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四川省遂宁市2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


遂宁市高中 2017 级第三学期教学水平监测 数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检 查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书 写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求。 ) 1.若 p : “ x ? 0 ” , q : “ | x |? 0 ” ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.命题: “对任意的 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2 A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

B.存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0
2 D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

C.存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0

3.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据的茎叶图, 则该样本数据的中位数 A.22 B.25 C.28 D.31

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 T 等于 A.32 C.20 B.30 D.0

5.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,若 cos ? ? 则该直线的斜率为 A.

4 , 5
3 4 4 3

3 4

B. ?

3 4

C. ?

D. ?

6.已知 ? 、 ? 是两个平面, m 、 n 是两条直线,则下列命题不正确 的是 ...

1

A.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , ? I ? ? n ,则 m ∥ n 7.已知点 A(2,0), B(0,3) ,则直线 AB 的方程为 A. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0

8.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯 视图为全等的等腰直角三角形,若直角三角形 的直角边为 1,那么这个几何体体积为 A. 1 C.

1 3

1 2 1 D. 6
B.

9.点 P(?2,1) 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的点 P? 的坐标是 A. (1, 0) B. (0,1) C. (0, ?1) D. (?1, 0)

10.如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的 各条棱长都相等,则异面直线 AB1 和 AC 1 所成的角的余弦值大小为

1 4 1 C. 2
A. 11 . 已 知 关 于

1 4 1 D. ? 2
B. ?

x 的 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 , 设 集 合 A ? {?1,1, 2,3, 4,5} ,

B ? {?2, ?1,1, 2,3, 4} ,分 别从集合 A 和 B 中 随机取一 个数记为 a 和 b , 则函数
y ? f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增的概率为 1 1 2 A. B. C. 9 3 9
?

D.

4 9

12. 在 Rt △ ABC 中,?ACB ? 90 , AC ? 1, BC ? 2 ,CD 是 ?ACB 的角平分线 (如图①) 。

2

若沿直线 CD 将 △ ABC 折成直二面角 B ? CD ? A(如图②) 。则折叠后 A, B 两点间的 距离为

A. 2 C. 2

B. 3 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分) 注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.设直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与 l2 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 间的距离为 d ,则 d ? 14.执行如图所示的程序框图, 则输出的 y 等于 ▲ 。 ▲ 。

15.已知一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ 。 16.已知圆 C : x ? y ? 9 ,直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 与 l2 : x ? 2 y ? 10 ? 0
2 2

的交点设为 P 点,过点 P 向圆 C 作两条切线 a , b 分别与圆相切于 A, B 两点,则

S△ABP ? ▲ 。

三、解答题(17 题 10 分,18 至 22 每小题 12 分,共计 70 分)
3

17、 (本题满分 10 分) 已知两条直线 l1 : x ? ?1 ? m?y ? 2 ? m , l2 : 2mx ? 4 y ? ?16 。 m 为何值时, l1与l2 : (1)相交; (2)平行。 ▲ 18. (本题满分 12 分) 设 p : 实数 x 满足 a ? x ? 3a ,其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2 ? x ? 3 。 (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

▲ 19. (本题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

E 、 F 分别是 AB 、 B1C1 的中点。
(1)求证: BD ? 平面 ACC1 A 1; (2)求证: EF ∥ 平面 ACC1 A 1。 ▲ 20. (本题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试 成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组
[160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185]

频数
5
n

频率
0.050
0.350

30
20

p
0.200

10
100

0.100
1.000

(1)求频率分布表中 n, p 的值,并补充完整相应的频率分布直方图;

4

(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽 样的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,则第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮 面试? (3)在(2)的前提下,学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试, 求第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率。 ▲

21. (本题满分 12 分) 如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,

CD ? 2 ,点 P 在侧棱 SD 上,且 SP ? 3PD 。
(1)求证: AC ? SD ; (2)求三棱锥 P ? ACD 的体积。

▲ 22. (本题满分 12 分) 已知平面直角坐标系上一动点 P ( x, y ) 到点 A(?2, 0) 的距离是点 P 到点 B(1, 0) 的距离 的 2 倍。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)过点 A 的直线 l 与点 P 的轨迹 C 相交于 E , F 两点,点 M (2,0) ,则是否存在直线

l ,使 S△EFM 取得最大值,若存在,求出此时 l 的方程,若不存在,请说明理由。


遂宁市高中 2017 级第三学期教学水平监测

5

数学(文科)试题参考答案及评分意见

一、选择题(5×12=60 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B B A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14.4 15.

6 D

7 C

8 D

9 C

10 A

11 D

12 B

3? 3

16.

192 25

三、解答题(共 70 分) 17. (本题满分 10 分) 解: (1)当 L1 与 L2 相交时 ? 4 ? 2m(1 ? m) ??????????????????2 分
? m ? 1且m ? ?2 ??????????????????5 分

(2)当 L1 与 L2 平行时 ? 4 ? 2m(1 ? m)

? m ? 1或m ? ?2 ??????????????????9 分
经检验 m ? ?2 时,两直线重合,所以, m ? 1 ??????10 分 18. (本题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 1 时,若命题 p 为真,则 1 ? x ? 3 ;若命题 q 为真,则 2 ? x ? 3 , ∵ p ? q 为真,即 p , q 都为真, ∴ 2 ? x ? 3 ,即实数 x 的取值范围是 (2,3) 。?????????????6 分

?a ? 0 ? (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,则 ? a 剟2 ? 1 ?3a …3 ?

a? 2,

所以,实数 a 的取值范围是 [1, 2] 。?????????????????12 分

19. (本题满分 12 分) 解: (1)∵ ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, ∴ BD ? AC , CC1 ? 平面 ABCD , ∵ BD ? 平面 ABCD ,则 BD ? C1C , 又∵ AC I C1C ? C ,

6

∴ BD ? 平面 ACC1 A 1 。?????????????????????6 分 (2)设 BC 的中点为 G ,连接 EG, FG 。 ∵E、G 分别是 AB 、BC 的中点,则 EG ∥ AC , ∵ EG ? 平面ACC1 A 1 , AC ? 平面ACC1 A 1, ∴ EG ∥ 平面 ACC1 A 1 ,同理 FG ∥ 平面 ACC1 A 1。

D1

C1 B1

A1

F

D E B
G

C

A 又∵ EG I FG ? G ,则平面 EGF ∥ 平面 ACC1 A 1,
∵ EF ? 平面 EGF ,

∴ EF ∥ 平面 ACC1 A 1 ???????????????????12 分 20. (本题满分 12 分) 解: (1)由已知: 5 ? n ? 30 ? 20 ? 10 ? 100 ,

0.500 ? 0.350 ? p ? 0.200 ? 0.100 ? 1.000 ,
∴ n ? 35, p ? 0.300 ?????????4 分 (注:若 p 未保留至小数点后 3 位,则扣 1 分, 图补全 2 分,即第(1)小题满分 6 分) (2)由已知,笔试成绩高的第 3、4、5 组的 人数之比为 3:2:1,现用分层抽样的方法选 6 名学生。故第 3、4、5 组每组各抽学生人数为 3、2、1。???????????????????????????????8 分 (3)在(2)的前提下,记第 3 组的 3 名学生为 c1 , c2 , c3 , 第 4 组的 2 名学生为 d1 , d 2 ,第 5 组的 1 名学生为 e1 ,且“第 4 组至少有 1 名学生被甲 考官面试”为事件 A 。 则所有的基本事件有:(c1 , c2 ) ,(c1 , c3 ) ,(c1 , d1 ) ,(c1 , d 2 ) ,(c1 , e1 ) ,(c2 , c3 ) ,(c2 , d1 ) ,

(c2 , d 2 ) , (c2 , e1 ) , (c3 , d1 ) , (c3 , d 2 ) , (c3 , e1 ) , (d1 , d 2 ) , (d1 , e1 ) , (d2 , e1 ) ,一共 15
种。???????????????????????????????????10 分

A 事件有:(c1 , d1 ) ,(c1 , d 2 ) ,(c2 , d1 ) ,(c2 , d 2 ) ,(c3 , d1 ) ,(c3 , d 2 ) ,(d1 , d 2 ) ,(d1 , e1 ) ,

(d2 , e1 ) ,一共 9 种。???????????????????????????11 分
∴ P ( A) ?

9 3 ? 15 5 3 。???????????12 分 5
7

答:第 4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率为

21. (本题满分 12 分) 解: (1)设 AC 的中点为 O ,连接 OD, OS 。 由已知, AC ? OD , SO ? 底面 ABCD , ∵ AC ? 平面 ABCD , ∴ SO ? AC , 又∵ SO I DO ? O ,

S

P A D

Q ∴ AC ? 平面 SOD , O ∵ SD ? 平面 SOD , B C ∴ AC ? SD 。?????????????????????????????6 分 (2)在 OD 边上找一点 Q ,连接 PQ ,使 PQ ∥ SO 。 由已知, SO ? 底面 ABCD , ∴ PQ ? 底面 ABCD ,?????????????????????????8 分 又由已知 CD ? 2, AC ? SC ? AS ? 2 , 则 OS ? SD2 ? OD2 ? 3 ∵ △SDO ∽ △PDQ ,且 SP ? 3PD 则 PQ ?

1 1 3 , S△ ACD ? AC ? CD ? 1 , SO ? 2 4 4

∴ VP ? ACD ?

1 3 S△ ACD ? PQ ? 。????????????????????12 分 3 12

22. (本题满分 12 分)
2 2 2 2 解: (1)由已知, ( x ? 2) ? ( y ? 0) ? 2 ( x ? 1) ? ( y ? 0) ,?????????2 分

∴ x ? 4 x ? y ? 0 ,即 ( x ? 2) ? y ? 4 ,????????????????5 分
2 2 2 2

(2) 由题意知 l 的斜率一定存在, 不妨假设存直线 l 的斜率为 k, 且 E( x1 ,y 1) , F( x , 2y )2 则 l : y ? k ( x ? 2) , 联立方程: ?



? y ? k ( x ? 2) ?( x ? 2) ? y ? 4
2 2

? (k 2 ? 1) x 2 ? 4( k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0 ,??????7 分

∴ △? 16(k ? 1) ? 4(k ? 1) ? 4k ? 0 ? ?
2 2 2 2

3 3 ?k? ,?????????8 分 3 3

又∵直线 l 不经过点 M (2,0) ,则 k ? (?

3 3 , 0) ? (0, ) 。?????????9 分 3 3
8

∵点 M (2,0) 到直线 l 的距离 d ? ∴ S△ EFM ? ∵d ?
2

4|k | k ?1
2

, | EF |? 2 4 ? d 2 ,

1 | EF | ?d ? 4 ? d 2 ? d ? ?(d 2 ? 2) 2 ? 4 , 2

16k 2 16 1 ? , k 2 ? (0, ) ? d 2 ? (0, 4) , 2 k ?1 1? 1 3 2 k

2 k2 1 7 ??11 分 ∴当 d ? 2 时, S△EFM 取得最大值 2,此时, 16 ? 2 ? k2 ? ? k ? ? 2 k ?1 7 7

∴直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 2 ? 0或x ? 7 y ? 2 ? 0 。?????????12 分

9


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