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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.5空间向量的数量积 苏教版选修2-1


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 1.5 空间向量的
数量积 苏教版选修 2-1
课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律 及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用.
1.两向量的夹角 如图所示,a,b 是空间两个非零向量,过空间任意一点 O,作O→A=a,→OB=b,则__________ 叫做向量 a 与向量 b 的夹角,记作__________. 如果〈a,b〉=π2 ,那么向量 a,b______________,记作__________. 2.数量积的定义 已知两个非零向量 a,b,则____________叫做向量 a,b 的数量积,记作 a·b. 即 a·b=__________. 零向量与任一向量的数量积为 0. 特别地,a·a=|a|·|a|cos〈a,a〉=________. 3.数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律: (λ a)·b=λ (a·b) (λ ∈R); a·b=b·a; a·(b+c)=a·b+a·c. 4.数量积的坐标运算 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a·b=________________; (2)a⊥b?__________?____________________________; (3)|a|= a·a=______________; (4)cos〈a,b〉=____________=_________________________________________.
一、填空题 1.若 a,b 均为非零向量,则 a·b=|a||b|是 a 与 b 共线的____________条件. 2.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|=________. 3.已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λ a+b|= 29且 λ >0,则 λ =________. 4.若 a、b、c 为任意向量,下列命题是真命题的是____.(写出所有符合要求的序号) ①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 a·b=a·c,则 b=c; ③(a·b)·c=(b·c)·a=(c·a)·b; ④若|a|= 2|b|,且 a 与 b 夹角为 45°,则(a-b)⊥b. 5.已知向量 a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若 a 与 b 成 120°角,则 k=________. 6.设 O 为坐标原点,向量O→A=(1,2,3),→OB=(2,1,2),→OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运 动,则当→QA·→QB取得最小值时,点 Q 的坐标为________. 7.向量(a+3b)⊥(7a-5b),(a-4b)⊥(7a-2b),则 a 和 b 的夹角为____________. 8.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为π3 ,则|a+b|=________.

二、解答题 9.
如图,已知在空间四边形 OABC 中,OB=OC,AB=AC.求证:OA⊥BC. 10.在正四面体 ABCD 中,棱长为 a,M、N 分别是棱 AB、CD 上的点,且 MB=2AM,CN=12ND, 求 MN.
能力提升 11. 如图所示,已知线段 AB 在平面 α 内,线段 AC⊥α ,线段 BD⊥AB,且 AB=7,AC=BD= 24,线段 BD 与 α 所成的角为 30°,求 CD 的长.

12.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=1,∠BCA=90°,AA1=2, 并取 A1B1、A1A 的中 点分别为 P、Q. (1)求的长; (2)求 cos〈B→Q,C→B1〉,cos〈B→A1,C→B1〉,并比较〈B→Q,C→B1〉与〈B→A1,C→B1〉的大小; (3)求证:A→B1⊥C→1P.

1.数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算.选择基底时,应注意三个基向量的长 度,两两之间的夹角应该是确定的;当所选基向量两两互相垂直时,用坐标运算更为方 便. 2.利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角.
3.1.5 空间向量的数量积

知识梳理

1.∠AOB 〈a,b〉 互相垂直 a⊥b 2.|a||b|cos〈a,b〉 |a||b|cos〈a,b〉 |a|2

4.(1)a1b1+a2b2+a3b3 (2)a·b=0

a·b (4)|a||b|

a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23 b21+b22+b23

作业设计

a1b1+a2b2+a3b3=0

(3) a21+a22+a23

1.充分不必要

解析 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b

〈a,b〉= 〈a,b〉=0,但当 a 与 b

反向时,不能成立.

2. 13 解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2

=1+6·cos60°+9=13.∴|a+3b|= 13. 3.3

解析 ∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),

∴λ a+b=(4,1-λ ,λ ). ∵|λ a+b|= 29,∴16+(1-λ )2+λ 2=29. ∴λ =3 或 λ =-2.∵λ >0,∴λ =3. 4.④

解析 两个向量的等价条件是模长相等且方向相同,

故命题①错;

a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,而 a·c=|a|·|c|·cos〈a,c〉,

于是由 a·b=a·c 推出的是|b|cos〈a,b〉=|c|·cos〈a,c〉,故命题②错;向量的

数量积运算不满足结合律, 故命题③错;(a-b)·b=a·b-b2=b2-b2=0,故命题④正确.

5.- 39

解析

cos〈a,b〉=|aa|··b|b|=

13

2k

1

9+k2=-2,得

k=±

39.又 k<0,所以 k=-

39.

6.(43,43,83)

解析 设 Q(λ ,λ ,2λ ),则→QA·→QB=(1-λ ,2-λ ,3-2λ )·(2-λ ,1-λ ,2-2λ )

=6λ 2-16λ +10,当→QA·→QB取最小值时,λ =43,所以 Q(43,43,83).
7.60° 解析 由(a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, 得 7a2+16a·b-15b2=0,7a2-30a·b+8b2=0,

解得 a2=b2,b2=2a·b, ∴cos〈a,b〉=|a|a··b|b|=12, ∴〈a,b〉=60°. 8. 7 解析 |a+b|= a2+2a·b+b2 = 1+2×2×21+4= 7. 9.证明 ∵OB=OC,AB=AC,OA=OA, ∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC=∠AOB. ∵O→A·B→C=O→A·(→OC-→OB) =O→A·O→C-O→A·O→B =|→OA||→OC|cos∠AOC-|O→A||O→B|·cos∠AOB=0, ∴OA⊥BC. 10.
解 如图所示,|→AB|=|A→C|=|→AD|=a,把题中所用到的量都用向量→AB、→AC、→AD表示, 于是→MN=→MB+→BC+→CN =23→AB+(→AC-→AB)+13(→AD-→AC)=-13→AB+13→AD+23A→C. 又A→D·A→B=A→B·A→C=A→C·A→D =|→AD|2cos60°=12|A→D|2=12a2, ∴M→N·M→N=???-13A→B+13A→D+23→AC???· ???-13→AB+13→AD+23A→C??? =19→AB2-29A→D·A→B-49A→B·A→C+49→AC·→AD+19→AD2+49A→C2=19a2-19a2+19a2+49a2=59a2.

故|→MN|= →MN·M→N= 35a,即 MN= 35a. 11.
解 由 AC⊥α ,可知 AC⊥AB, 过点 D 作 DD1⊥α ,D1 为垂足, 连结 BD1,则∠DBD1 为 BD 与 α 所成的角,即∠DBD1=30°, ∴∠BDD1=60°, ∵AC⊥α ,DD1⊥α , ∴AC∥DD1, ∴〈→CA,→DB〉=60°,∴〈→CA,→BD〉=120°. 又C→D=C→A+A→B+B→D, ∴|→CD|2=(C→A+A→B+B→D)2 =|→CA|2+|A→B|2+|→BD|2+2C→A·A→B+2→CA·→BD+2→AB·→BD. ∵BD⊥AB,AC⊥AB, ∴B→D·A→B=0,A→C·A→B=0. 故|→CD|2=|C→A|2+|→AB|2+|B→D|2+2C→A·B→D =242+72+242+2×24×24×cos120°=625, ∴|→CD|=25. 12.
(1)解 以 C 为原点 O,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则由已知,得 C(0,0,0), A(1,0,0),B(0,1,0), C1(0,0,2),P???12,12,2???, Q(1,0,1),B1(0,1,2), A1(1,0,2). ∴B→Q=(1,-1,1),C→B1=(0,1,2),

B→A1=(1,-1,2),A→B1=(-1,1,2), C→1P=???12,12,0???. ∴|→BQ|= →BQ·B→Q= 12+(-1)2+12= 3. (2)解 ∵B→Q·C→B1=0-1+2=1,|→BQ|= 3, |C→B1|= 02+12+22= 5,

∴cos〈→BQ,C→B1〉=

1 3×

= 5

1155.

又B→A1·C→B1=0-1+4=3, |B→A1|= 1+1+4= 6,|C→B1|= 5,

∴cos〈B→A1,C→B1〉=

3= 30

1300.

又 0< 1155< 1300<1,
∴〈→BQ,C→B1〉,〈B→A1,C→B1〉∈???0,π2 ???. 又 y=cosx 在???0,π2 ???内单调递减, ∴〈→BQ,C→B1〉>〈B→A1,C→B1〉.

(3)证明 ∵A→B1·C→1P =(-1,1,2)·???12,12,0???=0,∴A→B1⊥C→1P.


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