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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 2.2空间线面关系的判定 苏教版选修2-1


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 2.2 空间线面关
系的判定 苏教版选修 2-1
课时目标 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证 明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

1.用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系 设空间两条直线 l1,l2 的方向向量分别为 e1,e2,两个平面 α 1,α 2 的法向量分别为 n1, n2,则
平行 垂直 l1 与 l2 l1 与 α 1 α 1与 α 2 文 字语 言: 在平 面内 的一条 直线 ,如 果它 和这 个平面 的一 条 ________在 这个平 面内 的 ________垂直,那么它也和这条________垂直.

几何语言:

?? b?平面α
c是b在平面α 内的射影
?? a⊥b ??

3.直线与平面垂直的判定定理 文字语言:如果一条直线和平面内的________________________,那么这条直线垂直于 这个平面.

几何语言:

??

a?

α

,b?

α

?? l⊥α ??

一、填空题 1.平面 ABCD 中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若 a=(-1,y,z),且 a 为平 面 ABC 的法向量,则 y2=______. 2.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则直线 l 与平面 α 的位置关系为__________. 3.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果A→B=(2,-1,-4),→AD=(4,2,0), →AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③A→P是平面 ABCD 的法向量;④→AP ∥B→D.其中正确的是________.(写出所有正确的序号) 4.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k=________. 5.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与 平面 β 的位置关系是_______________________________________________. 6.已知 a=(1,1,0),b=(1,1,1),若 b=b1+b2,且 b1∥a,b2⊥a,则 b1,b2 分别为 ________________. 7.已知 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若=,且 a⊥A→B,a⊥→AC,则向量 a 的坐

标为________. 8.设平面 α 、β 的法向量分别为 u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则 α 、β 的位置 关系为________. 二、解答题 9.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

10.
如图所示,在六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,DD1⊥平面 A1B1C1D1,DD1⊥平面 ABCD,DD1=2. 求证:(1)A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面; (2)平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1.
能力提升 11.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,G、E、F 分别是 DD1、BB1、D1B1 的中点. 求证:(1)EF⊥平面 A1DC1;(2)EF∥平面 GAC.
12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是棱 B1C1、 C1D1 的中点. 证明:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 AMN∥平面 BDFE.

1.运用空间向量将几何推理转化为向量运算时,应注意处理和把握以下两大关系:一是 一些几何题能用纯几何法和向量法解决,体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透; 二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择. 2.利用向量法解立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把 立体几何问题转化为向量问题; (2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系; (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.2.2 空间线面关系的判定

知识梳理

1.

平行

垂直

l1 与 l2

e1∥e2

l1 与 α 1

e1⊥n1

α 1与 α 2

n1∥n2

2.斜线 射影 斜线 aα a⊥c

3.两条相交直线垂直 l⊥a l⊥b a∩b=A

e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2

作业设计

1.1

2.l⊥α 解析 ∵u=-2a,∴a∥u,∴l⊥α . 3.①②③

4.75

解析 ∵ka+b=(k-1,k,2),

2a-b=(3,2,-2),(ka+b)⊥(2a-b),

∴3(k-1)+2k-4=0,即 k=75.

5.垂直

解析 ∵(1,2,0)·(2,-1,0)=0,∴两法向量垂直,从而两平面也垂直.

6.(1,1,0),(0,0,1)

解析 ∵b1∥a,∴设 b1=(λ ,λ ,0),b2=b-b1

=(1-λ ,1-λ ,1),由 b2⊥a,即 a·b2=0, ∴1-λ +1-λ =0,得 λ =1, ∴b1=(1,1,0),b2=(0,0,1). 7.(1,1,1)或(-1,-1,-1)
解 析 设 a = (x , y , z) , 由 题 意 →AB = ( - 2 , - 1,3) , A→C = (1 , - 3,2) , ∴
?? x2+y2+z2=3, ?-2x-y+3z=0, ??x-3y+2z=0.
解得 x=1,y=1,z=1,或 x=-1,y=-1,z=-1, 即 a=(1,1,1)或(-1,-1,-1). 8.平行
9.证明 方法一 ∵B→1C=A→1D,B1 A1D, ∴B1C∥A1D,又 A1D 面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1.
方法二 ∵B→1C=B→1C1+D→1D=B→1O+O→C1+D→1O+O→D=O→C1+O→D.
∴B→1C,O→C1,→OD共面. 又 B1C 面 ODC1,∴B1C∥面 ODC1. 方法三

建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),O???12,12,1???, C1(0,1,1),
B→1C=(-1,0,-1),
→OD=???-12,-12,-1???, O→C1=???-12,12,0???. 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),

??n·O→D=0 则???n·O→C1=0

??-21x0-12y0-z0=0
,得
???-12x0+21y0=0②



.

令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又B→1C·n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, ∴B→1C⊥n,∴B1C∥平面 ODC1. 10.证明 以 D 为原点
,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则有 A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), A1(1,0,2),B1(1,1,2), C1(0,1,2),D1(0,0,2). (1)∵A→1C1=(-1,1,0),A→C=(-2,2,0), D→1B1=(1,1,0),D→B=(2,2,0), ∴A→C=2A→1C1,→DB=2D→1B1. ∴A→C与A→1C1平行,→DB与D→1B1平行, 于是 A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面. (2)D→D1·→AC=(0,0,2)·(-2,2,0)=0, →DB·→AC=(2,2,0)·(-2,2,0)=0, ∴D→D1⊥→AC,→DB⊥→AC. DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线, ∴AC⊥平面 B1BDD1.又平面 A1ACC1 过 AC, ∴平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1. 11.证明
设正方体的棱长为 2,以D→A、D→C、D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D—xyz,如图,则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)、G(0,0,1)、A1(2,0,2)、C(0,2,2).

(1)→EF=(1,1,2)-(2,2,1) =(-1,-1,1), A→1D=(0,0,0)-(2,0,2)=(-2,0,-2), D→C1=(0,2,2)-(0,0,0)=(0,2,2), ∵E→F·A→1D=(-1,-1,1)·(-2,0,-2) =(-1)×(-2)+(-1)×0+1×(-2)=0, →EF·D→C1=(-1,-1,1)·(0,2,2) =-1×0+(-1)×2+1×2=0, ∴EF⊥A1D,EF⊥DC1. 又 A1D∩DC1=D,A1D、DC1 平面 A1DC1, ∴EF⊥平面 A1DC1. (2)取 AC 的中点 O,则 O(1,1,0), ∴O→G=(-1,-1,1),∴OG∥EF. 又∵OG 平面 GAC,EF 平面 GAC, ∴EF∥平面 GAC. 12.证明
不妨设正方体的棱长为 2,建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0),M(2,1,2), N(1,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2). (1)→EF=(-1,-1,0), →DB=(2,2,0). ∵D→B=-2E→F,∴→DB∥→EF. 故 E、F、B、D 四点共面. (2)→DF=(0,1,2),→MN=(-1,-1,0),M→A=(0,-1,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 BDFE 的法向量,
??n·D→F=y+2z=0, 则???n·→EF=-x-y=0. 令 z=1,得 n=(2,-2,1).

∵n·→MN=(2,-2,1)·(-1,-1,0)=0, n·→MA=(2,-2,1)·(0,-1,-2)=0, ∴n⊥→MN,n⊥M→A,即 n 也是平面 AMN 的法向量. ∴平面 AMN∥平面 BDFE.


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