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广东省东莞市2013届高三数学(文)小综合专题练习:立体几何


2013 届高三文科数学小综合专题练习—立体几何

一、选择题
1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ...

2.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 48 ? 8 17 C. 48 3.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 4.下列命题中, m 、 n 表示两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 表示三个不同的平面. ①若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ;②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? . 正确的命题是 A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ M D C F B. 32 ? 8 17 D. 80

5. 如图是正方体平面展开图,在这个正方体中: ①BF 与 ND 平行;②CM 与 BF 成 60?角; ③CM 与 BN 是异面直线;④DF 与 BM 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 A.①②③ C.②④ B.①③④ D.③④ N

A

B E

二、填空题
6. 如下图所示,直观图 O A B 是有一个角为 45 的三角形,则其原平面图形的面积为 ________.
/ / /

0

第7题

7.某几何体的三视图如图所示,它的体积为________. 8.设 x , y , z 是空间中的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x ? z ,且 y ? z , 则 x // y ”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号). ① x 为直线, y, z 为平面;② x , y , z 为平面;③ x , y 为直线, z 为平面;④ x , y 为 平面, z 为直线;⑤ x , y , z 为直线. 9.如图, AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A , B ),直线 PA 垂直于圆 O 所在的 平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ① PA // 平面 MOB ; ② MO // 平面 PAC ; ③ OC ? 平面 PAC ; ④平面 PAC ⊥平面 PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 10. 如图, 在长方形 A B C D 中,A B ? 2 ,B C ? 1 ,E 为 D C 的中 点,F 为线段 E C (端

点除外) 上一动点. 现将 ? A F D 沿 A F 折起, 使平面 A B D ? 平面 A B C . 在平面 A B D 内过点 D 作 D K ? A B , K 为垂足.设 A K ? t ,则 t 的取值范围是 .

第 10 题

三、解答题惠生活 www.huizhous.com 观影园 www.gypark.com 爱尚家居 www.33203.com 嘟嘟园 www.ddpark.com 迅播影院 www.gvod.us 请支持我们,会有更多资源给大家
11.在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 , C 1 , B 三点的平面截去长方体的一 个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1 C 1 D 1 ,这个几何体的体积为 (1)证明:直线 A1 B ∥平面 CC 1 D 1 D ;
D1

40 3



(2)求棱 A1 A 的长;
A1

C1

(3)求经过 A1 , C 1 , B , D 四点的球的表面积.

D A B

C

12. 已知三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的三视图如图所示, 其中主视图 AA 1 B 1 B 和左视图 BB 1 C 1 C 均为矩形,在俯视图△ A1 B 1 C 1 中, A1 C 1 ? 6 , A1 B 1 ? 10 , B 1 C 1 ? 8 . (1)在三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中,求证: BC ? AC 1 ; (2)若三棱柱的高为 10 ,求三视图中左视图的面积; (3)若三棱柱的高为 10 ,动点 P ? 线段 CC 1 ,求 BP ? A1 P 的最小值.

B1

A 1 C1

B1

C1 B1 A1 C A

B

主视图 C1

A

C

B 左视图 B

B1 俯视图

A1

13. 如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, A C 为直径,点 E 为弧 A C 的中点,点 B 和点 C 为 线段 A D 的三等分点,平面 A E C 外一点 F 满足 F C ? 平面 B E D , F B = 5 a . (1)证明: E B ? F D ; (2)求点 B 到平面 F E D 的距离.

第 13 题

14. 如图, AA 1 、 BB 1 为圆柱 OO 1 的母线, BC 是底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA 1 、
CB 1 的中点, D E ? 面 C B B1 . A1
O1 B1

(1)证明: D E // 面 A B C ; (2)证明: 面 A1 B 1 C ? 面 A1 AC ;
D

(3)求四棱锥 C ? ABB 1 A1 与圆柱 OO 1 的体积比.
A

E

C
O

B

15.如图所示, AF 、 DE 分别是⊙ O 、⊙ O 1 的直径, AD 与两圆所在的平面均垂直,
AD ? 8 . BC

是⊙ O 的直径, AB ? AC ? 6 , OE // AD .
D

O1
E

C

(1)证明: EF // 面 BCD ; (2)证明:面 ACD ? 面 CEF ; (3)求三棱锥 O 1 ? OBF 的体积.

16.如图,四棱锥 P ? ABCD , ? PAB ≌ ? CBA ,在它的俯视图 ABCD 中, BC ? CD ,
AD ? 1 , ? BCD ? ? BAD ? 60 ? .

(1)求证: ? PBC 是直角三角形; (2)求证:面 PBD ⊥面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? A B C D 的体积.
B D
C

P

B

A(P )

A

D

C

直观图

俯视图

17.已知等腰梯形 PDCB 中(如图), PB ? 3 , DC ? 1 , PD ? BC ?

2 , A 为 PB 边

上一点,且 PA ? 1 ,将 ? PAD 沿 AD 折起,使面 PAD ? 面 ABCD (如图 2). (1)证明:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2) 试 在 棱 PB 上 确 定 一 点 M , 使 截 面 AMC
V PDCMA : V MACB ? 2 : 1 ;

把几何体分成的两部分

(3)在 M 满足(2)的情况下,判断直线 PD 是否平行面 AMC .

2013 届高三文科数学小综合专题练习—立体几何 参考答案 一、选择题 DACBC 二、填空题
6. 6 7. 30 ? 8.③④ 9.②④ 10. ( ,1 )
2 1

三、解答题
11.解:(1)证法1:如图,连结 D 1 C , ∵ A B C D ? A1 B1C 1 D 1 是长方体, ∴ A1 D 1 ? B C 且 A1 D 1 ? B C . ∴四边形 A1 B C D 1 是平行四边形. ∴ A1 B ? D 1C . ∵ A1 B ? 平面 C D D 1C 1 , D 1 C ? 平面 C D D 1C 1 , ∴ A1 B ? 平面 C D D 1C 1 . 证法2:∵ A B C D ? A1 B1C 1 D 1 是长方体, ∴平面 A1 A B ? 平面 C D D 1C 1 .

∵ A1 B ? 平面 A1 A B , A1 B ? 平面 C D D 1C 1 , ∴ A1 B ? 平面 C D D 1C 1 . (2)设 A1 A ? h ,∵几何体 A B C D ? A1C 1 D 1 的体积为 ∴V ABCD ? A C D ? V ABCD ? A B C D ? V B ? A B C ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

40 3

40 3

,即

S ABCD ? h ?

1 3

? S ?A B C ? h ?
1 1 1

40 3


40 3

即2? 2? h ?

1 3

?

1 2

?2?2?h ?

,解得 h ? 4 .

∴ A1 A 的长为4. (3)如图,连结 D 1 B ,设 D 1 B 的中点为 O ,连 O A1, O C 1, O D , ∵ A B C D ? A1 B1C 1 D 1 是长方体,∴ A1 D 1 ? 平面 A1 A B . ∵ A1 B ? 平面 A1 A B ,∴ A1 D 1 ? A1 B . ∴ O A1 ?
1 2 D 1 B .同理 O D ? O C 1 ? 1 2 D1 B .

∴ O A1 ? O D ? O C 1 ? O B . ∴经过 A1 , C 1 , B , D 四点的球的球心为点 O . ∵ D 1 B ? A1 D 1 ? A1 A ? A B ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 4 .
2 2 2 2 2 2 2

∴ S 球 ? 4? ? ? O B ?

2

? D B ? 2 ? 4? ? ? 1 ? ? ? ? D1 B ? 2 4? . ? 2 ?

2

故经过 A1 , C 1 , B , D 四点的球的表面积为 2 4 ? .

12.解:(1)因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱, 在俯视图△ A1 B 1 C 1 中, A1 C 1 ? 6 , A1 B 1 ? 10 , B 1 C 1 ? 8 .
? A1 C 1 ? B 1 C 1 ? A1 B 1
2 2 2

∴ ? A1C 1 B1 ? ? A C B ? 9 0 ? ,∴ B C ? A C

又∵BC⊥CC1,CC1∩A1C1=C1,∴BC⊥平面 ACC1A1. ∵AC1 ? 平面 ACC1A1,∴BC⊥AC1. (2)左视图中 BC 的长等于底面△ABC 中顶点 C 到边 AB 的距离 d,

d ?

6?8 10

?

24 5

,∴左视图的面积 S ?

24 5

? 10 ? 48 .

(3)由题意,动点 P ? 线段 CC 1 ,由侧面展开图可知,当 A1、 B 、 P 三点共线时,
BP ? A1 P 的值最小,即 BP ? A1 P 的最小值为
( 6 ? 8 ) ? 10
2 2

? 2 74 .

13.(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C
FBD

∴ EB ? 平面

又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? F E D 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高, 且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?
5a

∴ FC ?

( 5a) ? a
2

2

? 2a
2

在 Rt ? BDE 中, BD ? 2 a , BE ? a ,故 S ? BDE ? ∴ V F ? BDE ?
1 3 S ? BDE ? FC ? 1 3 ? a ? 2a ?
2

1 2

? 2a ? a ? a ,

2 3

a ,

3

又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形, ∴ EF ?
21 2 1 3 21 2 4 2 3 21 21 4 21 21

6 a , DE ?

5a

, 在 Rt ? F C D中 , FD ?

5a

,



S ? FED ?

a ,

2

∵ V F ? BDE ? V B ? FED 即

?

a ?h ?
2

a ,故 h ?
3

a ,

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

a .

14.(1)证明:连结 EO , OA .? E , O 分别为 B 1 C , BC 的中点,∴ EO // BB 1 . 又 DA // BB 1 ,且 DA ? EO ?
1 2 BB 1 .∴四边形 AOED 是平行四边形,

即 DE // OA , DE ? 面 ABC . ∴ DE // 面 ABC .
AA BB (2)证明: 1 、 1 为圆柱 OO 1 的母线, 所以 AB // A1 B 1 且 AA 1 ? 圆 O , AA 1 ? AB , 即

又 BC 是 底 面 圆 O 的 直 径 , 所 以 AB ? AC , AC ? AA 1 ? A , 所 以
AB ? 面 A1 AC

由 AB // A1 B 1 , 所 以 A1 B 1 ? 面 A1 AC , A1 B 1 ? 面 A1 B 1 C , 所 以
面 A1 B 1 C ? 面 A1 AC

(3)解:由题 DE ? 面 CBB 1 ,且由(1)知 DE // OA .∴ AO ? 面 CBB 1 , ∴ AO ? BC ,∴ AC ? AB . 因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA ? AB ,且 AA 1 ? CA , ∴ CA ? 面 AA 1 B 1 B ,即 CA 为四棱锥的高.设圆柱高为 h ,底半径为 r , 则V 柱 ? ? r h ,V 锥 ?
2

1 3

h( 2r) ? ( 2r) ?

2 3

hr

2

∴V 锥 :V 柱 ?

2 3?

.

15. 证明:(1)连接 DO
? AD 与两圆所在的平面均垂直,? ⊙ O 面 // ⊙ O 1 面,

又 OE // AD , O E ? A D 所以四边形 OADE 为平行四边形,所以 DE ∥
AO , DE = AO

所以 DE ∥ OF ,且 DE = OF ,即四边形 ODEF 为平行四边形,所以
DO // EF DO ? 面 BCD , EF ? 面 BCD ,所以 EF // 面 BCD

(2)? AF 是⊙ O 的直径,? CF ? AC , 又 AD 与两圆所在的平面均垂直, CF ? ⊙ O 面,? CF ? AD ,
AC ? AD ? A , 所以 CF ? 面 ACD ,CF ? 面 CEF , AD 面 C
? 面 CEF

(3)由 BC 是⊙ O 的直径, AB ? AC ? 6 ,所以 BC ? 6 2 ,且 AF ? BC , 所以 ? OBF 为等腰直角三角形, OB ? OF ? 3 2 , 所以 S ? OBF ?
1 2 ?3 2 ?3 2 ? 9

由已知易知可知 O 1 到⊙ O 面的距离即为 AD ? 8 ,所以三棱锥 O 1 ? OBF 的高为 8 所以 V O
? OBF

1

?

1 3

? S ? OBF ? h ?

1 3

? 9 ? 8 ? 24

16.解: (1)由已知,点 P 在底面 ABCD 上的投影是点 A ,所以 PA ? 面 ABCD 因为 AB 、 BC ? 面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? BC 因为 ? PAB ≌ ? CBA ,所以 ? ABC ? ? BAP ? 90 , AB ? BC
0

因为 PA ? AB ? A ,所以 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? PB , ? PBC 是直角三 角形. (2) 连接 BD ,因为 BC ? CD , ? BCD ? 60 ,所以 ? BCD 是等边三角形
0

在 ? ABD 中,根据多边形内角和定理计算得 ? ADB ? 90 ,即 BD ? AD
0

由 PA ? 面 ABCD ,所以 BD ? PA , PA ? AD ? A ,所以 BD ? 面 PAD 又 BD ? 面 PBD ,所以 面 PBD ? 面 PAD (3) 连接 BD ,因为 BC ? CD , ? BCD ? 60 ,所以 ? BCD 是等边三角形
0

在 ? ABD 中,根据多边形内角和定理计算得 ? ADB ? 90
0 又因为 ? BAD ? 60 ,所以 BD ?

0

3 AD ?

3
3 4 3 3 4





S ? ABD ?

3 2



S ? BCD ?

BD

2

?







S ABCD ? S ? ABD ? S ? BCD ?

5 3 4

又 PA ? BC ? BD ?

3,
1 3 1 3 5 3 4 5 4

所以,四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ?

? PA ? S ABCD ?

?

3?

?

17. 证明:(1) ? PDCB 为等腰梯形, PB ? 3 , DC ? 1 , PA ? 1 ,

则 PA ? AD , CD ? AD 又? 面 PAD ? 面 ABCD ,面 PAD ? 面 ABCD
CD ? 面 ABCD ,故 CD ? 面 PAD

? AD

又? CD ? 面 PCD ? 平面 PAD ? 平面 PCD (2)所求的点 M 即为线段 PB 的中点. 证明如下: 设三棱锥 M ? ACB 的高为 h 1 ,四棱锥 P ? ABCD 的高为 h 2 当 M 为线段 PB 的中点时,
1 ? V M ? ACB V P ? ABCD ? 3 1 3
h1 h2 ? MB PB ? 1 2

S ? ACB ? h 1 ?
ABCD

1 3 1 3 ?

?( 1 2

1 2

? 2 ? 1) ? h 1 ?

1 3

S 梯形

? h2

? ( 2 ? 1) ? 1 ? h 2

? 截面 AMC 把几何体分成的两部分 V PDCMA : V MACB ? 2 : 1 ;

(3) 当 M 为线段 PB 的中点时,直线 PD 与面 AMC 不平行. 证明:(反证法)假设 PD // 面 AMC 连接 DB 交 AC 于点 O ,连接 MO
? PD ? 面 PBD ,且面 AMC
? PD // MO

? 面 PBD

? MO

? M 为线段 PB 的中点时,则 O 为线段 BD 的中点,即

DO OB

?

1 1

而 AB // DC ,故

DO OB

?

DC AB

?

1 2

,故矛盾。

所以假设错误,故当 M 为线段 PB 的中点时,直线 PD 与面 AMC 不平行


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