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2015年高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)课件 新人教A版必修4


第一章 三角函数

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

1.了解A,ω,φ的物理意义.(重点)
2.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,会用y=Asin(ωx+φ)的 性质解题.(重点、难点) 3.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.(重 点、难点)

1.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义

2.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的有关性质 性质 定义域 值域 y=Asin(ωx+φ) R ______ ___________ [-A,A]
?kπ-φ ? ? ? 对称中心______________________ , ? ω ,0?(k∈Z) ? ?

对称性

奇偶性 单调性

kπ π-2φ x= ω + 2ω (k∈Z) 对称轴__________________________ 当φ=0时是____ 奇 函数

通过整体代换可求出其单调区间

做一做 (1)函数
? π? y=3sin?2x+3?的初相是________. ? ?

π 答案:3

(2)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是 3, 2π π 最小正周期是 7 ,初相是6,则这个函数的表达式是 ________________.

2π 2π π 解析:由题意知,A=3,T= ω ?ω= T =7,φ=6,所以
? π? y=3sin?7x+6?. ? ?

? π? 答案:y=3sin?7x+6? ? ?

(3)函数

? π? y=sin?x-6?的递增区间是_________________. ? ?

π π π 解析:由 2kπ-2≤x-6≤2kπ+2(k∈Z), π 2π 得 2kπ-3≤x≤2kπ+ 3 (k∈Z). ? π 2π? 答案:?2kπ-3,2kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ?

1.对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中参数的理解
(1)A :它表示做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距 离,称为振幅. 2π (2)T:T= ω ,它表示做简谐振动的物体往复运动一次所需

的时间,称为周期.

1 ω (3)f:f=T=2π,它表示做简谐振动的物体在单位时间内往 复运动的次数,称为频率. (4)ωx+φ:称为相位;φ:当 x=0 时的相位,称为初相.

2.确定函数 y=Asin(ωx+φ)的初相 φ 的值的两种方法 (1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω 已知) 或代入图象与 x 轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上 还是在下降区间上) (2)五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一
? φ ? 个零点?-ω,0?作为突破口. “五点”的 ? ?

ωx+φ 的值具体如下:

“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0;

π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ=2; “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx+φ= 2 ; “第五点”为 ωx+φ=2π.

求三角函数的解析式
π? 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ| <2?的图 ? 象如图所示,求 f(x)的解析式.

思路点拨: 可由最高点、最低点确定 A ,再由周期确定 ω,然后由图象过已知点确定φ.
解:方法一:(逐一定参法) 由图象知振幅 A=3, 5π ? π? 2π ? ? 又 T= 6 - -6 =π,∴ω= T =2. ? ?
? π ? π ? ? 由点 -6,0 ,令-6×2+φ=0, ? ? ? π? π 得 φ=3,∴y=3sin?2x+3?. ? ?

方法二:(待定系数法) 由图象知
?π ? ?5π ? A=3,又图象过点?3,0?和? 6 ,0?,根据五点作 ? ? ? ?

图法原理,以上两点为“五点法”中的第三点“下始点”和第 五点“终点”, ?π ω+φ=π, ?3 · ∴? ?5π· ω+φ=2π, 6 ?
? π? ∴y=3sin?2x+3?. ? ?

? ?ω=2, 解得? π φ=3. ? ?

确定三角函数解析式的一般思路 (1)由图示纵坐标,如最高点、最低点的纵坐标确定 A.
2π (2)由图示两点的横坐标确定周期 T,进而由 ω= T 求得 ω. (3)由五个点中的任一点横坐标代入 ωx+φ 均可求得 φ,其 关键是要认清所选择的点是“五点法”中的哪一个点.一般用
? ? π? 3 ? 最高点?ωx+φ=2?或最低点?ωx+φ=2π?不易出错,而用零点时 ? ? ? ?

一定要分清是“上始点”(ωx+φ=0),还是“下始点”(ωx+φ =π),否则将有可能得出错解.此外,若 φ 不在要求的范围内, 可通过加 2kπ(k∈Z)来完成.

π 1.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)中,A>0,ω>0,|φ|<2,函数 的最大值为 2,其相邻的最高点与最低点横坐标之差为 3π,又 图象过点(0, 2),求函数 f(x)的解析式.

1 T 解:由题意,A=2,2 =3π,∴ω=3.
?1 ? ∴f(x)=2sin?3x+φ?. ? ?

2 又 f(x)的图象过点(0, 2),则 sin φ= 2 . π π 又|φ|<2,所以 φ=4, 函数解析式为
?1 π? f(x)=2sin?3x+4?. ? ?

函数y=Asin(ωx+φ)性质的运用
π? 5 1 ? 已知函数 f(x)=2sin?2x+6?+4. ? ?

(1)求 f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间; (2)求 f(x)的图象的对称轴方程和对称中心; (3)求 f(x)的最小值及取得最小值时的 x 的取值集合.
思路点拨:解答本题关键是采取整体代换方法,将“2x+ π 6”视作一个整体,相当于 y=Asin x 中的“x”进行求解.

1 解:(1)函数 f(x)的振幅为2, 2π 最小正周期 T= 2 =π, π π π 由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),得 π π kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z), 所以 f(x)的单调增区间为
? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 3 6? ?

π π kπ π (2)令 2x+6=kπ+2(k∈Z),则 x= 2 +6(k∈Z), kπ π 所以对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z). π kπ π 令 2x+6=kπ(k∈Z),则 x= 2 -12(k∈Z),
?kπ ? π 所以对称中心为? 2 -12,0?(k∈Z). ? ?

? π? (3)sin?2x+6?=-1,即 ? ?

π π 2x+6=-2+2kπ(k∈Z),

π 3 x=-3+kπ(k∈Z)时, f(x)的最小值为4, 此时 x 的取值集合 是
? ? ? π ?x?x=- +kπ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用 (1)应用范围:函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称 性等方面都有体现和考查. (2) 解决方法:有关函数 y = Asin(ωx + φ) 的性质的运用问 题,要充分利用三角函数的基本性质,要特别注意整体代换思 想的运用.

【互动探究】 本题中,若
? π π? x∈?-6,3?,又如何求 ? ?

f(x)的最大值呢?并

求取得最大值时 x 的取值. ? π π? π ? π 5π? π π 解:x∈?-6,3?,则 2x+6∈?-6, 6 ?,所以 2x+6=2时, ? ? ? ?
? π? 7 sin?2x+6?=1,f(x)的最大值为4,此时 ? ?

π x =6 .

π? 2.已知曲线 y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ| <2?上最高 ? 点为(2, 2),该最高点到相邻的最低点间的曲线与 x 轴交于一 点(6,0),求函数解析式,并求函数在 x∈[ -6,0] 上的值域. 2π π T 解:依题意知 A= 2,4=4,故 T= ω =16,ω=8.
∴y=
?π ? 2sin?8x+φ?. ? ?

又由函数的最高点(2, 2)得
?π ? sin?8×2+φ?=1, ? ?

π π 故4+φ=2+2kπ,k∈Z. π ∴φ=2kπ+4,k∈Z. π π 又由|φ|<2得 φ=4. 从而 y=
?π π? 2sin?8x+4?. ? ?

π π π π 当-6≤x≤0 时,-2≤8x+4≤4, 所以- 2≤
?π π? 2sin?8x+4?≤1, ? ?

即函数的值域为[- 2,1].

规范解答系列(二) 函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用
(12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数, 其图象关于点
?3π ? ? π? M? 4 ,0?对称, 且在区间?0,2? ? ? ? ?

上是单调函数,求 φ 和 ω 的值.

【规范思维】第一步,看结论:求初相φ和ω的值. 第二步,想方法:由 sin φ 的值确定 φ ;再由对称性求 ω 的 值. 第三步,建联系:由函数为偶函数确定 sin φ 并求出 φ 的 值;由图象的对称性求出 ω 的表达式,再由单调区间确定 ω 的 值.

【规范解答】由 f(x)是偶函数,得 f(-x)=f(x), 即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称, ∴f(x)在 x=0 时取得最值.即 sin φ=1 或-1.2 分 π 依题设 0≤φ≤π,∴解得 φ=2.4 分 由 f(x)的图象关于点 M 对称,可知
?3π π? sin? 4 ω+2?=0,解得 ? ?

4k 2 ω= 3 -3,k∈Z.6 分



? π? f(x)在?0,2?上是单调函数, ? ?

2π ∴T≥π,即 ω ≥π.8 分 ∴ω≤2.又 ω>0, 2 ∴当 k=1 时,ω=3;当 k=2 时,ω=2.11 分 π 2 ∴φ=2,ω=2 或3.12 分

【题后悟道】

关于函数 y=Asin(ωx+φ)的几个结论

π (1)若函数 y=Asin(ωx+φ)是偶函数, 则有 φ=kπ+2(k∈Z), 若函数 y=Asin(ωx+φ)是奇函数,则有 φ=kπ(k∈Z). (2)若函数 y=Asin(ωx+φ)关于点(x0,0)对称,则有 ωx0+φ π =kπ(k∈Z);若关于直线 x=x0 对称,则有 ωx0+φ=kπ+2(k∈ Z).

(3)若函数 y=Asin(ωx+φ)在区间[ a,b] 上是单调函数,则 T 一定有 b-a≤2(T 为函数 y=Asin(ωx+φ)的最小正周期).

【即时演练】 函数
? π? f(x)=Asin?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 ? ?

3,

π 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设
? ?α? π? α∈?0,2?,则 f?2?=2,求 ? ? ? ?

α 的值.

解:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π. ∴ω=2.故函数 f(x)的解析式为
? π? y=2sin?2x-6?+1. ? ?

?α? ? π? (2)∵f?2?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? ? π? 1 ∴sin?α-6?=2. ? ?

π ∵0<α<2, π π π ∴-6<α-6<3. π π π ∴α-6=6.故 α=3.


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