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高中数学5.2含有绝对值的不等式5.2.2含有绝对值的不等式的证明自我小测苏教版选修4_5-含答案


5.2.2 含有绝对值的不等式的证明 自我小测 1 已知|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|________2(用“>”“=”或“<”填空). 2 已知 p、q、x∈R,pq≥0,x≠0,则?px+ ?______2 pq. x ? ? q? ? 3 函数 y=|x+1|-|x-1|的最大值是________. 4 设 f(x)=ax +bx+c,当|x|≤1 时,总有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7. 5(2010 宁夏银川一中高考模拟,理 24)设|a|≤1,函数 f(x)=ax +x-a(-1≤x≤1), 5 证明|f(x)|≤ . 4 6 若对任意实数 x,不等式|x+1|-|x-2|>a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 7 若不等式|x-4|-|x-3|≤a 对一切 x∈R 恒成立, 那么实数 a 的取值范围是________. 8 若 x<5,n∈N,则下列不等式:①?xlg ③xlg 2 2 ? ? n ? ? n ? n n <5?lg ?;②|x|lgn+1<5lgn+1; n+1? n + 1 ? ? ? n ? n ? n n ? ? <5?lg ?;④|x|lgn+1<5?lgn+1?,其中能够成立的有______. n+1 ? n+1? ? ? 2 9 已知 f(x)=x -2x+7,且|x-m|<3,求证: |f(x)-f(m)|<6|m|+15. 10 已知 a,b,c 是实数,函数 f(x)=ax +bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时, |f(x)|≤1. (1)求证:|c|≤1; (2)求证:当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2. 2 1 参考答案 1.< 解析:当 a+b 与 a-b 同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2; 当 a+b 与 a-b 异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-a+b|=2|b|<2. ∴|a+b|+|a-b|<2. 2.≥ 解析:当 p、q 至少有一个为 0 时,?px+ ?≥2 pq. 当 pq>0 时,p、q 同号,则 px 与 同号, ∴?px+ ?=|px|+? ?≥2 pq.故?px+ ?≥2 pq. 3.2 解析:y=|x+1|-|x-1|≤|x+1+1-x|=2,当且仅当 x≥1 时,等号成立. 4.证明:∵|x|≤1 时,有|f(x)|≤1, ∴|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1. 又 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c, ∴|f(2)|=|4a+2b+c| =|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| ≤|3f(1)+f(-1)|+|3f(0)| ≤|3f(1)|+|f(-1)|+|3f(0)|≤3+1+3=7. ∴|f(2)|≤7. 5.证明:|f(x)|=|a(x -1)+x|≤|a(x -1)|+|x|≤|x -1|+|x|=1-x +|x|=- 2 2 2 2 ? ? q? x? q x ? ? q? x? ?q? ?x? ? ? q? x? ?|x|-1?2+5≤5,即|f(x)|≤5. ? 2? 4 ? ? 4 4 6.(-∞,-3) 解析:恒成立问题,往往转化为求最值问题,本题中 a<|x+1|-|x -2|对任意实数恒成立,即 a<[|x+1|-|x-2|]min,也就转化为求函数 y=|x+1|-|x- 2|的最小值问题. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, ∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴[|x+1|-|x-2|]min=-3. ∴a<-3. 7.[1,+∞) 解析:设 f(x)=|x-4|-|x-3|,则 f(x)≤a 对一切 x∈R 恒成立的充 要条件是 a≥f(x)的最大值,∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1, 即 f(x)的最大值等于 1,∴a≥1. 2 8.④ 解析:∵0< 以否定①②③,而|x|lg <1,∴lg <0,由 x<5 并不能确定|x|与 5 的关系,∴可 n+1 n+1 n n n <0,④成立. n+1 9. 证明: |f(x)-f(m)|=|(x-m)(x+m-2)|=|x-m||x+m-2|<3|x+m-2|≤3(|x| +|m|+2). 又|x-m|<3, ∴-3+m<x<3+m. ∴3(|x|+|m|+2)<3(3+|m|+|m|+2)=6|m|+15. ∴|f(x)-f(m)|<6|m|+15. 10.(1)证明:∵-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1, ∴|f(0)|≤1,即|c|≤1. (2)证明:当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数, ∴g(-1)≤g(x)≤g(1). ∵当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,且|c|≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2, ∴|g(x)|≤2. 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1). ∵-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,且|c|≤1, ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2. ∴|g(x)|≤2. 当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综上可知:|g(x)|≤2. 3 - 高氯酸 对阿胶 进行湿 法消化 后, 用 导数火 焰原子 吸收光 谱技术 测定阿 胶中的 铜、 “中 药三大 宝, 人 参、鹿 茸和阿 胶。 ”阿胶 的药用 已有 两千多 年的悠 久历史, 历代 宫① 马 作

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