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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 5.1数列的概念与简单表示法课件 理


必考部分

第五章
数列

知识点

考纲下载 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、 通项公式).

数列

2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.

等差数列

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识 解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.

知识点

考纲下载 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.

等比数 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系, 列 并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

知识点 数列求 和

考纲下载 掌握等差、等比数列前 n 项和公式.

通过对近几年高考的分析可知本章试题具有如下特点: 1.等差、等比数列这两个基本数列的知识必考.这类 考题既有选择题、填空题,又有解答题,以容易题和中等题 为主.

2.求通项、求和问题是高考考查的基本题型,不仅应 掌握等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和 的问题,还应该掌握一些特殊数列的求通项、求和的方法. 3.数列中 Sn 与 an 的关系一直是高考的热点,求数列的 通项公式是最为常见的题目, 要切实注意 Sn 与 an 的关系. 从 近两年的试题来看,对“递推公式”的考查有所淡化.

4.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等综 合问题既是考查的重点,也是考查的难点.今后在这方面还 会体现地更突出. 根据近年的高考命题特点和规律,复习本章时,要注意 以下几个方面: 1 .回归课本,夯实基础,构建知识体系,提炼“通 性”“通法”,淡化特殊“技巧”,做到基础知识与基本训 练常抓不懈.

2.切实掌握等差数列、等比数列的概念、性质、通项 公式和前 n 项和公式. 等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式和前 n 项 和公式是本章的重点知识,是高考重点考查的知识,所以需 要好好掌握,特别是等差、等比数列的性质,通项公式和前 n 项和公式的计算.

3.灵活应用数列中 an 和 Sn 的相关关系、数列的递推关 系解决相应的问题,掌握数列与三角函数、不等式、解析几 何等相结合的问题,并灵活运用等差数列、等比数列的相关 性质解决. 4.重视解题回顾:借助于解题后的反思总结,深化对 数列知识的理解和应用.

第一节

数列的概念与简单表示法

主干知识· 整合
热点命题· 突破

课堂实效· 检测
课时作业

主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源

数列的定义、分类与通项公式
1.数列的定义 (1)数列:按照 一定顺序 排列的一列数.

(2)数列的项:数列中的 每一个数.

2.数列的分类

3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

数列的通项公式是唯一的吗?是否每个数列都有通项 公式? 提示: 不唯一,如数列- 1,1 ,- 1 ,1 , ?的通项公式 可以是 an=(-1)n(n∈N*),也可以是 有的数列没有通项公式.
? ?-1?n为奇数? an=? ? ?1?n为偶数?



1 .判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打“√”或 “×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达.( )

(2) 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止 一个.( )

(3) 数 列 : 1,0,1,0,1,0 , ? , 通 项 公 式 只 能 是 an = 1+?-1?n+1 .( 2 )

答案:(1)×

(2)√ (3)×

2.已知数列的通项公式为 an=n2-8n+15,则 3( A.不是数列 {an}中的项 B.只是数列{an}中的第 2 项 C.只是数列{an}中的第 6 项 D.是数列{an}中的第 2 项或第 6 项

)

解析:令 an=3,即 n2-8n+15=3,解得 n=2 或 6, 故 3 是数列{an}中的第 2 项或第 6 项.

答案:D

n -1 3.已知 an= ,那么数列{an}是( n +1 A.递减数列 C.常数列 B.递增数列 D.摆动数列

)

n-1 n 解析:因为 an= ,所以 an+1= ,所以 an+1-an n+1 n+2 n-1 n?n+1?-?n-1??n+2? n 2 = - = = >0,所 n+2 n+1 ?n+1??n+2? ?n+1??n+2? 以 an+1>an,所以数列{an}是递增数列.

答案:B

数列的递推公式
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项 ),且任何一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来 表示,即 an=f(an-1)或 an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做 数列{an}的递推公式.

an 4. 已知数列{an}中, a1=1, an+1= , 则 a 5 =( 2an+3 A.108 1 B.108

)

1 C.161 D. 161 a1 1 a2 1 a3 1 解析: a2= = , a= = , a= = , 2a1+3 5 3 2a2+3 17 4 2a3+3 53

a4 1 a5= =161. 2a4+3 答案:D

数列的前 n 项和与通项的关系
数列的前 n 项和通常用 Sn 表示,记作 Sn=a1+a2+?+an ,则通项
? ?S1,n=1 an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2

.

若当 n≥2 时求出的 an 也适合 n=1 时的情形, 则用一个 式子表示 an,否则分段表示.

5.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=________.
解析:当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=n2 -(n-1)2=2n-1,
?2 ? ∴an=? ? ?2n-1
? ?2 答案:? ? ?2n-1

?n=1?, ?n≥2?.
?n=1? ?n≥2?

1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列 时, 一定要注意自变量的取值, 如数列 an=f(n)和函数 y=f(x) 的单调性是不同的. 2.由 Sn 求
?S ?n=1?, ? 1 an 时,an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?,

注意验证 a1

是否包含在后面 an 的公式中,若不符合要单独列出,一般 已知条件含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑上述公式.

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但 试题难度较难把握.一般有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为 an+1+λ=p(an +λ),由待定系数法求出 λ,再化为等比数列; (3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式.

热点命题· 突破 02
考点突破 解码命题

已知数列的前 n 项求通项公式

【例 1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一 个通项公式. (1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?. 2 4 8 16 32 64

【解】 (1)符号可通过(-1)n 表示,后面的数的绝对值 总比前面的数的绝对值大 6, 故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 8 8 8 (2)数列变为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),?, 9 9 9 8 1 ∴an= (1- n). 9 10

(3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?,易看出第 2,3,4 项 2-3 的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为- . 2 21-3 22-3 23-3 24-3 原数列化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2
n 2 -3 n ∴an=(-1) · n . 2

1. 解答本题(3)时有两个困惑:一是首项的符 号,二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系 入手,是求解的关键. 2.归纳通项公式应从以下四个方面着手: (1)观察项与项之间的关系; (2)符号与绝对值分别考虑; (3)分开看分子、分母,再综合看分子、分母的关系; (4)规律不明显时适当变形.

写出下面各数列的一个通项公式: 1 3 7 15 31 (1) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 (2)0,1,0,1,?.

解: (1) 每一项的分子比分母少 1 ,而分母组成数列
n 2 -1 1, 2, 3, 4 2 2 2 2 ,?,所以 an= n . 2

? ?0 (2)an=? ? ?1

?n为奇数? ?n为偶数?

1+?-1?n 1+cosnπ 或 an = 或 an= . 2 2

由 an 与 Sn 的关系求 an
【例 2】 已知数列{an}中,Sn 为{an}的前 n 项和,

an+1=Sn-n+3,n∈N*,a1=2. (1)求{an}的通项公式; n (2)设 bn= (n∈N*),数列{bn}的前 n 项和为 Sn-n+2 1 4 Tn,求证:3≤Tn<3(n∈N*).

【解】

?a ? n+1=Sn-n+3 (1)由? ? ?an=Sn-1-?n-1?+3?n≥2?

,得 an+1-

an=an-1,故 an+1-1=2(an-1), ∴{an-1}从第二项起为公比等于 2 的等比数列. a2=S1-1+3=4,a1=2,a2-1≠2(a1-1),
?2?n=1? ? ∴an=? n-2 * ? 3 × 2 + 1 ? n ≥ 2 , n ∈ N ? ?

.

(2) 由 (1) 知 Sn = an + 1 + n - 3 = 3×2n - 1 + n - 2 ,故 bn = n n-1. 3×2 1 1 2 n Tn=3(20+21+?+ n-1), 2 1 1 1 2 n T = ( + +?+ n), 2 n 3 21 22 2 1 1 1 1 1 n 2Tn=3(1+21+22+?+2n-1-2n)

1n 1 -? ? n +2 1 2 n 1 = [ - n]= (2- n ), 3 1 3 2 2 1- 2 4 2n+4 ∴Tn= - . 3 3×2n 1 1 4 ∵bn>0,∴Tn≥T1= ,∴ ≤Tn< . 3 3 3

给出 Sn 与 an 的递推关系,求 an,常用思路 是:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系,再 求其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关系,再求 an.

设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列{Sn}的前 n 项和为 Tn, 满足 Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

解:(1)令 n=1 时,T1=2S1-1, ∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. (2)n≥2 时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 则 Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1. 因为当 n=1 时,a1=S1=1 也满足上式, 所以 Sn=2an-2n+1(n≥1), 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,

两式相减得 an=2an-2an-1-2, 所以 an=2an-1+2(n≥2),所以 an+2=2(an-1+2), 因为 a1+2=3≠0, 所以数列{an+2}是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列. 所以 an+2=3×2n 1,∴an=3×2n 1-2,
- -

当 n=1 时也成立,所以 an=3×2n 1-2.


数列的单调性及其应用

【例 3】 已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n, an 则 的最小值为( n 17 A. 2 C.10 ) 21 B. 2 D.21

【解析】 因为 an+1-an=2n,所以 an-an-1=2(n-1), 所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= (2n-2)+(2n-4)+?+2+33=n2-n+33(n≥2), 又 a1=33 适合上式,所以 an=n2-n+33, an 33 所以 =n+ -1. n n 33 33 令 f(x)=x+ -1(x>0),则 f′(x)=1- 2 , x x 令 f′(x)=0 得 x= 33. 所以当 0<x< 33时,f′(x)<0,

当 x> 33时,f′(x)>0, 即 f(x)在区间(0, 33)上递减;在区间( 33,+∞)上递 增, 33 53 又 5< 33<6,且 f(5)=5+ 5 -1= 5 , 11 21 f(6)=6+ 2 -1= 2 ,所以 f(5)>f(6), an 21 所以当 n=6 时, 有最小值 2 . n

【答案】 B

数列单调性的确定方法 (1)用作差比较法,根据 an+1-an 的符号判断数列{an}是 递增数列、递减数列或是常数列; a n +1 (2)用作商比较法,根据 (a >0 或 an<0)与 1 的大小关 an n 系进行判断; (3)利用导数的方法确定单调性.

已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4. ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*,都有 an+1>an,求实 数 k 的取值范围.

解:(1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. 因为 n∈N*,所以 n=2,3. 所以数列中有两项是负数,即为 a2,a3. ②因为 an=n 5 . 2 又 n∈N*,所以当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最 小值为 a2=a3=-2.
2

? 5?2 9 -5n+4=?n- ? - 的对称轴方程为 2? 4 ?

n=

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式 an=n2+kn+4, 可以看作是关于 n 的二次函数, k 3 考虑到 n∈N ,所以- < ,即得 k>-3. 2 2
*

热点微专题之多维探究系列(四) 四法破解递推公式求通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可 以确定数列中的任意一项, 只是由递推公式确定数列中的项 时,不如通项公式直接,下面介绍由递推公式求通项公式的 四种方法.

一、周期法 【典例 1 】 xn+1 已知正项数列 {xn}满足 xn + 2 = ,n= xn )

1,2,3,?,其中 x1=1,x2=2,则 x2 013 的值为( A.1 C.3 B.2 D.4

x2 x2 x3 x1 1 x4 【规范解答】 由题意知 x3= , x= = = , x= x1 4 x2 x2 x1 5 x3 1 1 x1 x1 1 x5 x2 x1 x6 x2 = = ,x6= = = ,x7= = =x1.所以数列{xn}是周 x2 x2 x4 1 x2 x5 1 x1 x2 x1 x2 期为 6 的周期数列,因此 x2 013=x335×6+3=x3= =2. x1
【答案】 B

名师点评

数列的周期性是指存在正整数 k(常数),对

任意正整数 n, an+k=an, 在给出递推关系的数列中可以通过 计算数列的前几项的值,探究其周期性.

an - 3 1.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= (n∈N*),则 3a n + 1 a20=( A.0 3 C. 2 ) B.- 3 D. 3

解析: 利用 a1=0 和递推公式可求得 a2=- 3, a3= 3, a4=0,a5=- 3,以此类推,数列{an}的项周期性出现,其 周期为 3.所以 a20=a2=- 3.

答案:B

二、累加法 【典例 2】 已知 a1=2,an+1=an+3n+2,求 an.

【规范解答】

∵an+1-an=3n+2,

∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 n?3n+1? = (n≥2). 2 1 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, 2 3 2 n ∴an= n + . 2 2

名师点评

对形如 an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的

递推公式求通项公式时,常用累加法.

2.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1- an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 C.8 B.3 D.11 )

解析:由已知得 bn=2n-8,an+1-an=2n-8,所以 a2 -a1=-6,a3-a2=-4,?,a8-a7=6,由累加法得 a8- a1=-6+(-4)+(-2)+0+2+4+6=0,所以 a8=a1=3.
答案:B

三、累乘法 n +2 【典例 3】 已知数列{an}中, a1=1, 前 n 项和 Sn= 3 an . (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式.

【规范解答】

4 (1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2, 3

解得 a2=3a1=3. 5 由 S3=3a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3, 3 解得 a3= (a1+a2)=6. 2

(2)由题设知 a1=1. 当 n≥2 时, n+2 n+1 有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n -1 n+1 整理得 an= an-1. n-1 a n n +1 即 = . a n -1 n - 1 a2 a3 a4 a5 an-2 an-1 an ∴an=a1· · · · · ?· · · a1 a2 a3 a4 an-3 an-2 an-1

n-1 n n+1 3456 =1····· ?· · · 1234 n-3 n-2 n-1 n ? n +1 ? = (n≥2). 2 当 n=1 时,a1=1. n?n+1? 综上可知,{an}的通项公式 an= . 2

名师点评

如 an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公

式求通项公式时,常用累乘法.

3.已知 a1=1,2an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列 {an}的 通项公式是________.

an+1 n+2 解析:∵2an=n(an+1-an),∴ = ,当 n≥2 时, an n n +1 n -1 an an-1 an-2 a3 a2 n an = × × ×?× × ×a1 = × × a a an-1 an-2 an-3 n-1 n-2 n-3 2 1 n ? n +1 ? 5 4 3 ×?× × × ×1 = ,∵ a1 = 1 符合上式,∴ an = 3 2 1 2 n ? n +1 ? 2 .
n?n+1? 答案:an= 2

四、构造法 【典例 4】 则 an=________. 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2,

【规范解答】

∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),

an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, a n +1 又 a1+1=2,∴an+1=2· 3n 1,


∴an=2· 3n 1-1.


【答案】 2×3n-1-1

名师点评

对于形如 “an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1)”

的递推公式求通项公式,可用迭代法或构造等比数列法,另 外也可通过构造等差(比)数列求通项公式.

5 1 1 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2- ,bn= , an an-2 则数列{bn}的通项公式 bn=________.

an - 2 5 1 1 2a n 解析:由于 an+1-2= - -2= , = 2 an 2an an+1-2 an-2
? 4 2 2? = +2,即 bn+1=4bn+2,bn+1+ =4?bn+ ?. 3 3? an - 2 ?

1 又 a1=1,故 b1= =-1. a1-2
? 2? 1 ? ? 所以 bn+ 是首项为- ,公比为 3? 3 ?

2 4 的等比数列,bn+ 3

1 1 2 n-1 n-1 =- ×4 ,bn=- ×4 - . 3 3 3 1 2 - 答案:-3×4n 1-3

课堂实效· 检测 03
当堂检验 小试牛刀

2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,?的一个通项公式 an 是( 3 5 7 9 n A. 2n+1 n C. 2n-3 n B. 2n-1 n D. 2n+3

)

1 2 3 n 解析: 由已知得, 数列可写成 1, ?, 故通项为 . 3, 5, 2n-1

答案:B

2. 数列{an}的前 n 项积为 n2, 那么当 n≥2 时, a n =( A.2n-1 ? n +1 ? 2 C. n2 B.n2 n2 D. ?n-1?2

)

解析:设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n2, Tn n2 当 n≥2 时,an= = . Tn-1 ?n-1?2

答案:D

3.已知数列{an}满足 ast=asat(s,t∈N*),且 a2=2,则 a8=________.

解析:令 s=t=2,则 a4=a2×a2=4,令 s=2,t=4, 则 a8=a2×a4=8.

答案:8

4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记 Sn 为{an}前 n 项的和,则 S2 013=________.

解析:由 a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得该数列是周期 为 4 的数列,且 a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0.所以 S2 013 =503(a1+a2+a3+a4)+a2 013=503×(-2)+1=-1 005.

答案:-1 005

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的 前 n 项和 Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式.

解:∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2 +2(n-1)]=4n, 当 n=1 时,a1=S1=4 也适合, ∴{an}的通项公式是 an=4n(n∈N*). ∵Tn=2-bn,∴当 n=1 时,b1=2-b1,b1=1. 当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1), ∴2bn=bn-1.

1 ∴数列{bn}是公比为 ,首项为 1 的等比数列. 2
?1? - ∴bn=?2?n 1. ? ?


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