 ,

2 令 n ? 1 ,得 a2 = a1a3 ? 4 .

…………………………………………………………2 分 ……………………………4 分

又 2a2 ? a1 ? a3 ,且 a1 ? 1 , 易求得 a2 ? 3, a3 ? 5 .

2 再令 n ? 2 ,得 a3 = a2 a4 ? 4 ,求得 a4 ? 7 . …………………………………………6 分

2 ? an an ? 2 ? 4 (2)∵ an ?1

(1) (2)

2 ? an ?1an ?3 ? 4 ∴ an ?2

2 2 ? an ? (an an ? 2 ? 4) ? (an ?1an ?3 ? 4) 由(1)-(2)得, an ?1 ?2

? an an ? 2 ? an ?1an ?3 ……………………………………………8 分
2 2 ? an ?1an ?3 ? an ? an an ? 2 ∴ an ?1 ?2

∴ an ?1 (an ?1 ? an ?3 ) ? an ? 2 (an ? an ? 2 ) ∴
? a ? an ? 2 ? an ? an ? 2 an ?1 ? an ? 3 ? ,∴数列 ? n ? 为常数数列. ………………………12 分 an ?1 an ? 2 ? an ?1 ?
an ? an ? 2 a1 ? a3 ? 2. ? a2 an ?1



∴ an ? an ? 2 ? 2an ?1.

∴数列 {an } 为等差数列. ……………………………………………………………14 分 又公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , ∴ an ? 2n ? 1 .……………………………………………16 分

1 1 20.解:(1)由 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 得 g ?( x) ? ax2 ? bx ? c, 3 2
∵ ac ? 0 , ∴ ?=b2 ? 4ac ? 0 且 a ? 0 . …………………………………………4 分

∴函数 g ?( x) 有两个零点,则可设为 g ?( x)=a( x ? ? )( x ? ? ), ( ? ? ? ) ∴若 x1 ? ? ? x2 ? ? ? x3 ,则 g ?( x1 ) ? g ?( x2 ) ? 0, g ?( x2 ) ? g ?( x3 ) ? 0 . ∴ g ( x) 有极值. ……………………………………………………………………6 分 (2)由 e x ? c ? cx ,得 e x ? cx ? c ? 0 , 记 h( x) ? e x ? cx ? c ,则 h?( x) ? e x ? c , 由函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有两个相异交点知函数 h( x) 有两互异零点…9 分 若 c≤0 ? h?( x) ? 0, h( x) 单调递增,则 h( x) 最多 1 个零点,矛盾. …………11 分 ∴ c ? 0 .此时,令 h?( x) ? 0 ,则 x ? ln c . 列表:

x
h?( x)
h( x)

( -? , ln c)

ln c

(ln c, +? )



0



∴ h( x)min ? h(ln c) ? ?c ln c ? 0, ∴ c ? 1 .………………………………………16 分

第7页


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