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2-1第一节 函数及其表示(2015年高考总复习)


第二章 函数、导数及其应用

第一节 ??函数及其表示

读教材· 抓基础

研考点· 知规律

拓思维· 培能力

高考这样考 1.考查方式多为选择题或填空题. 2.函数的表示方法是高考的常考内容,特别是图象法与解析 式更是高考的常客. 3.分段函数是高考的重点也是热点,常以求解函数值,由函 数值求自变量以及与不等式相关的问题为主.

备考这样做 1.在研究函数问题时,要树立“定义域优先”的观点. 2.掌握求函数解析式的基本方法. 3.结合分段函数深刻理解函数的概念.

D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点

课 本 导 读 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设集合A是一个 非空 的数集,对A中的任意数x,按照确定

的法则f,都有 唯一 确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集 合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中 x 叫做自变量.

(2)函数的定义域、值域 定义域:函数y=f(x) 自变量 取值的范围(数集A)叫做这个函 数的定义域. 值域:所有 函数值 构成的集合 {y|y=f(x),x∈A} 叫做这个 函数的值域. (3)函数的三个要素: 定义域、对应法则 和 值域.

2.映射 设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的
任意 一个元素x,在B中 有一个且仅有一个元素

y与x对应,

那么称f是集合A到集合B的映射.这时映射f也可记为:f: A→B ,x→f(x),其中A叫做映射f的 定义域 (函数定义域的推广),由所 有函数值f(x)构成的集合叫做映射f的 值域 ,通常记作f(A).

3.分段函数 若函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有 着 不同的对应法则 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函

数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

疑 点 清 源 1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于,集合A与集合B只能 是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射; (2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,若A,B不是数 集,则这个映射便不是函数.

2.定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数 如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相 同函数;再如函数y=sinx与y=cosx,其定义域与值域完全相同, 但不是相同函数.因此判断两个函数是否相同,关键是看定义域 和对应法则是否相同.

基 础 自 评 1.设g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则f(x)等于( A.-2x+1 C.2x-3
解析
答案

)

B.2x-1 D.2x+7

f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.
D

x2+1,x≤1, ? ? 2.设函数f(x)=?2 则f(f(3))=( ,x>1, ? ?x 1 A.5 2 C. 3 B.3 13 D. 9

)

解析

?2? 2 13 f(3)= ,f(f(3))=?3?2+1= . 3 9 ? ?

答案 D

3.下列各图中,不可能表示函数y=f(x)的图象的是(

)

解析

B中一个x对应两个函数值,不符合函数定义.

答案 B

4.已知集合M={-1,1,2,4},N={0,1,2},给出下列四个对 应法则:①y=x2,②y=x+1,③y=2x,④y=log2|x|,其中能构 成从M到N的函数的是( A.① C.③ )

B.② D.④

解析

对于函数①②,M中的2,4两元素在N中找不到象与之

对应,对于函数③,M中的-1,2,4在N中没有象与之对应,故选 D.

答案 D

5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出

解析 f[g(1)]=f(3)=1. x f[g(x)] g[f(x)] 故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x=2.
答案 1 2

1 1 3

2 3 1

3 1 3

Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法

题型一 【例1】

函数的概念

(1)给出四个命题:①函数是其定义域到值域的映

射;②f(x)= x-3 + 2-x 是函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是 一条直线;④f(x)= ( ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 x2 x 与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有

(2)下列对应法则f为A上的函数的个数是(

)

①A=Z,B=N+,f:x→y=x2;②A=Z,B=Z,f:x→y= x;③A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. A.0 C .2 B.1 D.3

【思维启迪】

(1)首先要了解函数的定义、函数的三要素等

概念;推理:利用函数的相关概念对命题逐一判断;结论:得出 结论. (2)熟悉函数的定义;推理:根据函数的定义判断,注意与映 射的区别和联系;结论:得出结论.

听 课 记 录

(1)由函数的定义知①正确.②中满足f(x)=

x-3 + 2-x 的x不存在,所以②不正确.③中y=2x(x∈N)的图 象是一条直线上的一群孤立的点,所以③不正确.④中f(x)与g(x) 的定义域不同,∴④也不正确.故选A.

(2)对于①,当0∈A时,y=0?B,故①所给的对应法则不是A 到B的映射,当然它不是A上的函数关系;对于②,当2∈A时,y = 2 ?B,故②所给的对应法则不是A到B的映射,当然它不是A上 的函数关系;对于③,对于A中的任一个数,按照对应法则,在B 中都有唯一元素0和它对应,故③所给的对应法则是A到B的映 射,这两个数集之间的关系是集合A上的函数关系.

【答案】 (1)A (2)B

【规律方法】

(1)判断一个对应是否为映射,关键看是否满

足“集合A中元素的任意性,集合B中元素的唯一性”. (2)判断一个对应f:A→B是否为函数,一看是否为映射;二 看A,B是否为非空数集.若是函数,则 A是定义域,而值域是B的子集. (3)函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定 相同.因此判断两个函数是否相同,只需判断定义域、对应关系 是否分别相同.

变式思考 ( )

1

(1)下列各组函数中,表示同一个函数的是

x2-1 A.y= 与y=x+1 x-1 1 2 B.y=lgx与y=2lgx C.y= x2-1与y=x-1 D.y=x与y=logaax(a>0且a≠1)

(2)在下列图象中,表示y是x的函数图象的是________.

解析

(1)选项A,B中,定义域不同,选项C中,对应法则不

同,只有选项D中的两个函数的三要素相同.故选D. (2)由函数定义可知,自变量x对应唯一的y值,所以③④错 误,①②正确.

答案

(1)D

(2)①②

题型二 【例2】

求函数的解析式

2 (1)已知f( +1)=lgx,求f(x); x

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x); 1 (3)已知f(x)+2f(x )=x(x≠0),求f(x).

【思维启迪】

2 (1)用换元法,令 +1=t; x

(2)本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系 数法求解. 1 (3)用 x代入,构造方程求解.

听课记录

2 2 (1)令t= +1,则x= , x t -1

2 2 ∴f(t)=lg ,即f(x)=lg . t-1 x-1 (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2, 得c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1, 即2ax+a+b=x-1,

? 1 ? ?a=2, ?2a=1, ∴? 即? ? ?a+b=-1, ?b=-3. 2 ? 1 2 3 ∴f(x)=2x -2x+2.

1 1 1 (3)∵f(x)+2f( )=x,∴f( )+2f(x)= . x x x 1 ? ?f?x?+2f? x?=x, 解方程组? ?f?1?+2f?x?=1, x ? x 2 x 得f(x)= - (x≠0). 3x 3

【规律方法】

求函数解析式常用以下解法:

(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此 时要注意新元的取值范围; 1 (3)构造法:已知关于f(x)与f( x )或f(-x)的表达式,可根据已 知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x).

变式思考 2

求满足下列条件的函数f(x)的解析式:

(1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.



(1)令t= x+1,∴t≥1,x=(t-1)2.

则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3, ∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+c)=4ax+ 4a+2b=4x+2.
? ?4a=4, ∴? ? ?4a+2b=2, ? ?a=1, ∴? ? ?b=-1.

∴f(x)=x2-x+3.

题型三 【例3】 (1)设函数f(x)= ) B.48 D.2

分段函数
2 ? ?log2?x +1?,x<0, ? x ? 3· ? t - 1 ? ,x≥0, ?

且f(1)=12,

则f(f(- 3))的值等于( A.12 C.252

(2)已知函数f(x)=

2 ? ?x -4x+6,x≥0, ? ? ?2x+4,x<0,

若存在互异的三个实

数x1,x2,x3,使f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是 ________.

【思维启迪】

本题中(1)的求解关键是根据f(1)=12,求出 3 ))的

参数t的值,确定f(x)的解析式,然后由内到外求出f(f(-

值;(2)的关键是画出函数f(x)的图象,然后注意到直线y=a与y= x2-4x+6(x≥0)的两个交点关于直线x=2对称,从而可知x2+x3= 4,然后由图象确定出x1的范围,从而可得到x1+x2+x3的取值范 围.

听课记录

(1)由于f(1)=12,所以3· (t-1)1=12,解得t=5.

于是f(- 3)=log2[(- 3)2+1]=2,因此 f(f(- 3))=f(2)=3×42=48,故选B.

(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象如右图,令f(x1)= f(x2)=f(x3)=a,则由题意知f(x)=a有三个不相等的实根x1,x2, x3,即函数f(x)的图象与直线y=a的图象有三个交点,由图象可以 看出,只有当2<a<4时,两个图象才有三个交点.这时不妨设 x1<x2<x3,则一定有x2+x3=4,且-1<x1<0,于是3<x1+x2+ x3<4,即x1+x2+x3的取值范围是(3,4).

【答案】 (1)B (2)(3,4)

【规律方法】

(1)处理分段函数问题时,首先要明确自变量

的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系,代入求解. (2)如果分段函数中每一段上的解析式都是我们常见的基本初 等函数,通常可以将这个分段函数的图象画出来,然后结合图象 解决一些函数单调性问题、函数零点个数的判断问题、参数取值 范围的讨论等问题.

变式思考 3 ( ) A.4 C.-4

(1)已知函数f(x)=

? ?log3x,x>0, ? x ? ?2 ,x≤0,

1 则f(f( 9 ))=

1 B.4 1 D.-4

x ? ?3 ,x≤1, (2)已知函数f(x)=? ? ?-x,x>1,

若f(x)=2,则x=________.

解析

1 1 (1)由题意得f( )=log3 =-2, 9 9

1 1 f(f( ))=f(-2)=2-2= . 9 4 (2)当x≤1时,令3x=2,解得x=log32; 当x>1时,令-x=2,解得x=-2,与x>1矛盾,舍去. 故x的值为log32.

答案 (1)B

(2)log32

名 师 微 博 ●一种技巧 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义 域相同;二是对应关系相同.

●三种方法 求函数的解析式是一类重要的题目类型.换元法是解决此类 问题的基本方法.但根据题目特点,换元时略有不同.一是先配 凑再换元,即通过观察、分析,将右端配凑成括号内的表达式; 二是令括号内的式子等于t,然后再化简.此外,若已知函数类 型,一般用待定系数法求解;若已知函数为抽象函数,一般用赋 值法求解.

●一个注意 分段函数问题必须坚持分段求解最后合成的原则,必要时可 根据分段点分类讨论.

T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力

易混易错系列 分段函数意义理解不清致误 【典例】 设x≥0时,f(x)=2;x<0时,f(x)=1,又规定:

3f?x-1?-f?x-2? g(x)= (x>0),试写出y=g(x)的表达式,并画出其 2 图象.

【易错分析】

①对函数的对应法则不理解,误认为f(x-1)

=f(x-2)=2,虽然都是x>0但已知函数y=f(x),x是作为对应法则 f下的自变量,而函数y=f(x-1)是复合函数,对应法则f不是直接 作用于x,而是作用于x-1只有x≥1时,x-1≥0,此时f(x-1)=2 才成立.

②不理解分段函数的概念,不会对x-1,x-2的符号进行讨 论或讨论时易遗漏1≤x<2这种情况. ③忽视分段函数中每一段自变量取值范围端点处等号是否取 得,表现在图象上为端点的虚实与衔接,如x=1和x=2时对应的 两点不能同时为实点,否则x与y的对应是一对二,不是映射也就 构不成函数关系了,另本题中已知条件x>0也是容易忽视的.

【正解】

对于x>0的不同区间,讨论x-1与x-2的符号可

求出g(x)的表达式. 当0<x<1时,x-1<0,x-2<0, 3-1 ∴g(x)= 2 =1; 当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0, 6-1 5 ∴g(x)= 2 =2; 6-2 当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,∴g(x)= 2 =2.

? ?1 ?5 故g(x)=?2 ? ? ?2

?0<x<1?, ?1≤x<2?, ?x≥2?.

其图象如下图.

【心得体会】

对于分段函数问题是高考的热点,在解决分

段函数问题时,要注意自变量的限制条件.

自主体验 1.(2013· 青岛模拟)已知 f(x)=
? ?cosπx ?x≤0?, ? ? ?f?x-1?+1 ?x>0?,



?4? ? 4? f?3?+f?-3?的值为( ? ? ? ?

)

1 A.2 C.-1

1 B.-2 D.1

解析

?4? ?1? 依题意有f?3?=f?3?+1 ? ? ? ?

? 2? =f?-3?+2 ? ? ? 2 ? 3 =cos?-3π?+2=2, ? ? ? 4? ? 4 ? ? π? 1 ? ? ? ? ? ? - - π - π - f 3 =cos 3 =cos 3?=-2, ? ? ? ? ? ? 4? ? 4? 所以f?3?+f?-3?=1,故选D. ? ? ? ?

答案 D

-x ? ?2 ,x∈?-∞,1], 2.设函数f(x)=? ? ?log81x,x∈?1,+∞?,

1 则满足f(x)=4的x值

为(

) A.4 1 C.4 B.3 1 D.3

解析

?1 ? 当x∈(-∞,1]时,函数值域为 ?2,+∞? ;当x∈(1, ? ?

+∞)时,值域为(0,+∞).因为f(x)=

1 ∈(0,+∞),所以x∈ 4

1 1 (1,+∞),所以log81x=4,x=814=3.故选B.

答案 B


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