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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3课件:章末分层突破01_图文


巩 固 层 · 知 识 整 合

拓 展 层 · 链 接 高 考

章末分层突破
提 升 层 · 能 力 强 化 章 末 综 合 测 评

[ 自我校对] ①排列数公式 ②组合数公式 ③组合数性质 ④通项公式 ⑤二项式系数性质

________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

两个计数原理的应用 分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基础,对应用题的考查,经

常要对问题进行分类或者分步进而分析求解. (1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为 必须把各步骤均完成,才能完成所给事情,所以准确理解两个原理的关键在于 弄清分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,不论哪一类办法中 的哪一种方法都能够独立完成事件. (2)分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事 件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.

王华同学有课外参考书若干本, 其中有 5 本不同的外语书, 4 本不同 的数学书,3 本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带一本去图书馆,有多少种不同的带法? (2)若带外语、数学、物理参考书各一本,有多少种不同的带法? (3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同 的带法? 【精彩点拨】

解决两个原理的应用问题,首先应明确所需完成的事情是

什么,再分析每一种做法使这件事是否完成,从而区分加法原理和乘法原理.

【规范解答】

(1)完成的事情是带一本书,无论带外语书、还是数学书、

物理书, 事情都已完成, 从而确定为应用分类计数原理, 结果为 5+4+3=12(种). (2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中 各选 1 本后, 才能完成这件事, 因此应用分步计数原理, 结果为 5×4×3=60(种). (3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步计数原理,有 5×4=20 种选法; 同样,选外语书、物理书各 1 本,有 5×3=15 种选法;选数学书、物理书各 1 本,有 4×3=12 种选法.即有三类情况,应用分类计数原理,结果为 20+15 +12=47(种).

应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问 题:?1?要做什么事;?2?如何去做这件事;?3?怎样才算把这件事 完成了.并注意计数原则:分类用加法,分步用乘法.

[ 再练一题] 1.如图 11 为电路图,从 A 到 B 共有________条不 同的线路可通电. 【解析】 先分三类.第一类,经过支路①有 3 种

方法;第二类,经过支路②有 1 种方法;第三类,经过
图 11 支路③有 2×2=4(种)方法,所以总的线路条数 N=3+1+4=8.

【答案】 8

排列、组合的应用

排列、组合应用题是高考的重点内容,常与实际问题结合命题,要认真审 题,明确问题本质,利用排列、组合的知识解决.

(1)某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参 加中国西部经济开发建设,其中甲不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派 遣方案? (2)在高三一班元旦晚会上,有 6 个演唱节目,4 个舞蹈节目. ①当 4 个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序? ②当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时,有多少种不同的 节目安排顺序? ③若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板 2 个栏目,但不 能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序? 【精彩点拨】 按照“特殊元素先排法”分步进行,先特殊后一般.

【规范解答】 有以下四种情况:

(1)因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,

①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A4 8种; ②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 A3 8种 方法,所以共有 3A3 8种方法; ③若乙参加而甲不参加同理也有 3A3 8种; ④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余学生到另
2 两个城市有 A2 8种,共有 7A8种方法. 3 3 2 所以共有不同的派遣方法总数为 A4 + 3A + 3A + 7A 8 8 8 8=4 088 种.

(2)①第一步,先将 4 个舞蹈节目捆绑起来,看成 1 个节目,与 6 个演唱节
4 目一起排,有 A7 = 5 040 种方法;第二步,再松绑,给 4 个节目排序,有 A 7 4=

24 种方法. 根据分步计数原理,一共有 5 040×24=120 960 种. ②第一步,将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),一共有 A6 6=720 种方法. ×□×□×□×□×□×□×

第二步,再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的 位置),这样相当于 7 个“×”选 4 个来排,一共有 A4 7=7×6×5×4=840 种. 根据分步计数原理,一共有 720×840=604 800 种.
12 ③若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 A12 种排法,但原来的节目已

A12 12 定好顺序,需要消除,所以节目演出的方式有A10=A2 12=132 种排法. 10

解排列、组合应用题的解题策略 1.特殊元素优先安排的策略. 2.合理分类和准确分步的策略. 3.排列、组合混合问题先选后排的策略. 4.正难则反、等价转化的策略. 5.相邻问题捆绑处理的策略. 6.不相邻问题插空处理的策略. 7.定序问题除序处理的策略. 8.分排问题直排处理的策略.

9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略. 10.构造模型的策略. 简单记成: 合理分类,准确分步; 特殊优先,一般在后; 先取后排,间接排除; 集团捆绑,间隔插空; 抽象问题,构造模型; 均分除序,定序除序.

[ 再练一题] 2.在 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,在 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,可组成多少 个不同的五位偶数? 【解】 共分两类,第一类,五位数中不含数字零.第一步,选出 5 个数
2 1 字,有 C3 5C4种选法.第二步,排成偶数——先排末位数,有 A2种排法,再排其 3 2 1 4 他四位数字,有 A4 种排法.∴ N = C · C · A · A 4 1 5 4 2 4. 1 第二类, 五位数中含有数字零. 第一步, 选出 5 个数字, 共有 C3 第 5C4种选法. 4 二步,分为两类:①末位排 0,有 A1 · A 1 4种排列方法;②末位不排 0,这时末位 1 3 数有 C1 1种选法,而∵0 不能排在首位,∴0 有 A3种排法,其余 3 个数字有 A3种 1 1 4 1 3 3 2 1 4 排法,∴N2=C3 · C · (A · A + A · A ) .∴符合条件的偶数有 N = N + N = C 5 4 1 4 3 3 1 2 5C4A2A4 1 1 4 1 3 +C3 5C4(A1A4+A3A3)=4 560(个).

二项式定理问题的处理方法和技巧

对于二项式定理的考查常出现两类问题,一类是直接运用通项公式来求特 定项.另一类,需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.
(1)(2016· 淮安高二检测)已知(1+x+x 有常数项,且 2≤n≤8,则 n=________. (2)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a6+a4+a2+a0 的 值为________.
2

? 1 ?n ?x+ 3? (n∈N*)的展开式中没 )· x? ?

【精彩点拨】 (1)利用二项式定理的通项求待定项; (2)通过赋值法求系数和.

【规范解答】 0,1,2,?,n, 由于(1+x+x
2

? 1 ?n (1)?x+x3? ? ?

展开式的通项是

r n-r 1 r n - 4r Tr+1=Cnx ? 3? =Cr ,r= nx

?

?

?x ?

? 1 ?n )?x+x3? 的展开式中没有常数项,所以 ? ?

n Cr x n

-4r

n ,xCr x n

-4r



r n-4r+1 n-4r r n-4r+2 Cn x 和 x2Cr x = C 都不是常数,则 n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r n nx

+2≠0,又因为 2≤n≤8,所以 n≠2,3,4,6,7,8,故取 n=5.

(2)令 x=1, 得 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26=64. 令 x=-1,得 a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)6=4 096. 两式相加,得 2(a6+a4+a2+a0)=4 160, 所以 a6+a4+a2+a0=2 080.
【答案】 (1)5 (2)2 080

1.解决与二项展开式的项有关的问题时,通常利用通项公式. 2.解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法.

[ 再练一题] 3. 在(1+x)6(1+y)4 的展开式中, 记 xmyn 项的系数为 f(m, n), 则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)=________. 【导学号:29440032】
n 【解析】 因为 f(m,n)=Cm C 6 4,

所以 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)
0 2 1 1 2 0 3 =C3 C + C C + C C + C 6 4 6 4 6 4 6C4=120.

【答案】 120

排列、组合中的分组与分配问题

n 个不同元素按照条件分配给 k 个不同的对象称为分配问题, 分定向分配与 不定向分配两种问题;将 n 个不同元素按照某种条件分成 k 组,称为分组问题, 分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配 问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的,而后者即使 2 组元素个数相同,但因所属对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组 再排列.

按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.

【精彩点拨】

这是一个分配问题,解题的关键是搞清事件是否与顺序有

关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.

【规范解答】

(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本有 C1 6种选法,再从余下

3 1 2 3 的 5 本中选 2 本有 C2 5种选法,最后余下 3 本全选有 C3种选法.故共有 C6C5C3=

60(种). (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问基础上,
2 3 3 还应考虑再分配,共有 C1 6C5C3A3=360(种). 2 2 (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C2 C 6 4C2种方法,但是这里出现了

重复.不妨记 6 本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,
2 2 第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则 C2 EF, 6C4C2种分法中还有(AB,

CD),(AB,CD,EF),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,

3 AB,CD),共 A3 3种情况,而这 A3种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此只 2 2 C2 6C4C2 能作为一种分法,故分配方式有 3 =15(种). A3

(4)有序均匀分组问题.在第(3) 问基础上再分配给 3 个人,共有分配方式
2 2 C2 C 6 4 C2 3 2 2 A3=C2 C 3 · 6 4C2=90(种). A3 1 1 C4 6C2C1 (5)无序部分均匀分组问题.共有 2 =15(种). A2

(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分配给 3 个人,共有分配方
1 1 C4 C 6 2C1 3 式 A3=90(种). 2 · A2 1 (7)直接分配问题.甲选 1 本有 C1 种方法,乙从余下 5 本中选 1 本有 C 6 5种方 1 1 4 法,余下 4 本留给丙有 C4 种方法.共有 C 4 6C5C4=30(种).

均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的 常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是 不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分 考虑到是否与顺序有关,有序分组要在无序分组的基础上乘以分 组数的阶乘数.

[ 再练一题] 4.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的 蓝色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标 数字之和等于 10,则不同的排法共有多少种? 【解】 取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10, 共有 3 种情况: 1 144,2 233,1

234. 所取卡片是 1 144 的共有 A4 4种排法. 所取卡片是 2 233 的共有 A4 4种排法. 所取卡片是 1 234,则其中卡片颜色可为无红色,1 张红色,2 张红色,3 张红色,全是红色,共有排法 A4+C4A4+C4A4+C4A4+A4=16A4种.所以共有 18A4= 432 种.
4 1 4 2 4 3 4 4 4 4

1. (2015· 广东高考)某高三毕业班有 40 人, 同学之间两两彼此给对方仅写一 条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
【解析】 A2 40=40×39=1 560. 【答案】 1 560

2.(2016· 全国卷Ⅰ)(2x+ x)5 的展开式中,x3 的系数是________.(用数字填 写答案)
【解析】 (2x+ x) 展开式的通项为
5 5-r Tr+1=Cr (2 x ) ( 5 r 5-r r r 5- · C5· x 2.

x) =2

r 令 5- =3,得 r=4. 2
4 故 x3 的系数为 25-4· C5 =2C4 5=10.

【答案】 10

3.(2015· 全国卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=________.
【解析】 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令 x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令 x=-1,得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得 16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,∴a=3.
【答案】 3

? 3 1? 4.(2015· 安徽高考)?x +x ?7 的展开式中 ? ?

x5 的系数是________.(用数字填写

答案)

【解析】

r 3 7 -r 1 r r 21-4r Tr+1=C7· (x ) ? ? =C7 x ,

? ? ?x ?

令 21-4r=5,得 r=4,C4 7=35. 故展开式中 x5 的系数为 35.
【答案】 35

5.(2015· 福建高考)(x+2)5 的展开式中,x2 的系数等于________.(用数字作 答)
r 5-r r 【解析】 (x+2)5 展开式的通项 Tr+1=C5 x 2 ,令 5-r=2,得 r=3. 3 ∴x2 的系数为 C3 × 2 =80. 5 【答案】 80

6.(2016· 北京高考)在(1-2x)6 的展开式中,x2 的系数为________.(用数字 作答)
2 2 【解析】 由二项式定理得含 x2 的项为 C2 ( - 2 x ) = 60 x . 6

【答案】 60


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