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北京市丰台区2013年1月高三期末考试理科数学试题


北京市丰台区 2013 年 1 月高三期末考试理科试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1, a ? 5 }, CU M ? {5,7},则实数 a 的值为
(A)2 或-8 (B) -2 或-8 (C) -2 或 8 (D) 2 或 8

1 2.“ x ? 0 ”是“ x ? ? 2 ”的 x
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三 棱锥的四个面的面积中最大的是 (A) (B) 2 3 (C) 1 (D) 2 3 5.函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解 析式可能是 (A) (B) (C) (D)

y ? 2sin(2 x ? ) 4 y ? 2sin(2 x ? ) 4 3? y ? 2sin( x ? ) 8 x 7? y ? 2sin( ? ) 2 16

?

?

6. 执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 值为 ? x ? ( 表示不超过 x 的最大整数) (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1) ,点 C 在第二象 限内, ?AOC ? 值是( (A) 1 3, - 3 ,1 8 . 已 知 函 数 f(x)= ax ? bx ? c , 且 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 , 集 合 A={m|f(m)<0},则 (A) ?m ? A, 都 有 f(m+3)>0 (B) ?m ? A, 都 有 f(m+3)<0 (C) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)=0 (D) ?m0 ? A, 使得 f(m0+3)<0
2

开 始 S=0, n=0

??? ? ??? ? ??? ? 5? ,且|OC|=2,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? , ? 的 6
(B) 1, 3 (C) -1, 3 (D)

S ? S ? ? n? ? ?

n=n+1 否



n>4? 是 输出 S 结 束

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9.某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用 分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 ______. 10.已知直线 y=x+b 与平面区域 C: ?

?| x |? 2, 的边界交于 A,B 两点,若|AB|≥2 2 ,则 b 的 ?| y |? 2

取值范围是________. 11. l1 , l2 是分别经过 A(1,1),B(0,?1)两点的两条平行直线,当 l1 , l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程是 .
1

12.圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线相切,则 a 的值是 _______. 13.已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1,sinC= 3 cosC,则 ?ABC 的面积为______. 14.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比 数 列 , 而 且 每 一 行 的 公 比 都 相 等 , 记 第 i 行 第 j 列 的 数 为 aij 1 ( i ? j , i, j ? N * ) ,则 a53 等于 , amn ? ______(m ? 3) .

4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16
?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15.(本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.

3 12 ( Ⅰ ) 若点 A 的 横 坐 标是 , 点 B 的 纵 坐 标 是 ,求

y B A

sin(? ? ? ) 的值;
(Ⅱ) 若∣AB∣=

5

13

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

O

x

17.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2, BC ? 3 , ?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、 E 分别为 AB、AC 中点. P (Ⅰ)求证:DE‖平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小.

A D B
2

E C

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. ex
3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值.

19.(本小题满分 13 分) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1) ,线段 MN 是 是 (A , C1 的短轴, C2 的长轴.直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点 在 D 的左侧) 与 C2 交 于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点,且满足
0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是

以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

1 (Ⅲ)令 bi ? , ci ? ai

? 2?
2

? yi

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,
i ?1 i ?1

n

n

求出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由。

答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 9.20; 13.

1 D

2 C

3 C

4 A

5 B

6 C

7 D

8 A

10.[-2,2] ; 14.

11. x+2y-3=0;

12. ? 2 (只写一个答案给 3 分);

3 ; 2

5 m , n ?1 16 2

(第一个空 2 分,第二个空 3 分)

三、解答题 15. (本题共 13 分) 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A, 函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B.
3

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,????????3 分 B= { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} .??????7 分 (Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ,??????9 分 ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , ????????11 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .???? 13 分 16. (本题共 13 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和 钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. y (Ⅰ)若点 A 的横坐标是

sin(? ? ? ) 的值;
(Ⅱ) 若∣AB∣=

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13

B

A

??? ??? ? ? 3 , 求 OA ? OB 的值. 2

O

x

解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,

12 .????????2 分 13 4 ∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? .?????3 分 5 5 ∵ ? 的终边在第二象限,∴ cos ? ? ? .????????4 分 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?(? ) + ? = .?????7 分 5 13 5 13 65 ??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |,????????9 分 ??? ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 又∵ | OB ? OA |2 ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ,????11 分 ??? ??? 9 ? ? ∴ 2 ? 2OA ? OB ? , 4 ??? ??? ? ? 1 ∴ OA ? OB ? ? .?????????13 分 8 | OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 方法(2)∵ cos ?AOB ? ? ? ,?????10 分 2 | OA || OB | 8 ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? 1 ∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ? . ???????? 13 分 8 17.(本题共 14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2, BC ? 3 , ?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. cos ? ? sin ? ?
(Ⅰ)求证:DE//平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB ? PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 解: (Ⅰ)? D、E 分别为 AB、AC 中点, ?DE//BC . ? DE?平面 PBC,BC?平面 PBC, ?DE//平面 PBC .?????4 分 (Ⅱ)连结 PD, ? PA=PB, ? PD ? AB. ????????5 分 ? DE / / BC ,BC ? AB,
4 A _ D _ E _

3 , 5

P

P _

A D B E C

? DE ? AB. ........6 分 又? PD ? DE ? D , ? AB ? 平面 PDE..............8 分 ? PE?平面 PDE, ? AB ? PE . .........9 分 (Ⅲ)? 平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB, ? PD ? 平面 ABC...................10 分
如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

3 ? B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 , ? PB =(1,0, ? 3 ) , PE =(0, 2
. ? 3) 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

z P _

??

? x ? 3z ? 0, ? 令z ? 3 ? ?3 ? y ? 3z ? 0, ?2 ?? 得 n1 ? (3,2, 3) ......11 分 ? DE ? 平面 PAB, x ? 平 面 PAB 的 法 向 量 为 ?? ? n2 ? (0,1,0) .??????12 分 设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? , ?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 由图知, cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? , ? n1 ? n2 2
18. (本题共 14 分)已知函数 f ( x) ? -3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

A _ D _ B _ _ E y C _

所以 ? ? 60?, 即二面角的 A ? PB ? E 大小为 60? ........14 分

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为 ex

(Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f ( x ) 在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ........2 分 ? (e x )2 ex 2 令 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c , x 2 因为 e ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且 f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同. 又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 ,?????4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , ?????????6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3)(0,+∞) , .??7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x ) 的极小值点,所以有
解: (Ⅰ) f ?( x) ?

5

? 9a ? 3b ? c ? ?e3 , ?3 ? e ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ? 解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 ,????????11 分
所以 f ( x) ?

x2 ? 5x ? 5 . ex

, ? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞) ? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值,??????12 分 ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. ?????13 分 5 5 5 而 f ( ?5) ? ?5 ? 5e >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e ..?14 分 e 19. (本题共 13 分)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标 是(0,1),线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点 (A 在 D 的左侧) ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (Ⅰ)当 m=

5 3 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 4 2

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分 b a2 2 a ?1 ? C1 ,C2 的离心率相同,所以 2 ? 1 ? b 2 ,所以 ab ? 1 ,??????? 3 分 a 2 2 2 ? C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) . .?????5 分 2 2 2 2a 2 5 1 a 5 1 ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ????6 分 又? AC ? ,所以, 4 2a 2 4 2 2 x ? C1 ,C2 的方程分别为 ? y 2 ? 1, 4 x2 ? y 2 ? 1 .?????? 7 分 4 1 1 ? m 2 ,m) . ??????9 分 (Ⅱ)A(- a 1 ? m2 ,m), B(a ? OB∥AN,? kOB ? k AN , 1 m m ?1 ,? m ? 2 . ?????11 分 ? ? 2 1 a ?1 ? 1 ? m2 ?a 1 ? m a 1 a2 ?1 1 ? e2 2 2 e ? 2 ,? a ? ,? m ? . ??????12 分 1 ? e2 a e2 1 ? e2 2 ? e ? 1.............13 分 ? 0 ? m ? 1 ,? 0 ? 2 ? 1,? e 2
20.(本题共 13 分)已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线 C 上的点,且满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点)是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形.
6

(Ⅰ)求 A1 , B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;

? 2? 1 (Ⅲ)令 b ? , c ?
i

? yi

ai

i

2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,
i ?1 i ?1

n

n

写出 N 的最小值并证明;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)? ?B0A1B1 是以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形, ? 直线 B0A1 的方程为 y=x.

?y ? x ? 2 由 ? y ? 2 x 得 x1 ? y1 ? 2 ,即点 A1 的坐标为(2,2) ,进而得 B1 (4,0) .?..3 分 ?y ? 0 ?
(Ⅱ)根据 ?Bn ?1 An Bn 和 ?Bn An ?1 Bn ?1 分别是以 An 和 An?1 为直角顶点的等腰直角三角形可 得?

? a n ? xn ? y n ,即 xn ? yn ? xn?1 ? yn?1 . (*) ?????5 分 ? an ? xn ?1 ? yn ?1
2 2 ? An 和 An?1 均在曲线 C : y 2 ? 2x( y ? 0) 上,? yn ? 2xn , yn?1 ? 2xn?1 ,
2 yn y2 2 2 , xn ?1 ? n ?1 ,代入(*)式得 yn?1 ? yn ? 2( yn?1 ? yn ) , 2 2 ???????7 分 ? yn?1 ? yn ? 2(n ? N * ) ,

? xn ?

? 数列 { yn } 是以 y1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列, ? 其通项公式为 yn ? 2n ( n ? N * ). ??????8 分 y2 2 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, xn ? n ? 2n , 2 ? an ? xn ? yn ? 2n(n ? 1) , ?????9 分
2 1 1 ? i ?1 . , ci ? ? bi ? 2 2 2i (i ? 1) n 1 1 1 ? ??? ? ? bi ? 2(1? 2) 2(2 ? 3) 2n(n ? 1) i ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1 ? ) .????10 分 = (1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 1 2 ? ci ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? 4 1 ? 2 (1 ? 2n ) . ?????11 分 i ?1 1? 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1 ? 2n (方法一) ? bi - ? ci = (1 ? . )- (1 ? n ) ? ( n ? ) ? n?1 2 n ?1 2 2 2 2 n ? 1 2 (n ? 1) i ?1 i ?1 当 n=1 时 b1 ? c1 不符合题意,
当 n=2 时 b2 ? c2 ,符合题意, 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数,都有 ( ?b ? ?c . ? )
i ?1 i i ?1
n

? ?

? yi

n

n

i

观察知,欲证( ? )式,只需证明当 n≥2 时,n+1<2 以下用数学归纳法证明如下: (1)当 n=2 时,左边=3,右边=4,左边<右边; k (2)假设 n=k(k≥2)时,(k+1)<2 ,
7

当 n=k+1 时,左边=(k+1)+1<2 +1<2 +2 =2 =右边,

k

k

k

k+1

? 对于一切大于或等于 2 的正整数,都有 n+1<2n ,即 ? bi < ? ci 成立.
i ?1 i ?1

n

n

综上,满足题意的 n 的最小值为 2.
n n

??????13 分

(方法二)欲证
n n

? bi ? ? ci 成立,只需证明当 n≥2 时,n+1<2n.
i ?1 i ?1
0 n 1 n

2 3 n 2 3 n ? 2 ? ?1 ? 1? ? C ? C ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 1 ? n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ,

2 3 n 并且 Cn ? Cn ... ? Cn ? 0 ,

∴当 n ? 2 时, 2 ? n ? 1 .
n

8


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