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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 19空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业 新人教A版选修2


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 19 空间向量的正

交分解及其坐标表示课时作业 新人教 A 版选修 2-1

1.已知 a,b,c 是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )

A.3a,a-b,a+2b

B.2b,b-2a,b+2a

C.a,2b,b-c

D.c,a+c,a-c

解析:对于 A,有 3a=2(a-b)+a+2b,则 3a,a-b,a+2b 共面,不能作为基底;同

理可判断 B、D 错误.

答案:C

→→→ 2.如图,在四面体 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC

→ 的中点,则MN=( )

A.12a-23b+12c

B.-23a+12b+12c

C.12a+12b-23c

D.23a+23b-12c

解析:连结 ON,→MN=→ON-→OM=12(O→B+O→C)-23→OA=12(b+c)-23a=-23a+12b+12c.

答案:B

→ 3.已知 O 为坐标原点,OA在基底{a,b,c}下的坐标为{2,1,3},其中 a=4i+2j,b=2j

→ +3k,c=3k-j,则向量OA在基底{i,j,k}下的坐标为( )

A.(7,3,12)

B.(3,7,12)

C.(2,4,6)

D.(8,3,12)

→ 解析:OA=2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k.

∴点 A 的坐标为(8,3,12).

答案:D

→→



4.已知平行六面体 OABC-O′A′B′C′,OA=a,OC=c,OO′=b,D 是四边形 OABC 的

对角线的交点,则( )

→ A.O′D=-a+b+c

B.O→′D=-b-12a-12c

C.O→′D=12a-b-12c

D.O→′D=12a-b+12c

解析:O→′D=O′ →O+→OD=-OO→′+12(O→A+O→C)=
12O→A-OO→′+12→OC=12a-b+12c.
答案:D →→
5.设 OABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3GG1,若OG=xOA+ →→ yOB+zOC,则(x,y,z)为( )
A.???14,14,14??? B.???34,34,34??? C.???13,13,13??? D.???23,23,23???

解析:如图,由已知→OG=34O→G1

=34(O→A+A→G1)

=34???→OA+13

→→ AB+AC

? ? ?

=34→OA+14[(→OB-→OA)+(O→C-O→A)]

=14→OA+14O→B+14O→C,

从而 x=y=z=14.

答案:A

6.已知向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,

则向量 p 在基底{i,j,k}下的坐标是( )

A.(12,14,10) B.(10,12,14)

C.(14,12,10) D.(4,3,2)

解析:依题意知 p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量

p 在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).

答案:A

7.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n=__________.

解析:因为→AB=(m-1,1,m-2n-3),→AC=(2,-2,6),由题意,得A→B∥A→C,则m-2 1=

1 m-2n-3 -2= 6 ,所以

m=0,n=0,m+n=0.

答案:0

8.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若 m 与 n 共线,则 x

=__________,y=________.

解析:因为 m 与 n 共线,所以存在实数 λ ,使 m=λ n,即 a-b+c=λ xa+λ yb+λ c,

??1=λ x, 于是有?-1=λ y,
??1=λ ,

解得?????xy==1-,1.

答案:1 -1

→→ 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是底面 A1C1 和侧面 CD1 的中心,若EF+λ A1D=
0(λ ∈R),则 λ =________.

解析:连接 A1C1,C1D,则 E 在 A1C1 上,F 在 C1D 上易知 EF 綊12A1D,

∴→EF=12A→1D,即E→F-12A→1D=0.

1 ∴λ =-2.

答案:-12

→ 10.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为棱 DD1,D1C1,BC 的中点,以{AB,
→→ AD,AA1}为基底,求下列向量的坐标:
→→→ (1)AE,AG,AF;

→→→ (2)EF,EG,DG.

解:(1)→AE=→AD+→DE=→AD+12D→D1

=→AD+12A→A1=???0,1,12???,

→AG=→AB+→BG=→AB+12A→D=???1,12,0???,

→AF=A→A1+A→1D1+D→1F=A→A1+A→D+12→AB=???12,1,1???.

(2)→EF=→AF-→AE=???A→A1+A→D+21A→B???-???A→D+12A→A1???=12A→A1+12→AB=???12,0,12???. →EG=→AG-→AE=???→AB+12A→D???-???A→D+12A→A1???=A→B-12A→D-12A→A1=???1,-21,-12???, →DG=→AG-→AD=→AB+12A→D-A→D=A→B-12A→D=???1,-21,0???.

B 组 能力提升

→→→



11.若向量MA,MB,MC的起点 M 和终点 A,B,C 互不重合且无三点共线,则能使向量MA、

→→ MB、MC成为空间一组基底的关系是( )

A.→OM=13→OA+13O→B+13O→C

→→→ B.MA=MB+MC

→→→→ C.OM=OA+OB+OC

→ →→ D.MA=2MB-MC

→→→→ 解析:对于选项 A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)?M,A,B,C 四点共面知,

→→→

→→→

→→→

MA,MB,MC共面;对于 B,D 选项,易知MA、MB、MC共面,故只有选项 C 中MA、MB、MC不共面.

答案:C

12.若 a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3(e1、e2、e3 为空间一个 基底)且 d=xa+yb+zc,则 x、y、z 的值分别为( )

A.52,-12,-1

51 B.2,2,1

C.-52,12,1

51 D.2,-2,1 解析:d=xa+yb+zc =(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3 又∵d=e1+2e2+3e3

?? x+y+z=1 ∴?x-y+z=2
??x-y=3

解得:x=52,y=-12,z=-1.

答案:A 13.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的三等分点,且|NC|
→ =2|PN|,|AM|=2|MB|,|PA|=|AB|=1,求MN的坐标.
解析:以 A 为坐标原点.分别以 DA,AB,AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

→→→→ MN=MA+AP+PN =-23A→B+A→P+13→PC
=-23A→B+A→P+13(→AB+→AD-→AP) =-13A→B+23→AP+13→AD
又∵|A→B|=|→AP|=1,∴M→N=???-13,-13,23???.

→→→ 14.如图,设四面体 OABC 的三条棱OA=a,OB=b,OC=c,G 为△BCD 的重心,以{a,b,
→→ c}为空间基底表示向量BE,OG.

解析:由 G 为△BCD 的重心易知 E 为 AC 的中点, ∴→BE=12(B→A+B→C)=12[(O→A-O→B)+(→OC-→OB)]

=12[(a-b)+(c-b)]=12(a+c-2b),

→OG=→OB+→BG=b+23→BE=b+13(a+c-2b)

=13(a+b+c).

15.已知向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标是(2,3,-1),求 p 在基底{a,a+b,a+b+ c}下的坐标.
解析:由已知 p=2a+3b-c,设 p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b +zc.
由向量分解的唯一性,

?? x+y+z=2, 有?y+z=3,
??z=-1,

?? x=-1, 解得?y=4,
??z=-1.

∴p 在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐标为(-1,4,-1).


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